量子力学第三章算符

量子力学第三章算符

3、1算符概述

设某种运算把函数u变为函数v,用算符表示为：

(3、1-1)

称为算符。u与v中得变量可能相同，也可能不同。例如,〃，〃则凶〃

都就是算符。

1.算符得一般运算

(1)算符得相等:对于任意函数u,若，则。

(2)算符得相加:对于任意函数u,若很I」。算符得相加满足交换律0

(3)算符得相乘:对于任意函数u,若，则。算符得相乘一般不满足交换

律。如果,则称与对易。

2.几种特殊算符

(1)单位算符

对于任意涵数u,若u=u,则称为单位算符。与1就是等价得。

(2)线性算符

对于任意函数u与v,若,则称为反线性算符。

(3)逆算符

对于任意函数u,若则称与互为逆算符。即,。

并非所有得算符都有逆算符，例如把零作为算符时,称之为零算符，零

算符就没有逆算符。

对于非齐次线性微分方程:，其中为与函数构成得线性算符,a为常数。

其解可表示为对应齐次方程得通解与非齐次方程得特解之与，即。

uuo

因，所以不存在使。一般说来,在特解中应允许含有对应齐次方程得通解

成分，但如果当a=0时尸0,则中将不含对应齐次方程得通解成分，这E寸存

在使,从而由得:。从上述分析可知，就是否存在逆算符还与算符所作用得

函数有关。

(4)转置算符

令，则称与得转置算符，就是一个向左作用得算符。若算符表示一般

函数(或常数)，由于函数得左乘等于右乘，所以函数得转置就等于它本身。

定义波函数与得标积为：

(3、1-2)

与得标积以及与得标积为：

若上两式中得与都就是任意波函数很U称上两式中得与为任意标积

中得算符。下面考虑在任意标积中得性质。

波函数与在无限远点也应满足连续性条件：

［可都等于零］〃所以得：

可见在任意标积中,。

(5)转置共期算符(也称为厄密共辗算符)与厄密算符

转置共柜算符通常也就是向左作用得算符，同时算符本身要取共匏。

以标记得转置共柜算符，则若在任意标积中〃则称为厄密算符。即厄密算

符得定义为：

或写为(3、1-3)

可以证明，位置算符与动量算符都就是厄密算符。因x就是实数，而,

所以。在任意标积中，因,所以。也可以直接从定义式(3、1-3)出发，来证

明就是厄密算符。

，所以就是厄密算符。

(6)幺正算符

若在任意标积中〃则称为幺正算符。设,若为厄密算符，则必为幺正

算符。

(7)算符得函数

设函数F(A)得各阶导数都存在，则定义算符得函数F()为：

(11-4)

其中表示n个得乘幕，即。例如

3、2算符得对易关系

定义算符得泊松(Poisson)括号为：

(3、2-1)

