半角公式测试试题与详细答案

半角公式测试试题与详细答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若`cosα=-frac{4}{5}`，且α在第三象限，则`sin²(α/2)`的值为？（A）frac{9}{25}（B）frac{25}{25}（C）frac{9}{50}（D）-frac{9}{50}2.化简`frac{1-cos(2β)}{sin(β)}`的结果是？（A）`sin(β)`（B）`cos(β)`（C）`tan(β)`（D）`cot(β)`3.下列哪个表达式一定等于`cos²(θ/2)`？（A）`frac{1+sinθ}{2}`（B）`frac{1-sinθ}{2}`（C）`frac{1+cosθ}{2}`（D）`frac{1-cosθ}{2}`4.若`tan(x)=-frac{3}{4}`，且x在第二象限，则`tan(½x)`的值为？（A）-frac{3}{5}（B）-frac{4}{5}（C）frac{3}{5}（D）frac{4}{3}5.函数`y=3sin²(x/2)-3cos(x)`的最小值是？（A）-3（B）-1（C）1（D）3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。6.已知`sinα=frac{12}{13}`，`cosα<0`，则`cos(½α)=`__________。7.化简`sin(x+15°)cos(x-15°)-cos(x+15°)sin(x-15°)`的结果是__________。8.若`cosθ=frac{7}{25}`，θ为锐角，则`tan²(θ/2)`的值是__________。9.用半角公式证明`1+sin(2α)=(sinα+cosα)²`。（写出关键步骤）10.求函数`y=2sin²(x)+3sin(x)cos(x)+1`的最小正周期。__________三、解答题：本大题共4小题，共50分。11.（10分）化简下列三角表达式：`frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}+frac{sinθ+cosθ}{sinθ-cosθ}`12.（12分）已知`cos(2x)=-frac{3}{5}`，x为锐角，求`sin(x/2)cos(x/2)`的值。13.（15分）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。若`cosA=frac{1}{7}`，且`b=7`，`c=13`。求`sinB`的值。14.（13分）设`f(θ)=1-2cos²(θ/2)`。（1）求函数f(θ)的最小正周期；（2）若`sin(θ)=-frac{4}{5}`，`θ`在第三象限，求`f(θ)`的值。试卷答案一、选择题：1.（C）2.（C）3.（D）4.（C）5.（B）二、填空题：6.`±sqrt(frac{1-cosα}{2})=±sqrt(frac{1-(-frac{5}{13})}{2})=±sqrt(frac{18}{26})=±sqrt(frac{9}{13})=±frac{3}{sqrt{13}}=±frac{3sqrt{13}}{13}`。由于α在第二象限，½α在第一象限或第二象限。若½α在第一象限，sin(½α)>0；若½α在第二象限，sin(½α)<0。结合cos(½α)=`±sqrt(frac{1-cosα}{2})`，cos(½α)应为正。故`cos(½α)=frac{3sqrt{13}}{13}`。7.`sin(x+15°)cos(x-15°)-cos(x+15°)sin(x-15°)=sin[(x+15°)-(x-15°)]=sin(30°)=frac{1}{2}`。8.`tan²(θ/2)=(frac{sinθ}{1+cosθ})²=(frac{±sqrt(1-cos²θ)}{1+cosθ})²=(frac{±sqrt(1-(frac{7}{25})²)}{1+frac{7}{25}})²=(frac{±sqrt(1-frac{49}{625})}{frac{25+7}{25}})²=(frac{±sqrt(frac{576}{625})}{frac{32}{25}})²=(frac{±frac{24}{25}}{frac{32}{25}})²=(±frac{24}{32})²=(±frac{3}{4})²=frac{9}{16}`。9.证明：左边=`1+2sinαcosα=(sinα+cosα)²`。右边展开=`(sinα+cosα)²=sin²α+2sinαcosα+cos²α=(sin²α+cos²α)+2sinαcosα=1+2sinαcosα`。左边=右边。得证。10.`y=2sin²(x)+3sin(x)cos(x)+1=2sin²(x)+frac{3}{2}*2sin(x)cos(x)+1=2sin²(x)+frac{3}{2}sin(2x)+1`。函数`y=Asin(ωx+φ)+B`的周期为`T=frac{2π}{|ω|}`。此处`ω=1`，故最小正周期为`2π`。11.解：原式=`frac{(sinθ-cosθ)²+(sinθ+cosθ)²}{(sinθ+cosθ)(sinθ-cosθ)}=frac{sin²θ-2sinθcosθ+cos²θ+sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ}{sin²θ-cos²θ}=frac{2(sin²θ+cos²θ)}{sin²θ-cos²θ}=frac{2*1}{sin²θ-cos²θ}=-frac{2}{cos²θ-sin²θ}=-frac{2}{-cos(2θ)}=frac{2}{cos(2θ)}`。12.解：因为`cos(2x)=2cos²(x)-1=-frac{3}{5}`，所以`2cos²(x)=1-frac{3}{5}=frac{2}{5}`，即`cos²(x)=frac{1}{5}`。又因为x为锐角，所以`cos(x)=sqrt(frac{1}{5})=frac{1}{sqrt{5}}=frac{sqrt{5}}{5}`。由半角公式`sin²(x/2)=1-cos²(x/2)=1-sqrt(frac{1-cosx}{2})=1-sqrt(frac{1-frac{1}{5}}{2})=1-sqrt(frac{frac{4}{5}}{2})=1-sqrt(frac{2}{5})=1-frac{sqrt{10}}{5}`。`cos²(x/2)=1-sin²(x/2)=sqrt(frac{1-cosx}{2})=sqrt(frac{1-frac{1}{5}}{2})=sqrt(frac{frac{4}{5}}{2})=sqrt(frac{2}{5})=frac{sqrt{10}}{5}`。`sin(x/2)cos(x/2)=sqrt(sin²(x/2))*sqrt(cos²(x/2))=(1-frac{sqrt{10}}{5})*(frac{sqrt{10}}{5})=frac{sqrt{10}}{5}-1`。13.解：由`cosA=frac{1}{7}`，且A为锐角，得`sinA=sqrt(1-cos²A)=sqrt(1-(frac{1}{7})²)=sqrt(1-frac{1}{49})=sqrt(frac{48}{49})=frac{4sqrt{3}}{7}`。根据正弦定理，`frac{a}{sinA}=frac{b}{sinB}`，即`frac{c}{sinC}=frac{b}{sinB}`。又`sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB`。因为`a²+c²-b²=2accosB`，所以`cosB=frac{a²+c²-b²}{2ac}=frac{0+169-49}{2*7*13}=frac{120}{182}=frac{60}{91}`。因为B为锐角，`sinB=sqrt(1-cos²B)=sqrt(1-(frac{60}{91})²)=sqrt(1-frac{3600}{8281})=sqrt(frac{4681}{8281})=frac{3sqrt{519}}{91}`。`sinB=frac{3sqrt{519}}{91}`。14.解：（1）`f(θ)=1-2cos²(θ/2)=cos(θ)`。函数`y