2025-2026学年吉林省长春市汽开九中九年级（上）调研数学试卷（1月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年吉林省长春市汽开九中九年级（上）调研数学试卷（1月份）一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y=（x-3）2-2的顶点坐标和开口方向分别是（）A.（3，-2），开口向上 B.（3，-2），开口向下

C.（-3，-2），开口向上 D.（-3，-2），开口向下2.下列说法错误的是（）A.直径是圆中最长的弦 B.半圆是弧

C.长度相等的两段弧是等弧 D.圆上各点到圆心的距离相等3.已知关于x的一元二次方程x2-（3-k）x-2k+3=0有两个相等的实数根，则k的值为（）A.-3 B.1 C.-1或3 D.-3或14.二次函数y=x2-2（3x-2）+（x+1）化为一般形式是（）A.y=x2-5x+5 B.y=x2+5x+5 C.y=x2+5x-5 D.y=x2+55.如图，在坡角为α的山坡上有A、B两棵树，两树间的坡面距离AB=6米，则这两棵树的竖直距离BC可表示为（）A.6sinα米

B.米

C.6cosα米

D.米6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC，AD.若∠BAC=43°，则∠ADC=（）A.43°

B.45°

C.47°

D.49°7.下列图象中.有可能是函数y=ax2+a（a≠0）的图象的是（）A. B.

C. D.8.如图，△ABC中，AB=AC，BC=10，AD⊥BC于点D，AD=12，P是半径为4的⊙A上一动点，连接PC，若E是PC的中点，连接DE，则DE长的最大值为（）A.8

B.9.5

C.9

D.8.5

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。9.已知m是一元二次方程x2-3x+1=0一个根，则2025-m2+3m的值为

.10.如图，小树AB在路灯O的照射下形成树影BC．若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=5m，则路灯的高度OP为

m．

​​​​​​​

11.将三个正六边形按如图方式摆放，若小正六边形的面积是6，则大正六边形的面积是

.

12.正方形的边长是1，若边长增加x,则面积增加y,y与x之间的关系式是

.13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx交x轴正半轴于点A，点B是y轴负半轴上一点，点A关于点B的对称点C恰好落在抛物线上，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，连接OC、AD.若点C的横坐标为-2，则四边形OCDA的面积为

.

14.如图，△ABC内接于⊙O，连OA，点D在⊙O上，连接AD，交BC于E，∠CAD=∠BAO.过D作DF⊥AB于F，交BC于G，若2∠BAD-∠ADB=3∠CAD，2AE=3DE，AC=1，则OA的长是

.

三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题7分)

计算：sin45°•cos45°+tan30°•sin60°.16.(本小题7分)

一个不透明的袋中装有2个红球，1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别.小明和小亮玩一种游戏，游戏规则如下：

规则1：从袋中随机摸球一次，摸到红球者获胜；

规则2：从袋中随机摸出球一次，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸球一次，两次都摸到红球者获胜.

为了提高获胜的机会，如果你是小明，你会选择哪种规则？请用画树状图或列表的方法说明理由.17.(本小题7分)

张亮为了响应学校“爱校护校”活动号召，决定牵头成立“爱校护校志愿服务团”.并走入各班级号召大家加入“志愿服务团”.假定从张亮一个人开始号召，被他号召加入团队的人和他一起下一周继续号召，每人每周能够号召相同人数加入，两周后，共有121人成为“志愿服务团”成员，求每人每周能够号召多少人加入“志愿服务团”.18.(本小题7分)

如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为点D，A（1，0），C（0，3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接BC，求△BOC的面积.

（3）D点坐标是______.

​19.(本小题7分)

如图，已知点A，B在圆上，以AB为边在圆内作正方形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹.

（1）在图1中作出圆的一条直径；

（2）在图2中作出圆内接正方形.20.(本小题7分)

如图，在△ABC中，∠C=90°，⊙O过点A、B，与BC交于点D，与AC相切于点A，连接OD交AB于点E(1)若∠BDO=58°，求∠B的大小(2)若AC=2，sinB=，求△EDB的面积21.(本小题7分)

阅读与思考

下面是小牛同学的部分日记，请仔细阅读并完成相应的任务：二次函数的应用

X年X月X日

今天在数学活动学习过程中遇到一个问题：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是2，个位上的数的和等于10），21×29，22×28，23×27，…，27×23，28×22，29×21.

请你先猜想，积最大的是______×______，并说明理由.

猜想：积最大的是25×25.

理由如下：

设两个乘数的积为y,其中一个乘数的个位上的数为x,则另一个乘数个位上的数为（10-x）.

根据题意得y=（20+x）[20+（10-x）]=（20+x）（30-x）=-（x+20）（x-30），…任务：

（1）上面日记中的分析过程中主要运用的数学思想是______.

A.数形结合

B.统计思想

C.分类讨论

D.函数思想

（2）请补全小牛的日记中的解题过程.