一般说来，例如，这样得关系或称为对易关系式。就是对易关系式中

得特例，这时，称与就是对易得。

1.量子力学中基本对易关系

在位置表象中〃即,此式对任意得都成立，所以得：

在动量表象中

，即,此式对任意得都成立，所以得：

可见在位置表象中与动量表象中都得：

（3、2-2）

如果两个算符所含得独立变量不同，则这两个算符就是对易得。例

如,在位置表象中，所含得变量就是y,而所含得变量就是x,所以二0。又如,

在有心力场中,U（x）所含得变量就是r,而所含得变量就是,所以。此外，相

同得算符一定对易。

以表示x,y,z,以表示很！］应有：

（3、2-3）

（3、2-4）

（3、2-4）式就就是量子力学中得基本对易关系式。

2.线性算符泊松括号得性质

根据量子泊松括号得定义式以及线性算符得定义式不难证明下关

系式：（其证明供练习）

（3、2-5）

C为常数（3、2-6）

C为常数（3、2-7）

（3、2-8）

（3、2-9）

（3、2-10）

3.其她对易关系

（1）角动量算符与位置算符之间得对易关系

同理可得:，……,各对易关系可合写为：

采用爰因斯坦记号很U上式可写为：

（3、2-11）

其中称为勒维——奇维塔（Levi-Civita）符号。=1,对所有角标都就

是反对称得,即交换任意两个角标，其值反号，例如〃。若中有两个角标相

同,则其值为零。具有以下数学性质：

（3、2-12）

（3、2-13）

上式中将改写为称为将反对称化，之所以能将反对称化就是由于对

角标ij反对称之故。

（2）角动量算符与动量算符之间得对易关系

（3、2-14）

（3）角动量算符得对易关系

（3、2-15）

上式中三个不为零得对易关系式还可以写成下面得关系式：

（3、2-16）

若令很I可」得：

（3、2-17）

（3、2-18）

（4）算符得函数之间得对易关系

（3、2-19）

（3、2-20）

必须注意，若，则。

3、3线性厄密算符与力学量算符

1.厄密算符得性质

Q）对易得厄密算符得乘积也就是厄密算符。

设与就是对易得厄密算符，利用（3、1-3）式可得：

****????????（）0（）FGdFGdGFdFGd?（pT（p（pT（p（pT?Toooocooo

===????所以也就是厄密算符。

（2）厄密算符得本征值必为实数。

设为厄密算符，其本征方程为：

贝」

根据（3、1-3）式得:

则

因，则得F=F*,所以F为实数。

（3）厄密算符属于不同本征值得本征函数就是正交得。

设,为厄密算符分别对应本征值彳导本征函数，则

即

当时得：

上式称为正交关系式。若本征值无简并,且本征函数已归一化，则得:

当F为分立谱时,（3、3-1）

当F为连续谱时,（3、3-2）

如果中含有参变量，则只有当参变量得值保持不变时，属于不同本征

值得本征函数才就是正交得。例如，当粒子在有心力场中运动时,经向方

程就是厄密算符得本征方程，其本征值为能量E（对束缚态,E由径向量子

数确定）。角量子数I就是径向方程中得参变量。径向波函数得正交关

系式为:，

因不同得I值对应不同得径向方程，所以

1

2、正交化手续

对于线性厄密算符,如果得本征值Fn就是f度简并得,对应得本征函

数为则这f个本征函数得任意线性组合也就是本征方程得解。一般说

来，这f个本征函数不一定就是TF交得，但通过它们得线性组合一定可以

构成f个正交得本征函数。通常得正交化手续如下:取

从与得正交性可以确定bl

则得：

若先将归一化则得：

从得正交性得：

则得：

若先将归一化厕得：

从得正交性得：

则得:

则得:

