群论基础进阶试题及答案详解

群论基础进阶试题及答案详解考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（请将正确选项的字母填在题后的括号内。每小题3分，共30分）1.设G是一个群，a,b∈G，若a²=b²=(ab)³=e（e为单位元），则a的阶至多为（）。A.3B.4C.6D.82.有限群G的所有子群的阶的集合，一定是G的阶的（）。A.所有因数的集合B.所有素因数的集合C.所有因数的幂的集合D.素数集合3.设G是一个群，a∈G且a≠e，若a的阶为3，b∈G，则bab⁻¹的阶为（）。A.1B.3C.b的阶D.无法确定4.群G的一个子群H的所有左陪集的集合与所有右陪集的集合之间可以建立（）。A.只有一一对应B.只有onto对应C.存在一一对应或onto对应D.不存在对应5.设φ:G→H是一个群同态，K是H的一个子群，则φ⁻¹(K)是G的（）。A.一个子群B.一个子群，但不一定包含单位元C.不一定是子群D.一个循环子群6.设G是一个阶为p²（p为素数）的群，则G一定含有（）。A.阶为p的子群B.阶为p²的子群C.直积G≅G₁×G₂D.以上都不一定7.循环群G的任意子群都是（）。A.循环群B.阿贝尔群C.交换群D.以上都是8.置换群S₃的子群共有（）个。A.2B.3C.4D.69.设G是一个阿贝尔群，a,b∈G，若a和b的阶分别为3和5，则ab的阶为（）。A.8B.15C.12D.15或810.n阶对称群Sₙ中，奇排列的个数与偶排列的个数之比为（）。A.1:1B.2:1C.1:2D.n:1二、填空题（请将答案填在题后的横线上。每小题3分，共30分）1.设G是一个群，a∈G，若a²=e，则a的阶为________。2.阶为4的群一定包含一个阶为________的子群。3.设G是一个群，H₁,H₂是G的两个子群，则H₁∩H₂也是G的________。4.群G的一个子群H的所有陪集的集合构成G的一个________分解。5.群G到自身的一个保持运算的映射称为G的一个________。6.设G是一个阿贝尔群，a,b∈G，则(ab)⁻¹=________。7.n阶对称群Sₙ的子群阶数只能是________的约数。8.循环群G=⟨a⟩的单位元e可以表示为a的________次幂。9.设G是一个群，a∈G，a的阶为m，则a⁻¹的阶为________。10.设G是一个有限群，若对于任意a,b∈G，都有a²=b²，则G一定是________群。三、判断题（请将“√”或“×”填在题后的括号内。每小题3分，共30分）1.任何一个群都至少有两个子群。（）2.群G的一个子群H的所有左陪集的集合与G的笛卡尔积G×H可以建立一一对应。（）3.若群G中存在一个元素a，使得G中每个元素都可以表示为a的幂，则G一定是循环群。（）4.有限群G的中心Z(G)（即G中所有与G中元素可交换的元素的集合）是G的一个子群。（）5.置换群Sₙ中的任意一个子群都对应着集合{1,2,...,n}的一个划分。（）6.若群G的阶是偶数，则G中至少存在一个阶为2的元素。（）7.同态映射的核是一个子群，像是一个子群。（）8.两个同阶的循环群一定是同构的。（）9.二面体群Dₙ（n≥3）是一个非阿贝尔群。（）10.若G是一个群，a,b∈G，且ab=ba，则ab的阶等于a的阶与b的阶的最小公倍数。（）四、解答题（请写出详细的解答过程。共60分）1.（15分）设G是一个群，a,b∈G，且a²=b²=e。证明：ab=ba。2.（15分）设G是一个群，K是G的一个子群。证明：G中所有包含K的子群之交仍然是K的一个子群。3.（15分）设G是一个阶为12的群，且G中不存在阶为6的元素。证明：G是阿贝尔群。4.（15分）设G=⟨a⟩是一个循环群，a的阶为n。证明：G的子群个数等于d(n)（n的正约数个数）。并求G=⟨i⟩在复数单位根群C*中的子群个数。试卷答案一、单项选择题1.B2.C3.B4.A5.A6.A7.D8.C9.A10.A二、填空题1.12.2或43.子群4.左（或右）5.自同构6.a⁻¹b⁻¹7.n!8.09.m10.阿贝尔（或交换）三、判断题1.×2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.×四、解答题1.证明：由a²=e，得a⁻¹=a。同理，b⁻¹=b。考虑(ab)²=e，即abab=e。两边乘以b⁻¹，得aba=b⁻¹。两边再乘以a⁻¹，得ba=a⁻¹b⁻¹=ab。故ab=ba。思路：利用a²=e,b²=e，推导出a⁻¹=b⁻¹，再利用(ab)²=e，通过变形得到ab=ba。2.证明：设H₁,H₂是G中包含K的子群。对于任意x∈H₁∩H₂，显然x∈H₁且x∈H₂。由于H₁和H₂都是子群，且包含单位元e，所以x⁻¹∈H₁且x⁻¹∈H₂，即x⁻¹∈H₁∩H₂。因此H₁∩H₂对乘法封闭。又因为H₁和H₂都包含K，所以K⊆H₁∩H₂。因此H₁∩H₂是G的一个子群。思路：利用子群定义的三个条件（单位元、封闭性、逆元存在性）进行逐一验证。由于已知是包含K的子群，所以单位元和K都已包含。只需验证封闭性和逆元存在性。3.证明：假设G不是阿贝尔群，则存在a,b∈G，使得ab≠ba。考虑元素a²b²=(ab)²。若G是阿贝尔群，则(ab)²=abab=a²b²。但由阶为12的性质，a²=b²=e，故(ab)²=e。这意味着abab=e，即ab=ba，与假设矛盾。因此G必须是阿贝尔群。思路：采用反证法。假设G不是阿贝尔群，寻找矛盾。利用假设ab≠ba和阶为12的性质（a²=b²=e），推导出ab=ba，从而得到矛盾。4.证明：①若H₁=⟨a^k⟩是G的一个子群，其中0≤k<n且gcd(k,n)=1，则H₁是一个非空子集，对乘法封闭（即(a^k)(a^m)=a^(k+m)∈H₁），且包含单位元a⁰=e。由子群判别定理，H₁=⟨a^k⟩是G的一个子群。②若H₂是G的一个子群，则H₂=⟨a^d⟩，其中d是n的一个正约数。由于H₁和H₂都是⟨a⟩的子群，且⟨a⟩是循环群，所以它们都是循环子群。因此，它们要么相等，要么互不相交。由于⟨a^k⟩=⟨a^m⟩当且仅当gcd(k,n)=gcd(m,n)，所以不同的k（gcd(k,n)=1）对应不同的子群⟨a^k⟩。这样的k的个数正好是φ(n)（欧拉函数，等于n的正约数个数中与n互素的数的个数），也就是n的正约数个数d(n)中使得gcd(k,n)=1的k的个数。由于gcd(k,n)=1的k有φ(n)个，所以G有φ(n)个子群。当G=⟨i⟩是C*中的n次单位根群时，n=4。n=4的正约数有1,2,4。d(4)=3。gcd(0,4)=0,gcd(1,4)=1,gcd(2,4)=2,