2026年江苏省北师大版高中数学第7章函数应用题库

2026年江苏省北师大版高中数学第7章函数应用题库一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，若f(a)=3，则实数a的取值集合为______。A.{-3,0,3}B.{-2,-1,1,2}C.{-4,-2,0,2}D.{-3,-1,1,3}解析：由f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，该和的最小值为3，此时x∈[-2,1]。由f(a)=3可得a=-2或-1或1或2，故选B。2.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品可变成本为20元，售价为50元，则该工厂的利润y（万元）关于产量x（件）的函数关系式为______。A.y=40x-10B.y=40x-1000C.y=40x-10xD.y=50x-20x-10解析：利润=收入-成本，收入为50x元，成本为10+20x万元，故y=50x-20x-10=30x-10。选项B中系数错误，选项C未考虑固定成本，选项D收入计算错误，故选A。3.函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别为______。A.8,-8B.8,-4C.8,-8D.4,-4解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=2，故最大值为8，最小值为-8，故选C。4.已知函数f(x)=ax²+bx+c在x=1时取得极值，且f(1)=-2，则______。A.a+b+c=-2B.a-b+c=-2C.a+b+c=2D.a-b+c=2解析：由f'(1)=2a+b=0，f(1)=a+b+c=-2，联立可得a-b+c=-2，故选B。5.某城市出租车的计费标准为：起步价10元（含3公里），之后每公里2元，则车费y（元）关于行驶里程x（公里）的函数关系式为______。A.y=2x+10（x≥3）B.y=2x+6（x≥3）C.y=2x+4（x≥3）D.y=2x+8（x≥3）解析：起步价含3公里，超出部分每公里2元，故y=10+2(x-3)=2x+4（x≥3），故选C。6.函数f(x)=x²-2ax+a²+1在x∈[0,2]上的最小值为______。A.1B.0C.3D.5解析：f(x)=(x-a)²+1，对称轴为x=a。-若a≤0，最小值在x=0处取得，f(0)=a²+1≥1；-若0<a<2，最小值在x=a处取得，f(a)=1；-若a≥2，最小值在x=2处取得，f(2)=5-a²≥1。综上最小值为1，故选A。7.已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|，则f(x)的最小值为______。A.1B.2C.3D.0解析：f(x)表示数轴上x对应点到1和2对应点的距离之和，最小值为1-2=1，故选A。8.某商品的需求量q（件）关于价格p（元）的函数关系式为q=100-2p，则该商品的收益函数R（元）为______。A.R=100p-2p²B.R=100p+2p²C.R=100p-2p²D.R=100p+2p²解析：收益=价格×销量，R=pq=p(100-2p)=100p-2p²，故选A。9.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的零点个数为______。A.1B.2C.3D.4解析：f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0得x=0或2。f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，由零点存在性定理可知，零点分别为(-1,0)附近、(0,2)处、(2,3)附近，共3个，故选C。10.已知函数f(x)=x²-2ax+a²，若f(x)在x=1处取得最小值，则a的取值范围为______。A.a>1B.a<1C.a=1D.a∈R解析：f(x)=(x-a)²，对称轴为x=a，若在x=1处取得最小值，则a=1，故选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=|x+1|在区间[-3,2]上的最大值为______。参考答案：3解析：f(x)在x=-1处取得最小值0，在x=-3处取得最大值|-3+1|=2，在x=2处取得最大值|2+1|=3，故最大值为3。2.若函数f(x)=x²+bx+c在x=1时取得极值，则b+c=______。参考答案：-4解析：f'(x)=2x+b，令f'(1)=2+b=0得b=-2，f(1)=1+b+c=-2，故c=-1，b+c=-3。3.函数f(x)=x³-3x+1的极值点为______。参考答案：-1,1解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-1)=3,f(1)=-1，故极值点为-1和1。4.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为______。参考答案：3解析：f(x)表示数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，最小值为1-(-2)=3。5.函数f(x)=x²-2x+3在区间[0,3]上的最小值为______。参考答案：2解析：f(x)=(x-1)²+2，对称轴为x=1，最小值在x=1处取得，f(1)=2。6.若函数f(x)=x³-3x²+2在x=2处取得极大值，则______。参考答案：正确解析：f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0得x=0或2，f''(x)=6x-6，f''(2)=6>0，故x=2为极小值点，原命题错误。7.函数f(x)=|x-1|+|x-2|在区间[1,2]上的最小值为______。参考答案：1解析：f(x)在x=1.5处取得最小值|1.5-1|+|1.5-2|=0.5+0.5=1。8.已知函数f(x)=x²-2ax+a²，若f(x)在x=1处取得最小值，则a=______。参考答案：1解析：f(x)=(x-a)²，对称轴为x=a，若在x=1处取得最小值，则a=1。9.某商品的需求量q（件）关于价格p（元）的函数关系式为q=100-2p，则该商品的收益函数R（元）为______。参考答案：R=100p-2p²解析：收益=价格×销量，R=pq=p(100-2p)=100p-2p²。10.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的零点个数为______。参考答案：3解析：f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，由零点存在性定理可知，零点分别为(-1,0)附近、(0,2)处、(2,3)附近，共3个。