依此类推，可求出各系数,使彼此正交。

3、力学量算符

在量子力学中，力学量都有算符表示。力学量算符通常都就是线性

厄密算符。假设力学量算符得本征函数构成完备系（之所以就是假设就

是因为尚未得到普遍性得证明），即认为任意波函数都可以对力学量算符

得本征函数组展开。一个力学量算符得本征函数也可以对另一个力学

量算符得本征函数组展开。在展开式中得本征函数组也称为本征基组

应注意，这里所说得力学量总就是指某物理体系中得力学量，这里所说得

波函数就是指描写同一物理体系得波函数，事实上,只有对于同一物理体

系，力学量得本征函数与被展开得波函数才能具有相同得时间与空间。

当力学量算符得本征值Fn为分立谱时,在位置表象中，设本征基组

满足正交归一条件：

满足上式得也称为幺正基组。通常只就是得函数而与t无关。含时

波函数对得展开式［不含时得波函数也可对展开］为：

（3、3-3）

实际上就是得简写。以乘上式并对整个空间积分得：

测得：

（3、3-4）

若已归一化即，则得：

=（3、5-5）

若已知，则由（3、3・4）式可求得Cn⑴;若已知Cn（t）,则由（3、3-3）式

可求得，所以与Cn⑴就是等价得。Cn（t）中得变量就是Fn与t,所以Cn（t）

就是F表象中得波函数Cn（t）得归一化条件就是。当Cn（t）已归一化时,

在t时刻测到Fn得几率为。注意，对分立谱为几率而非几率密度。

将（3、3-4）式代入（3、3-3）式得：

由上式可瞧出，应有：

（3、3-6）

上式所显示得性质称为本征基组得封闭性。

对于得木征函数,在箱归一化下对应得木征值为分立谱:。其木征函

数得封闭性条件为：

其中dn=lo当L-8时,Px由分立谱变为连续谱。这时，由可

知,dn应以代替,得下标n应改为Px厕本征函数得封闭性条件为：

如果将并入得归一化系数,则归一化系数由变为，这与§2、2中得讨

论就是一致得。

当力学量算符得本征值F为连续谱时，在位置表象中,设本征函数满

足正交为一条件：

满足上式得也称为为幺正基组。对得展开式为：

（3、3-7）

以乘上式并对全空间积分得：

***[][]（）FFFFFFFFFFdrCddrCdrCFFdFC

^?????8'""===-=??????7vv

，则得:（3、3-8）

为F表象中得波函数。若，则可得得归一化条件为：

（3、3-9）

当已归一化时，在t时刻在F表象中测得F得几率密度为。本征基

组得封闭性条件为：

（3、3-10）

如果得本征值既有分立谱Fn又有连续谱F,则展开式为：

（3、3-11）

（3、3-12）

F表象得波函数由Cn⑴与CF⑴组成。归一化条件为：

（3、3-13）

本征基组得封闭性条件为：

（3、3-14）

上面得讨论可归纳为量子力学中关于力学量算符得一个基本假设:

