2026-2027学年高一上册数学月考真题培优试卷（人教A版）

2026-2027学年高一上册数学月考真题培优试卷（人教A版）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设集合A={x|-1<x<2},B={x|x≥1},则A∩B=()A.{x|x<-1}B.{x|1≤x<2}C.{x|x≥2}D.{x|x<1}2.“x>1”是“x²>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数f(x)=log₃(x-1)的定义域是()A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1]4.若a>1,b<0,则下列关系式中正确的是()A.a²>b²B.a+b>1C.ab>aD.b<log₁<0xE2><0x82><0x98>(b)5.函数g(x)=(1/3)ˣ的图像与函数h(x)=3ˣ的图像()A.关于原点对称B.关于x轴对称C.关于y轴对称D.关于直线y=x对称6.函数f(x)=x³-3x的单调递增区间是()A.(-∞,-1)B.(-1,1)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)7.若函数f(x)=logₐ|x|在(0,+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是()A.0<a<1B.a>1C.a=1D.a∈(0,1)∪(1,+∞)8.若幂函数f(x)=xᵐ的图像经过点(4,2√2)，则m的值为()A.1/2B.√2C.3/2D.√3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）9.设集合A={1,2,3},B={2,4,6},则A∪B=_______.10.若f(x)=2ˣ+1,g(x)=log₂(x-1)，则f(g(3))=_______.11.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是_______.12.若a<1且a+2b=1，则a²+4b²的最小值是_______.三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）13.（本小题满分12分）设集合A={x|x²-3x+2≥0},B={x|2a-1≤x≤a²+1}。（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）若A∪B=R，求实数a的取值范围。14.（本小题满分13分）已知函数f(x)=log₃(x+3)。（1）求函数f(x)的定义域和值域；（2）解不等式f(x)>1。15.（本小题满分14分）比较下列两个数的大小：log₅6与log₇8。16.（本小题满分15分）已知a>0且a≠1，函数g(x)=aˣ+logₐ(2x-1)。（1）证明：函数g(x)在其定义域内是单调函数，并说明是增函数还是减函数；（2）若aˣ+logₐ(2x-1)=0有解，求实数a的取值范围。17.（本小题满分15分）设函数f(x)=|2x-1|+|x+3|。（1）画出函数f(x)的图像；（2）求函数f(x)的表达式，并写出其单调区间。18.（本小题满分15分）已知函数F(x)=f(x)-xf'(x)，其中f(x)=x²eˣ。（1）求函数F(x)的解析式；（2）判断函数F(x)在区间(0,+∞)上的单调性，并给出证明。试卷答案一、选择题1.B2.A3.B4.D5.C6.C7.D8.C二、填空题9.{1,2,3,4,6}10.911.312.1三、解答题13.（1）解：由x²-3x+2≥0，得(x-1)(x-2)≥0，解得x≤1或x≥2，所以A=(-∞,1]∪[2,+∞)。若A∩B=∅，则B⊆A的补集(1,2)。由2a-1≤x≤a²+1，得B=[2a-1,a²+1]。需要满足2a-1>1且a²+1<2，即a>1且a²<1。此不等式组无解。另需满足2a-1≥1且a²+1≤1，即a≥1且a²≤0。此不等式组无解。再需满足2a-1≤1且a²+1≥2，即a≤1且a²≥1。此不等式组解为a=-1。综上，实数a的取值范围是{-1}。（2）若A∪B=R，则B必须覆盖A在(1,2)之外的部分。需要[2a-1,a²+1]覆盖(-∞,1)和[2,+∞)。对覆盖(-∞,1)：需a²+1≥1，即a²≥0，这对所有实数a都成立。对覆盖[2,+∞)：需2a-1≤2且a²+1≥2，即a≤3/2且a²≥1。解得-1≤a≤3/2且a≤-1或a≥1。综合得到a∈[-1,3/2]∩(-∞,-1]∪[1,+∞)=[1,3/2]。所以实数a的取值范围是[1,3/2]。14.（1）定义域：由x+3>0，得x>-3。所以定义域为(-3,+∞)。值域：y=log₃(x+3)，y>0。所以值域为(0,+∞)。（2）解不等式f(x)>1，即log₃(x+3)>1=log₃3。因为底数3>1，对数函数单调递增，所以x+3>3。解得x>0。所以不等式的解集为(0,+∞)。15.解法一：作商法。考虑6/8=3/4。比较log₅(3/4)和1。log₅(3/4)=log₅3-log₅4。因为0<3/4<1，且对数函数log₅(x)在(0,1)上为负，所以log₅(3/4)<0。而log₇8>log₇7=1。因此log₅(3/4)<0<log₇8，即log₅6<log₇8。