2026数学新教材 人教版八年级上册数学 15.1.2线段的垂直平分线 教学课件

第十五章轴对称15.1.2线段的垂直平分线

能用尺规作已知线段的垂直平分线．进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据．能够运用尺规作图的方法解决简单的作图问题．复习旧知1.轴对称的性质是什么？2.线段垂直平分线的性质？3.如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系．这节课，我们一起来探讨线段的垂直平分线的相关性质．请你类比前面研究角的平分线的方法，想一想，可以怎样研究线段的垂直平分线？

如图，直线l

垂直平分线段AB，P1，P2，P3，……在l

上，分别比较点P1，P2，P3，……与点A

的距离和这些点与点B

的距离，你有什么发现？ABlP1P2P3P1A＝P1B，P2A＝P2B，P3A＝P3B，……发现

思考

如果把线段AB沿直线l

对折，

线段P1A与P1B，线段P2A与P2B，线段P3A与P3B，……有什么关系？

如果把线段AB沿直线l

对折，

线段P1A与P1B，线段P2A与P2B，线段P3A与P3B，……有什么关系？思考ABlP1P2P3

发现线段P1A与P1B，线段P2A与P2B，线段P3A与P3B，……它们都重合，都分别相等．猜想

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．方法总结：对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得此图形的对称轴.例1：课本P68尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线。AB.CDEK·已知：直线AB和AB外一点C，如图：求作：AB的垂线，使它经过点C。作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁。（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E。（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.F(4)作直线。∴直线CF就是所求作的垂线。想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？例2

如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴.ABCA′B′C′方法总结：如果成轴对称的两个图形对称点连线段（或延长线）相交，那么交点必定在对称轴上.解：延长BC、B'C'交于点P，延长AC，A'C'交于点Q，连接PQ，则直线PQ即为所要求作的直线l.1、作出下列图形的一条对称轴.和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？练习活动：探究线段的垂直平分线的判定APB分析：可以先过点P作一条与AB垂直的直线，再说明这条直线平分线段AB.先过点P作PC⊥AB，垂足为C，再证点C是线段AB的中点.C要证点C是线段AB的中点，只需要证Rt△PAC≌Rt△PBC即可.作垂直，证中点已知：如图，PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.活动：探究线段的垂直平分线的判定已知：如图，PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.还可以取中点，证垂直，取AB的中点为C，连接PC，只需要证PC⊥AB.APBC

分析下面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？这两个命题的题设、结论正好相反.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.思考如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.

一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的；而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立.

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.在几何中，有许多互逆的定理.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理D

如图，已知直线l和线段MN(线段MN不与l相交)，求作一点Q，使点Q在直线l上，且Q到M，N两点的距离相等.分析：由题意可知Q为MN垂直平分线和l的交点，故先作MN的垂直平分线，再找其与直线l的交点即为Q.MNQl(2)作直线EF，则直线EF与直线l的交点即为点Q．EF分析：把求到不共线三点的距离均相等的点的问题，转化为求连接任意两点的线段的垂直平分线的交点问题.

有A，B，C三个村庄，现准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.解：(1)连接BC，AC；ABCP(2)分别作BC，AC的垂直平分线交于点P，则点P就是所要确定的学校的位置.

写出下列命题的逆命题，并判断这些命题是否成立.(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)偶数一定能被2整除；(3)如果a与b都是负数，那么ab>0.解：(1)逆命题：有两个角互余的三角形是直角三角形.(2)逆命题：如果一个数能被2整除，那么这个数一定是偶数.(3)逆命题：如果ab>0，那么a与b都是负数.成立不成立不成立对照练习如图,AB=AC,MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗?为什么?解：∵AB=AC,MB=MC,∴直线AM是线段BC的垂直平分线，(到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)对照练习写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.(1)两直线平行，同位角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；(3)全等三角形的对应角相等.解：(1)同位角相等，两直线平行，为真命题(2)如果两个实数的绝对值相等，那么它们也相等，为假命题(3)如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题1.

已知线段AB，点P在线段AB的垂直平分线上，PA=5，则PB=_____.2.如图，△ABC中，DE为AB边的垂直平分线，垂足为D.若AC=5，BC=3，则△BCE的周长是___