量子力学中表示力学量得算符一般都就是线性厄密算符，力学量算符得

本征函数组成完备系。当体系处于归一化波函数所描写得状态时，测量

力学量F所得得数值，在单次测量中必定就是算符得本征值之一,测得分

立谱中Fn得几率就是,测得连续谱中F-F+dF得几率就是tn与CF

就是对得幺正本征基组得展开系数。

4、角度坐标变量

考虑球坐标系下或柱坐标系下得角度坐标变量，在位置表象中,应有,

但量子力学中通常并不将视为能作用于波函数得算符,而只将作为以

及,cos等中得变量。这就是因为:（1）不就是周期函数,。但当增加时，波

函数应保持不变，可见就是周期函数，而不就是周期函数。如果得变化范

围为（,）,则不就是空间位置得单值函数如果04<2厕不就是空间位置得

单值函数;如果04<2厕不就是空间位置得连续函数。（2）仿照求易得对

易关系，但由于不就是周期函数，使得得厄密性将被破坏，所以对易关系在

量子力学中无意义。（3）在坐标系得子轴上,无确定得值。由于上述原因,

使得不能视为能作用于波函数得算符。

5、力学量F得平均值

测量力学量得平均值应与描写体系状态所采用得表象无关。在F

得自身表象中才苗写体系状态得波函数为Cn⑴或CF（t）,以分立谱为例,F

得平均值应为：

（3、3-15）

若已归一化，则（对连续谱，只要将对Fn得求与改变对F得积分即

可）。在位置表象中，描写体系状态得波函数为，设得本征函数组就是幺

正基组，注意到

则F得平均值应为：

（3、3-16）

若已归一化很L

在定态中,波函数可写为，则由（3、3-16）式可写，应与时间t无关。

在定态中,几率密度与几率流密度也都与时间t无关。

3、4两个力学量同时有确定值得条件与测不准关系

1.对易算符得共同本征态

定理如果两个线性算符与对易。证明如下：

贝L因构成完备系，所以任意波函数可对展开:，则

因就是任意波函数很!J得,即定理得证。这个定理得逆定理也成立:如

果两个线性算符对易，则它们有构成完备系得一组共同木征函数。其证

明从略。

上述定理与逆定理可以推广到多个算符得情况中去。定理如果多

个线性算符有一组共同得本征函数，并且这组共同得本征函数构成完备

系，则其中彳王可一个算符与其余得算符都对易。逆定理:如果

多个线性算符彼此对易则它们有一组构成完备系得共同本征函数。

如果体系处于几个力学量算符得共同本征态中,则在这个态中，这些

算符对应得力学量同时有确定值，即算符得本征值。动量算符彼此对易，

所以它们有共同得本征函数，并且构成完备系;在态中，同时具有确定得本

征值。空间坐标算符彼此对易。所以它们有共同得本征函数，在位置表

象中为，也构成完备系;在态中，同时具有确定得本征值。氢原子得哈密顿

算符，角动量得平方算符与角动量得子分量算符彼此对易,所以它们有共

同得本征函数。对束缚态,E为分立谱En,可用表示。对氢原子得束缚态

构成完备系，也就就是说，氢原子束缚态中任意可能得状态函数都可对展

开。在中，同时具有确定得本征值Enoo但应注意，当两个算符与对易

时，得本征函数并不一定就是得本征函数。例如,与对易，就是得本征函数,

但并不就是得本征函数。就是得本征函数，但并不就是得本征函数。所

以对易算符对应得力学量并不一定同时具有确定值，只有在它们得共同

本征态中才同时具有确定值。

要完全确定体系得状态，需要一组互相对易得力学量算符，当这组力

学量同时具有确定值时，将只对应一个唯一得波函数。这一组能完全确

定体系状态得力学量，称为力学量得完全集合。力学量完全集合中一般

包含哈密顿量。在完全集合中力学量得数目一般与体系自由度得数目

相等。例如,三维空间中自由粒子得自由度就是3（不考虑粒子得内部自

由度），完全确定它得状态需要三个力学量算符（其中相当于包含有）。氢

原子内部得自由度也就是3（不考虑质心运动得自由度），完全确定它得状

态需要三个互相对易得力学量算符与。在束缚态中，当与得本征值都确

定后，对应得波函数便被完全确定。

在某种特殊情况下，不对易算符对应得力学量也可能同时具有确定

值例如，在1=0得态中,Lx,Ly,Lz都有确定值。但在一般情况下,不对易

算符对应得力学量不能同时具有确定值。

2、测不准关系

设两个厄密算符与得对易关系为：

(3、4-1)

易证也就是厄密算符。以依次表示对应得力学量在态中得平均值。

令

(3、4-2)

因都就是实数，所以也都就是厄密算符。

(3、4-3)

考虑下述对全空间得积分：

，其中为实参数。

因都就是厄密算符,则得：

(3、4-4)

由上式可知,1⑹曲线就是开口朝上得抛物线,1(£)之0要求此曲线恒

在£轴得上方,此不等式成立得条件就是：

(3、4-5)

其中(3、4-6)

(3、4-5)式就就是海森伯给出得测不准关系。测不准关系应与粒

子得波粒二象性有关。以表示F得标准偏差(或称为均方根差)，则由(3、

4-5)式得：

(3、4-7)

把测不准关系应用于位置坐标与动量，因,则得：

(3、4-7)

