高中数学选择性必修第二册3.1.2排列与排列数教学设计

高中数学选择性必修第二册3.1.2排列与排列数教学设计一、教学任务分析本节课是人教B版高中数学选择性必修第二册第三章第一节的第二课时，核心内容是排列概念的建立、排列数公式的推导及其初步应用。排列既是两个基本计数原理的综合运用，又是后续学习组合、二项式定理以至概率统计的重要基础，在整章知识体系中处于承上启下的枢纽位置。学生在上一课时已经掌握了分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能够处理一些简单的计数问题。但从"用原理直接数"上升到"建立模型套用公式"，中间存在一个抽象化的台阶。部分学生容易把排列理解为"选出来再排顺序"这一个含混的动作，抓不住"顺序是否影响结果"这一判别要点；还有学生在套用公式时对m、n的含义指代不清，出现"会算不会用"的情况。因此，本节课的教学重心应放在概念的生成过程和公式的推导逻辑上，而不是急于训练代入计算。二、教学目标定位知识与技能：理解排列的定义，会判断一个计数问题是不是排列问题；掌握排列数公式Anm=n(n−1)(n−2)…(n−m+1)及其阶乘形式Anm=n!/(n−m)!，能进行简单运算；明确全排列An与阶乘n!的联系。过程与方法：经历从具体问题到抽象概念的归纳过程，体会用分步乘法计数原理推导排列数公式的思维路径，感受"把一类问题化归为一个公式"的数学思想。情感态度与价值观：通过密码设置、站队照相等生活情境，感受计数问题在现实世界中的普遍存在，体会数学抽象带来的简洁与力量。三、教学重点与难点教学重点是排列数公式的推导及应用。教学难点有两个：一是"顺序"这一隐含条件的识别，二是阶乘表示式中(n−m)!的分母从何而来。识别顺序问题，我计划通过对比性例题让学生反复确认；阶乘形式的推导，则依靠学生自主完成公式的恒等变形。四、教学方法与准备采用问题驱动教学法与小组合作探究相结合的方式。课前准备课件，内含三个代表性情境、排列数公式的逐步展开动画、分层练习题组；教具方面不必复杂，黑板板书与课件配合即可，但板书设计要保留概念定义与公式推导的完整过程，供学生课后回顾。五、教学过程设计第一环节：情境引入，唤醒需求。上课伊始，我在屏幕上呈现三个问题。问题一：从北京、上海、广州三个城市的候选航班中，选出上午和下午各一个航班方案，有多少种选法？问题二：三名同学参加三人座谈会，围坐后从正面看排成一列，有多少种坐法？问题三：某手机要求设置六位数字密码，六位数字互不相同，可设置多少种不同的密码？请学生先尝试用上一课时的知识解决。巡视中我会观察学生是否都在画树状图或分步列举。三名同学三人三座的坐法用分步乘法原理易得3×2×1=6种；涉及n个取m个的问题，列举很快变得繁琐。此时我提出问题：这三道题有什么共同特征？学生讨论后逐步说出"都是从中选出一部分""选出来还要排一排""次序不同结果不同"。我顺势点拨：既然是一类反复出现的问题，能不能像研究函数那样，给它一个名称、一个记号、一套公式？这样，概念的引入就显得水到渠成。第二环节：抽象概括，形成概念。我引导学生把问题二抽象化：把"三名同学"记为元素a、b、c，把"坐法"看作取出元素按某种顺序排成一列，所有排法是abc、acb、bac、bca、cab、cba共六种。由此给出排列的定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。概念给出之后，必须立即辨析。我在课件上打出两组小问题让学生判断是否是排列问题：第一组，从5本不同的书中选3本送给3名同学，一人送一本；第二组，从5本不同的书中选3本放入同一抽屉。学生容易看出前者的"谁得到哪本"不同则结果不同，是排列；后者的三本书无论怎么放堆叠视为同种结果，不是排列。我再追问：两个排列相同需要什么条件？学生总结：元素完全相同且排列顺序也相同。这一追问为后续解题的审读奠定基础。接着给出排列数符号：从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，记作Anm。强调这里是"n取m"，n写在下方或右下角，m写在上方或右上角，读作"n中取m的排列数"。第三环节：原理搭桥，推导公式。排列数怎么算？我请学生思考：完成"从n个不同元素中取出m个排列"这件事，可以分成几步？