解法二：换底公式。log₅6/log₇8=log₇6/log₇8=log₇6/log₇8。比较log₇6和log₇8。因为底数7>1，对数函数单调递增，且6<8，所以log₇6<log₇8。因此log₅6<log₇8。16.（1）定义域：由2x-1>0，得x>1/2。所以定义域为(1/2,+∞)。求导：g'(x)=aˣ*ln(a)+(1/(2x-1))*(1/a)*(-1)=aˣ*ln(a)-1/(a(2x-1))。因为a>0且a≠1，所以ln(a)≠0。当a>1时，ln(a)>0。此时g'(x)=aˣ*ln(a)-1/(a(2x-1))。因为x>1/2，2x-1>0，所以aˣ*ln(a)>0且1/(a(2x-1))>0。需要判断g'(x)的符号。g'(x)=ln(a)*(aˣ-1/(a(2x-1)))。要使g'(x)>0，需ln(a)>0且aˣ>1/(a(2x-1))。因为a>1，ln(a)>0。考察aˣ>1/(a(2x-1))，即aˣ(2x-1)>1/a。令h(x)=aˣ(2x-1)。h'(x)=2aˣ*ln(a)+aˣ*(2/(2x-1))>0(x>1/2)。所以h(x)在(1/2,+∞)上单调递增。h(1/2)=a^(1/2)*0=0。所以h(x)>0(x>1/2)。因此aˣ(2x-1)>0。所以需要0<1/a<aˣ(2x-1)，即0<aˣ(2x-1)。因为h(x)>0，所以aˣ(2x-1)>0总成立。综上，当a>1时，g'(x)=ln(a)*(aˣ-1/(a(2x-1)))。因为aˣ>1/(a(2x-1))在x>1/2时成立，所以g'(x)>0。函数g(x)在(1/2,+∞)上单调递增。当0<a<1时，ln(a)<0。此时g'(x)=ln(a)*(aˣ-1/(a(2x-1)))。要使g'(x)>0，需ln(a)<0且aˣ<1/(a(2x-1))。因为0<a<1，ln(a)<0。考察aˣ<1/(a(2x-1))，即aˣ(2x-1)<1/a。令h(x)=aˣ(2x-1)。h'(x)=2aˣ*ln(a)+aˣ*(2/(2x-1))<0(x>1/2)。所以h(x)在(1/2,+∞)上单调递减。h(1/2)=a^(1/2)*0=0。所以h(x)<0(x>1/2)。因此aˣ(2x-1)<0。所以需要1/a<0<aˣ(2x-1)。因为h(x)<0，所以1/a<0总不成立。综上，当0<a<1时，g'(x)=ln(a)*(aˣ-1/(a(2x-1)))。因为aˣ>1/(a(2x-1))在x>1/2时成立，所以g'(x)<0。函数g(x)在(1/2,+∞)上单调递减。综上，函数g(x)在其定义域内是单调函数。当a>1时是增函数，当0<a<1时是减函数。（2）若方程aˣ+logₐ(2x-1)=0有解，即logₐ(2x-1)=-aˣ。由（1）知，当a>1时，g(x)=aˣ+logₐ(2x-1)是增函数，且g(1/2)=a^(1/2)+logₐ(0)无意义，g(1)=a+logₐ(1)=a>0。当x趋向+∞时，g(x)趋向+∞。所以方程无解。当0<a<1时，g(x)=aˣ+logₐ(2x-1)是减函数，且g(1/2)=a^(1/2)+logₐ(0)无意义，g(1)=a+logₐ(1)=a<0。当x趋向+∞时，g(x)趋向-∞。根据零点存在性定理，函数g(x)在(1/2,+∞)上存在零点。所以当且仅当0<a<1时，方程aˣ+logₐ(2x-1)=0有解。17.（1）图像：分段函数。当x<-3时，f(x)=-(2x-1)-(x+3)=-3x-2。当-3≤x≤1/2时，f(x)=-(2x-1)+(x+3)=-x+4。当x>1/2时，f(x)=(2x-1)+(x+3)=3x+2。图像为三段线段，分别连接点(-∞,+∞)与(-3,7)，(-3,7)与(1/2,7)，(1/2,7)与(1/2,+∞)，以及点(1/2,7)与(1/2,+∞)的右侧线段(斜率为3)。（此处无法绘制图像，请自行想象）（2）表达式：f(x)={-3x-2,x<-3-x+4,-3≤x≤1/23x+2,x>1/2}单调区间：在(-∞,-3)上，f(x)=-3x-2，斜率为-3<0，单调递减。在(-3,1/2]上，f(x)=-x+4，斜率为-1<0，单调递减。在(1/2,+∞)上，f(x)=3x+2，斜率为3>0，单调递增。综上，函数的单调递减区间为(-∞,1/2]，单调递增区间为(1/2,+∞)。18.（1）求导：f'(x)=(x²eˣ)'=2xeˣ+x²eˣ=eˣ(x²+2x)。代入F(x)=f(x)-xf'(x)，得F(x)=x²eˣ-x*eˣ(x²+2x)=x²eˣ-x³eˣ-2xeˣ=eˣ(x²-x³-2x)=eˣ(-x³-x²-2x)=-eˣ(x³+x²+2x)。所以函数F(x)的解析式为F(x)=-eˣ(x³+x²+2x)。（2）判断单调性：需要研究F'(x)的符号。F'(x)=[-eˣ(x³+x²+2x)]'=-eˣ(x³+x²+2x)'-eˣ(x³+x²+2x)*(ln(e))=-eˣ(3x²+2x+2)-eˣ(x³+x²+2x)。因为eˣ>0对所有实数x都成立，所以F'(x)=eˣ[-(3x²+2x+2)-(x³+x²+2x)]=eˣ[-x³-5x²-4x-2]。需要判断-x³-5x²-4x-2的符号。令g(x)=-x³-5x²-4x-2。g'(x)=-3x²-10x-4。g'(x)=-3(x²+(10/3)x+(4/3))=-3(x+2)(x+1/3)。g'(x)在x=-2和x=-1/3处变号。g'(x)在(-∞,