（3）下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是8，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100），801×899，802×898，803×897，…，897×803，898×802，899×801.用以上方法猜想其中哪个积最大，并说明理由.22.(本小题7分)

如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作⊙O分别交BC、AC于D、F两点，点E为AC延长线上一点，连结AD、BE，若∠E=∠DAC.

（1）求证：∠ABE=90°；

（2）求证：BC2=AF•AE；

（3）若CE=CF，BD=1，求⊙O半径.23.(本小题7分)

感知：如图①，若PA，PB是⊙O的两条弦，C是的中点，在弦AP上截取AF=PB，连接CA，CF，CP，CB，易证△FAC≌△PBC.（不需证明）

探究：如图②，若PA，PB是⊙O的两条弦，C是的中点，CE⊥PA于点E，求证：AE=PE+PB.

应用：如图③，BC是⊙O的直径，D是上一点，且满足∠DAC=45°，若AB=12，⊙O的半径为10，则AD的长为______.

24.(本小题15分)

如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与推物线（b,c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上.设抛物线与x轴的另一个交点为点C.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MB的值最小时，求点M的坐标；

（3）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值.

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】2026

10.【答案】

11.【答案】54

12.【答案】y=x2+2x

13.【答案】32

14.【答案】

15.【答案】解：sin45°•cos45°+tan30°•sin60°

=×+×

=+

=1．

16.【答案】解：方法一：规则2：画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有2种，

∴两次都摸到红球的概率为．

∵，

∴规则1获胜的概率更大，

∴选择规则1．

选择规则1，理由如下：规则1中摸到红球的概率为．

方法二：规则2：列表如下：红1红2白红1（红1，红2）（红1，白）红2（红2，红1）白（白，红1）（白，红2）由表格可知，共有6种等可能的结果，其中两次都换到红球的结果有2种，

∴两次都摸到红球的概率为．

∵，

∴规则1获胜的概率更大．

∴选择规则1．

17.【答案】解：设每人每周能够号召x人加入“志愿服务团”．

根据题意得：x（x+1）+x+1=121，

即（x+1）2=121，

∴x+1=±11，

解得：x1=10，x2=-12（不合题意，舍去）．

答：每人每周能够号召10人加入“志愿服务团”．

18.【答案】y=-x2-2x+3；

；

（-1，4）．

19.【答案】见解析．

20.【答案】【小题1】如图，连接OA，

∵AC与⊙O切于点A，

∴OA⊥AC，

∵∠C=90°，

∴OA∥BC，

∴∠AOD=∠BDO=58°，

由圆周角定理得：∠B=∠AOD=29°【小题2】∵sinB=，

∴∠B=30°，

∴∠AOD=2∠B=60°，

∵OA∥BC，

∴∠OAE=∠B=30°，

∴∠AEO=90°，

∴AE=BE，

在Rt△ABC中，AC=2，∠B=30°，

则AB=2AC=4，

∴BE=2，DE=BE•tanB=，

∴S△EDB=×2×=

21.【答案】25

25

D

22.【答案】（1）证明：∵AB=BC，

∴∠BAC=∠ACB，

∵∠BAC=∠BAD+∠CAD，∠ACB=∠CBE+∠E，∠E=∠DAC，

∴∠CBE=∠BAD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ABE=∠ABD+∠CBE=∠ABD+∠DAB=90°；

（2）证明：连接BF，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFB=90°，

∴∠AFB=∠ABE=90°，

∵∠BAF=∠EAB，

∴△ABF∽△AEB，

∴，

∴AB2=AF•AE，

∵BA=BC，

∴BC2=AF•AE；

（3）解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFB=90°，

又∵AB=BC，

∴AF=CF，∠BAC=∠BCA，

∵CE=CF，

∴，

∵∠ABE=∠ADC=90°，

∴△ADC∽△EBA，

∴，

∵BD=1，AB=BC，DC=BC-BD，

∴，

∴AB=3，

∴⊙O的半径为1.5．

23.【答案】解：探究：在AP上截取AF，使AF=PB，连接AC、CF、CP、CB，如图，

∵C是的中点，

∴，

∴CA=CB，

在△AFC和△BPC中，

，

∴△AFC≌△BPC（SAS），

∴CF=CP．

∴△CFP是等腰三角形，

∵CE⊥AP，

∴FE=EP，

∴AE=AF+FE=PE+PB；

应用：

．

24.【答案】解：（1）∵直线y=x+4与坐标轴交于A、B两点，

当x=0时，y=4，当y=0时，x=-4，

∴A（-4，0），B（0，4），

将A、B代入抛物线，

得，

解得，

∴抛物线的解析式为y=-．

答：抛物线的解析式为y=-．

（2）∵抛物线的解析式为y=-．

∴当y=0时，解得x1=-4，x2=2