专题08 直线、圆与圆锥曲线 2020-2026年高考数学真题分类汇编（天津专用）（答案版）

高考真题分类解析PAGE试卷第=1页，共=sectionpages33页PAGE1专题08直线、圆与圆锥曲线7年真题1年模拟考点01直线与圆的弦长问题1．22．3．4．5考点02求双曲线的方程1．A2．D3．D4．D考点03求双曲线的离心率1．D2．A3．A考点04抛物线的综合1．②④2．/3．6考点05椭圆综合（解答题）1．【详解】（1）由于椭圆的离心率为，所以，即，由于，所以，将代入椭圆方程，得，即，解得，即，由题意，所截得的线段长为，所以，解得，从而，所以椭圆的方程为.（2）由（1）可知，，所以圆的方程为，设直线的方程为，因为直线与圆相切，如图所示，则圆心到直线的距离，解得，椭圆上顶点，分两种情况讨论：①当时，直线的方程为，代入椭圆方程，化简得，解得或，则当时，，当时，，由于，所以，则，，此时；②当时，直线的方程为，代入椭圆方程，化简得，解得或，当时，，当时，，由于，所以，则，，此时.综上所述，的值为3.2．【详解】（1）依题意，设椭圆的半焦距为c，则左焦点，右顶点，离心率，即，因为为上一点，设，又直线的斜率为，则，即，所以，解得，则，即，因为的面积为，，高为，所以，解得，则，，所以椭圆的方程为..（2）由（1）可知，，，易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即，联立，消去得，，因为直线与椭圆有唯一交点，所以，即，则，解得，则，所以直线的方程为，联立，解得，则，以下分别用四种方法证明结论：法一：则，所以，，则，又，所以，即平分.法二：所以，，，由两直线夹角公式，得，，则，又，所以，即平分.法三：则，，故，又，所以，即平分.法四：则，所以直线的方程为，即，则点到直线的距离为，又点到直线的距离也为1，所以平分.3．【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中c为半焦距，所以，故，故，所以，，故椭圆方程为：.（2）若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：，设，由可得，故且而，故，因为恒成立，故，解得.若过点的动直线的斜率不存在，则或，此时需，两者结合可得.综上，存在，使得恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.4．【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为.(2).【详解】（1）如图，

由题意得，解得，所以，所以椭圆的方程为，离心率为.（2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，设直线的方程为，联立方程组，消去整理得：，由韦达定理得，所以，所以，.所以,,，所以，所以，即，解得，所以直线的方程为.5．【详解】（1）解：，离心率为.（2）解：由（1）可知椭圆的方程为，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立得，由，①，，由可得，②由可得，③联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．6．【详解】（1）易知点、，故，因为椭圆的离心率为，故，，因此，椭圆的方程为；（2）设点为椭圆上一点，先证明直线MN的方程为，联立，消去并整理得，，因此，椭圆在点处的切线方程为.在直线MN的方程中，令x=0，可得，由题意可知，即点，直线的斜率为，所以，直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，因为，则，即，整理可得，所以，，因为，，故，，所以，直线的方程为，即.【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解；（2）椭圆在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆相切.7．【详解】（Ⅰ）椭圆的一个顶点为，∴，由，得，又由，得，所以，椭圆的方程为；（Ⅱ）直线AB与以为圆心的圆相切于点，所以，根据题意可知，直线AB和直线的斜率均存在，设直线AB的斜率为，则直线AB的方程为，即，，消去，可得，解得x=0或.将代入，得，所以，点B的坐标为，因为为线段AB的中点，点的坐标为，所以点的坐标为，由，得点的坐标为，所以，直线的斜率为，又因为，所以，整理得，解得或.所以，直线AB的方程为或.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.1．B2．D3．4．或5．6．57．8．49．210．11．12．13．【详解】（1）由，得，由点，，可知直线AB的方程为，即.由于原点到直线AB的距离为63，即，得，，所以椭圆E的标准方程为.（2）假设存在直线交椭圆于P，Q两点，设，，右焦点，，因为F为的垂心，所以，因为，所以.设直线的方程为，由得，由，，得，且，，因为，，，故，，即，代入整理，得，解得，或.经检验，当时，不存在，故舍去，当时，满足，所求直线存在，所以的方程为.14．【详解】（1）因为椭圆的短轴长为2，所以，即，又，所以，所以椭圆的方程为.（2）设直线方程为，则由，可得，∴，∴，∴，令，∴，∴，∴，由题意可知，，解得.15．【详解】（1）因为，所以，由代入，可得，，所以椭圆的通径长为，即，由可得，解得，所以，所以椭圆的方程为.（2）由（1）可知，所以，直线所在直线方程为，即设，设点到直线的距离为，则，所以，当时，有最大值.(3)因为，设直线方程为，代入椭圆方程可得，设，则，所以中点M的纵坐标，所以，即，所以所在直线方程为，令，可得，即，假设在x轴上存在一定点满足题意，则，所以恒成立，则需，解得，即x轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点.16．【详解】（1）由题意可知，由，解得，∴椭圆的方程：.离心率为（2）（i），，由于直线斜率不为，则设直线，联立方程组，得：所以焦点弦长，点到直线的距离，∴，令，所以在上单调递增，所以，所以，当时等号成立，所以，当时等号成立，即面积的最大值为3（ii），当轴时，交点，关于x轴对称，∴点关于原点对称，∴以为直径的圆圆心为，半径为∵，∴，则，∴，又∵，∴圆与x轴的截得的弦为，当直线斜率存在时，设直线，设，联立方程组，整理得，则，，，直线，令，则，直线，令，则..，则，，则即即，同理可证，即点在以MN为直径的圆上，又∵在x轴上，∴以MN为直径的圆被x轴截得的弦为，，综上所述：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值2.17．【详解】（1）由题意得，，所以，又，所以，整理得，所以椭圆C的离心率；（2）由（1）可得，代入，整理得，所以椭圆C的方程为，，设直线的方程为，联立方程组，得，则，，联立，解得，设，因为，则，所以，则，垂足为H，因此的外接圆是以为直径，的中点为圆心的圆，设圆心为，所以圆T的标准方程为，设的中点为，则，连接，由题意知，，所以，由对称性可知，且，则是等边三角形，，因此，解得，所以椭圆C的标准方程为．18．【详解】（1）因为当P与椭圆短轴顶点重合时，的面积最大，此时最大值为，所以，又因为椭圆的离心率为，即，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以C的方程：;(2)证明：由（1）可知，设直线，由，得，设，则，不妨设，则，又因为，所以线段DE的中点，所以，所以，，所以，所以，所以为定值.

19．【详解】（1）由已知，则．，．（2）（ⅰ）设点，于是，所以或，而无解；由得又因为三角形面积，所以，于是，椭圆的方程为．