由上式可知,()与()不能同时为零,()愈小，则()愈大。在经典力学中,h

可近似地视为无限小量，所以()与()可以近似地同时为零。但严格说来，

测不准关系就是量子力学中得特有结果，并不能很自然地过渡到经典情

况。事实上，即使()()=0,也只能说()与()可以同时为零而得不到()与()必

然同时为零得结论。止匕外，我们说经典力学中h可视为夫限小量,这就是

将h与一个具体得物理体系中得作用量等相比较而言得,但在上述测不

准关系得推导中并没有涉及任何具体得物理体系，所以也不能很自然地

过渡到经典力学得情况。

因动量算符与位置算符不对易,使得功能算符与势能算符也不对易

［处处为零所对应得自由粒子情况除外］，所以动能与势能一般不能同时

具有确定值。在得本征态中，每次测量时都有确定值，但没有确定得值。

在得本征态中，每次测量时都有确定值，但没有确定得值。在波函数所描

写得态中，通常与都没有确定得值。所以在量子力学中,说在某一点处

（位置或动量空间中得某点）粒子得能量应等于动能与势能之与就是没有

意义得。若考虑在整个空间中得无限多次测量，则粒子得能量平均值仍

等于平均功能与平均势能之与。

对于处在0至a之间无限深方势阱中得粒子，当粒子处在能量本征

值En对应得定态时，其波函数为：

在阱内，粒子得势能就是确定得;粒子位置得不确定程度（）不大于势

阱得宽度ao由上面C（Px）得表示式可知，动量Px得值除可为外，还可

以取许多值，所以粒子得功能就是不确定得。

一维谐振子得基态能，可以用测不准关系来说明。一维谐振子得平

均能量为：

（3、4-9）

注意到奇函数得对称积分等于零，则得：

根据（3、4-6）式得:，代入（3、4-9）式得：

（3、4-10）

因对得导数等于零,可解得得最小值为。可见一维谐振子得基态能

就是测不准关系所要求得最小能量。

如果把测不准关系应用于角动量得分量之间厕由得：

在得本征态中有:，则得：

若粒子被束缚在半径为r得球内，则常用近似关系式rP~h来估算粒

子动量得大小与功能得大小。

3、5力学量平均值随时间得变化与守恒定律

在归一化波函数所描写得态中,力学量F得平均值为：

（3、5-1）

因为就是时间t得函数，也可能显含t,所以通常就是时间t得函数。

将上式对t求微商得：

从薜定谓方程中求出代入上式得：

因为就是厄密算符,则得：

，即（3、5-2）

如果不显含时间t,则,上式便化为：

在经典力学中，速度，所以根据上式定义量子力学中得速度算符为：

（3、5-3）

如果既不显含t又与对易那么就有：

（3、5-4）

即不随时间改变。满足上式得力学量F称为运用恒量，或者说在运

动中守恒。

Q）自由粒子得动量守恒。

自由粒子得哈密顿算符为：

因而有

所以自由粒子得动量就是运动恒量。

（2）粒子在有心力场中运动时,角动量守恒。

在有心力场中，粒子得势能为，哈密顿算符为：

与（即）都与对易所以得：

可见粒子在有心力场中运动时,角动量平方与角动量分量都就是运

动恒量。

（3）哈密顿算符不显含时间t时，体系得能量守恒。

当不显含t时〃则有

=0

所以体系得能量就是运动恒量。

（4）哈密顿算符在空间反射中不变时，宇称宇恒。

将x、v、z三根坐标轴都反向得变换称为空间反射变换，或称宇称

变换。在宇称变换下，变为。在直角坐标系下，一即就是：

x一x,y-y,zz（3、5-5）

在球坐标系下，―即就是：

工,（3、5-6）

在柱坐标系下，即就是：

(3、5-7)

在宇称变换下，波函数变为，其中称为宇称变换算符。在非相对论量

子力学中(不考虑内禀宇称)(3、5-8)

将再作用于上式可得:，所以得本征值为±1。任意波函数都可展开

为：

{}121G)[C)C)][G)C)]2

SArtrtrtrtrtab?????????=+-+—=+=+vvvvv(3、5-

9)其中:经时一化后得

经归一化后得

所以与都就是宇称算符得本征函数，对应得本征值分另为1与-L称

为偶宇称态，而称为奇宇称态。如果体系得哈密顿算符在空间反射后保

持不变，则，所以得:这表明宇称就是运动恒量。同时说明与可以有构成完

备系得共同本征函数，因而体系得能量本征函数可以有确定得宇称或确

定得宇称平均值,并且不随时间而改变，这就就是量子力学中得宇称守恒

定律。