学生通过问题一的解决经验，说出分m步：第1步从n个元素中选一个放在第1个位置，有n种方法；第2步从剩下n−1个中选一个放第2位，有n−1种方法；……第m步从剩下的n−m+1个中选一个放第m位，有n−m+1种方法。由分步乘法计数原理，Anm=n(n−1)(n−2)…(n−m+1)，右边是m个连续递减正整数之积。我把这个等式工整地板书在白板中央，并请学生回答其中的几个关键信息：第一个因数是谁，最后一个因数是谁，一共有几个因数。回答"最后一个因数是n−m+1"而不是n−m，是初学者的常见误区，必须在此处纠错到位。比如A103=10×9×8，三个因数，最后一个为10−3+1=8。随后定义全排列：当m=n时，即n个不同元素全部取出的排列，叫作全排列，排列数Ann=n(n−1)…3·2·1=n!，读作n的阶乘。我给出1!=1，2!=2，3!=6，4!=24，5!=120，6!=720，让学生感受阶乘增长的迅速，并说明规定0!=1，这是为了公式在m=n时仍成立。阶乘形式的公示推导交由学生自主完成：把Anm=n(n−1)…(n−m+1)的右边分子分母同乘(n−m)!，得Anm=n!/(n−m)!。请一名学生上台书写推导过程，其余学生在草稿本上独立完成，我巡视并挑选书写规范的两份展示。特别强调，这个式子在m=n时，分母为0!，恰好说明规定0!=1的合理性，前后知识形成闭环。第四环节：例题示范，分层练习。例题一：计算A73、A62、52、A44/(100−44选m）。第一题直接代入：A73=7×6×5=210。第二题A62=6×5=30。第三题A44=4!=24。讲评时刻意指出第三个等式的意义：4人全排列的坐法数等于24，呼应引入中三人三座6种坐法的推广。例题二：某班班委共5人，选出正班长、副班长各一人担任日内值日登记，共有多少种不同的选法？引导学生读出"正副不同"意味着顺序起作用，是排列问题，答案A52=5×4=20。再问：如果改为从中选2人共同担任值日，是正副不分的，还是排列吗？学生回答不是，因为这是后面要学的组合问题。这样的追问，实际上已经悄悄地为下一节课埋下伏笔。例题三：用0、1、2、3四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？此题设计为含有限制条件的排列问题。我让学生独立思考两分钟，小组交流。学生一般给出两条路径。路径一：先排百位，百位不能为0，有3种选择，十位、个位从剩下3个数字中取2个排列，A32=6，共3×6=18个。路径二：四个数字任取三个排列A43=24种，再减去0在百位的A32=6种，也是18种。我请两组学生分别阐述思路并互评，借此凸显"特殊位置先排"和"先算后减"两种策略，让学生体验计数方法的多样性。例题四（拓展）：四名同学和一名老师站成一排照相，老师不站两端，有多少种站法？此题作为课堂时间充裕时的弹性练习。处理办法仍是从特殊元素入手：老师有3个位置可选，其余4人全排列A44=24，共72种。第五环节：课堂小结，提炼提升。小结部分以问题串引导学生回顾，由学生口述、教师补全。一问：什么样的计数问题是排列问题？二问：排列数公式是什么，其中m个因数怎么确定？三问：全排列与阶乘是什么关系？四问：含限制条件时，有哪些常用处理策略？在学生回答基础上，我用一句话概括本节课的思想主线：面对"选出来还要排顺序"的计数问题，人们用排列数把分步乘法计数原理的应用标准化，乘法化为一个公式，这就是数学简化复杂性的力量。第六环节：作业布置，分层推进。基础层：教材对应习题中计算Anm的基本题与判断是否为排列问题的辨析题，共4题。提高层：课本中的综合应用两题，一题要求按特殊元素优先策略分类讨论，一题要求比较两个排列数的大小并结合阶乘运算化简。拓展层：思考下面问题并完成初步探究：从6名同学中选3人参加某项活动，不区分角色，有多少种选法？与排列问题相比少了什么步骤？此题为下一课时引入组合概念作认知铺垫。六、板书设计意图板书分为三区。左区写课题与排列的定义、排列数符号Anm；中区是推导过程，从m个位置的分步分析到公式Anm=n(n−1)…(n−m+1)，再到阶乘形式Anm=n!/(n−m)!，保留完整推导痕迹；右区记录学生板演和例题的关键答案。推导过程不删除，是板书设计的底线，因为学生课后整理笔记时最需要还原的，恰恰是公式"从哪里来"。七、教学反思预设本节课最需要警惕的是"公式先行"的诱惑。如