专题19 函数与方程及模型应用（三大考点33题）10年（2017-2026）高考数学真题分类汇编

高考真题分类解析PAGE试卷第=1页，共=sectionpages33页PAGE1专题19函数与方程及模型应用（三大考点，33题）考点分类十年考情（2017-2026）命题规律考点01零点及零点个数2026北京卷、2025天津卷、2024新课标Ⅱ卷、2019全国Ⅲ卷、2018全国Ⅲ卷、2017江苏1.基础中档选填，是函数核心基础题型。

2.核心：零点存在区间判断、指定区间零点数量计数、两个函数图像交点个数。

3.解题主要工具：零点存在定理、数形结合画图，常结合三角、周期、分段函数。考点02由零点/方程根求参数范围2026全国二卷、2024新课标Ⅱ卷、2024全国甲卷、2024天津卷、2023天津、2023新课标Ⅰ、2023上海、2020天津、2019浙江、2018全国Ⅰ/浙江/天津、2017山东/全国Ⅲ1.函数选填压轴高频难点，区分度高。

2.核心：已知零点、交点、方程解的个数，反求参数取值。

3.方法：数形结合、分离参数、分类讨论，分段、三角函数、周期函数为主要载体。考点03函数模型及其应用2026北京、2025北京/上海、2024北京、2023新课标Ⅰ、2020山东/全国Ⅲ、2019北京/全国Ⅱ、2017北京1.新高考必考实际应用题，以选择、填空出现。

2.模型包含对数、指数、二次、一次函数，覆盖天文、环境、生物、经济、工程、AI、音律等真实场景。

3.解题关键：读懂题意，转化为指数对数运算、二次最值、不等式计算，侧重数学建模能力。考点01零点及零点个数（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论：①在上有最小值和最大值；②，时，有最大值；③，有3个解；④，与有4个交点.其中正确结论的序号是________．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（

）A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设函数，则（

）A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在a，使得点为曲线的对称中心（2019·全国III卷·高考真题）函数在的零点个数为A．2 B．3 C．4 D．5（2018·全国III卷·高考真题）函数在的零点个数为________．（2017·江苏·高考真题）设是定义在R且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是____________考点02由零点及方程根的个数求参数及范围（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（

）A． B． C．1 D．2（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若函数恰有三个零点，则A． B．C． D．（2018·全国I卷·高考真题）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）（2017·山东·高考真题）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是A． B．C． D．（2017·全国III卷·高考真题）已知函数有唯一零点，则A． B． C． D．1（2020·天津·高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．（2026·全国二卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．（2019·江苏·高考真题）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围是_____.（2018·浙江·高考真题）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．（2018·天津·高考真题）已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.（2023·上海·高考真题）函数(1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数；(2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.考点03函数模型及其应用（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（

）A．2h B．4h C．20h D．40h（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（

）．A． B．C． D．（2020·山东·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（

）A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天（2019·全国II卷·高考真题）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为A． B．C． D．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（

）A． B．C． D．（2020·全国III卷·高考真题）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（

）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69（2019·北京·高考真题）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．（2017·北京·高考真题）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A．1033 B．1053C．1073 D．1093（2026·北京·高考真题）音高y（单位:）与频率f（单位：）满足，若，则f的取值范围为________．（2025·上海·高考真题）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．

（2019·北京·高考真题）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