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=-1.5处取得最小值3。参考答案：正确解析：f(x)在x=-0.5处取得最小值|-0.5-1|+|-0.5+2|=1.5，故原命题错误。2.函数f(x)=x³-3x²+2在x=2处取得极大值。参考答案：错误解析：f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0得x=0或2，f''(x)=6x-6，f''(2)=6>0，故x=2为极小值点。3.函数f(x)=x²-2x+3在区间[0,3]上的最小值为2。参考答案：正确解析：f(x)=(x-1)²+2，对称轴为x=1，最小值在x=1处取得，f(1)=2。4.函数f(x)=|x-1|+|x-2|在区间[1,2]上的最小值为1。参考答案：正确解析：f(x)在x=1.5处取得最小值|1.5-1|+|1.5-2|=0.5+0.5=1。5.函数f(x)=x³-3x+1的极值点为-1和1。参考答案：正确解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-1)=3,f(1)=-1，故极值点为-1和1。6.函数f(x)=x²-2ax+a²在x=a处取得最小值。参考答案：正确解析：f(x)=(x-a)²，对称轴为x=a，故在x=a处取得最小值0。7.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为3。参考答案：正确解析：f(x)表示数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，最小值为1-(-2)=3。8.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的零点个数为3。参考答案：正确解析：f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，由零点存在性定理可知，零点分别为(-1,0)附近、(0,2)处、(2,3)附近，共3个。9.函数f(x)=x²-2x+3在区间[0,3]上的最大值为8。参考答案：错误解析：f(x)=(x-1)²+2，对称轴为x=1，最大值在x=3处取得，f(3)=8。10.函数f(x)=x³-3x²+2在x=1处取得极值。参考答案：正确解析：f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0得x=0或2，f''(x)=6x-6，f''(1)=-6<0，故x=1为极大值点。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。解答：f(x)表示数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，最小值为1-(-2)=3，此时x∈[-2,1]。2.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的极值点有哪些？解答：f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0得x=0或2，f''(x)=6x-6，f''(0)=-6<0，f''(2)=6>0，故极值点为x=0（极大值）和x=2（极小值）。3.函数f(x)=x²-2x+3在区间[0,3]上的最大值是多少？解答：f(x)=(x-1)²+2，对称轴为x=1，最大值在x=3处取得，f(3)=8。4.函数f(x)=|x-1|+|x-2|在区间[1,2]上的最小值是多少？解答：f(x)在x=1.5处取得最小值|1.5-1|+|1.5-2|=0.5+0.5=1。5.函数f(x)=x³-3x+1的极值点有哪些？解答：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(x)=6x，f''(-1)=-6<0，f''(1)=6>0，故极值点为x=-1（极大值）和x=1（极小值）。6.函数f(x)=x²-2ax+a²在x=1处取得最小值，求a的值。解答：f(x)=(x-a)²，对称轴为x=a，若在x=1处取得最小值，则a=1。7.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=-1.5处取得的最小值是多少？解答：f(x)在x=-0.5处取得最小值|-0.5-1|+|-0.5+2|=1.5，故原命题错误。8.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的零点个数为多少？解答：f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，由零点存在性定理可知，零点分别为(-1,0)附近、(0,2)处、(2,3)附近，共3个。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品可变成本为20元，售价为50元，求该工厂的利润函数，并求产量为100件时的利润。解答：利润=收入-成本，收入=50x元，成本=10+20x万元，故利润函数为y=50x-20x-10=30x-10。当x=100时，y=30×100-10=2900元。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最大值和最小值分别为多少？解答：f(-3)=4，f(-2)=3，f(-1)=2，f(0)=3，f(1)=2，f(2)=3，f(3)=4，故最大值为4，最小值为2。3.函数f(x)=x²-2x+3在区间[0,3]上的最大值和最小值分别为多少？解答：f(x)=(x-1)²+2，对称轴为x=1，最小值在x=1处取得，f(1)=2；最大值在x=3处取得，f(3)=8。4.函数f(x)=|x-1|+|x-2|在区间[1,2]上的最小值是多少？解答：f(x)在x=1.5处取得最小值|1.5-1|+|1.5-2|=0.5+0.5=1。5.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的零点个数为多少？解答：f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，由零点存在性定理可知，零点分别为(-1,0)附近、(0,2)处、(2,3)附近，共3个。6.函数f(x)=x²-2ax+a²在x=1处取得最小值，求a的值及最小值。解答：f(x)=(x-a)²，对称轴为x=a，若在x=1处取得最小值，则a=1，最小值为0。7.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=-1.5处取得的最小值是多少？解答：f(x)在x=-0.5处取得最小值|-0.5-1|+|-0.5+2|=1.5，故原命题错误。8.某商品的需求量q（件）关于价格p（元）的函数关系式为q=100-2p，求该商品的收