土木工程力学

第一章力的基本概念和力学模型第一节力的概念第二节荷载的简化和分类第三节约束和约束力第四节物体的受力分析和受力图第五节杆件的基本变形第六节力学模型每章一练教学目标1.熟练掌握力的三要素。2.掌握作用力、反作用力和平衡力。3.基本了解约束的类型和力学模型。4.掌握物体的受力分析。5.掌握约束的概念、功能。6.掌握约束反力的概念，以及约束反力的方向总是与它所限制的位移方向相反的概念。第一节力的概念一、力1、力的概念力的基本概念：力是物体之间的相互机械作用，这种作用使物体的运动状态发生变化(力的运动效应)，或者使物体的形状发生改变(力的变形效应)。力对物体的作用产生两种效应：运动效应和变形效应。其中运动效应可以分解成移动效应和转动效应两种。例如在足球比赛中，如果运动员要踢出香蕉球(弧线球)，在击球时必须使球向前运动的同时还需使球绕球心转动。前者为移动效应，后者为转动效应。力的三要素：力的大小方向和作用点

下一页返回第一节力的概念力系：作用于一个物体上的两个或两个以上的力所组成的系统，称为力系。力的单位：在国际单位制(SI)中，力的单位为牛顿(N)，工程实际中常采用牛顿的倍数单位千牛(kN)，1kN=103N。2、力的性质力是一个有大小和方向的量，所以力是矢量。它可以用一段带箭头的线段来表示，线段的长短代表力的大小，箭头表示力的指向(图1-1)。规定用黑体字母F表示力矢量，而用普通字母F表示力的大小。通过力的作用点并沿着力的方向作一条直线，这条直线称为力的作用线。下一页上一页返回第一节力的概念

作用于物体上同一点的两个力可以合成为一个合力，合力也作用于该点，合力的大小、方向由这两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示(图1-2)。这一性质也称为力的平行四边形法则，可用下面的矢量式表示。FB=F1+F2力的作用与反作用定律：

两物体间相互作用的力，总是大小相等、方向相反、沿同一直线，分别作用在这两个物体上。下一页上一页返回第一节力的概念同理，作用于物体上同一点的n个力组成的力系，采用两两合成的方法，最终可合成为一个合力FR，它等于这个力系中所有力的矢量和，即FR=F1十F2+…+Fn=(1-1)下一页上一页返回第一节力的概念二、作用力与反作用力牛顿第三定律：两个物体间的作用力和反作用力大小相等、方向相反，作用在同一条直线上。如图1-3(a)所示，重物A压在支撑物B上，因而物体A和B之间有作用力和反作用力。必须把两个物体分开，才能画出他们之间的作用力和反作用力，如图1-3(b)所示。力R和R’一定共线、反向、等值，并分别作用在物体B和A上。实践证明，物体间的相互作用力总是成对地出现，它们大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，并分别作用在两个物体上，这就是作用力与反作用力原理。下一页上一页返回第一节力的概念三、二力平衡1、二力平衡的概念刚体受到两个力的作用时，如果保持静止状态或匀速直线运动状态，就说这两个力平衡。刚体在受到几个力作用时，如果保持静止状态或匀速直线运动状态，就说这几个力平衡。在几个力平衡中，二力平衡是最简单的。工程中将结构处于平衡状态，仅承受两个力作用的杆件称为二力构件或二力杆。二力杆不一定是直杆，也可以是曲杆。下一页上一页返回第一节力的概念2、二力平衡的条件如图1-4(a)所示，AB杆两端分别作用FA和FB,要使AB杆平衡，这两个力必然大小相等、方向相反且作用在同一直线上。如钢丝绳吊重物，如图1-4(b)所示，重物受到钢丝绳的拉力T和重力G的作用，当物体处于匀速上升的平衡状态时，这两个力必然大小相等、方向相反且作用在同一直线上。

因此，作用在物体上的两个力大小相等、方向相反且作用在同一条直线上，是物体处于平衡状态的充要条件。小锦囊：二力平衡的应用：利用二力平衡的条件来判断两个力是否平衡;利用二力平衡的条件可求其中一个力。上一页返回第二节荷载的简化和分类一、受力物体1、刚体当变形对于研究物体平衡或运动的影响可以忽略不计时，可认为该物体不发生变形。这种在受力时保持形状、大小不变的力学模型称为刚体。加减平衡力系原理：由于刚体受力作用后，只有运动效应而没有变形效应，因此，增加或去掉任何一个在刚体上的平衡力系。不改变原力系对刚体的作用。力的可传性原理：作用在刚体上的力沿着作用线移动时，不改变其作用效应。下一页返回第二节荷载的简化和分类1、变形体变形体的概念：当变形对于研究物体平衡或运动规律不能忽略时，物体称为变形体。变形体的两种变形：一种是当外力撤除时，变形也会随之消失，这种变形称为弹性变形;另一种是当外力撤除后，变形不能全部消失而残留部分变形，这部分变形，称为塑性变形。弹性变形体：

当所受外力不超过一定限度时，绝大多数工程材料在外力撤除后，其变形可消失，这种物体称为弹性变形体，简称弹性体。下一页上一页返回第二节荷载的简化和分类二、荷载的分类物体受到外力的分类：主动力与约束力，主动力是指使物体运动或有运动趋势的力，例如重力、水压力、土压力等。工程上把主动力称为荷载。约束力是指周围物体限制物体运动的力。如果力集中作用于一点，这种力称为集中力或集中荷载，把作用于极小范围的力偶称为集中力偶。下一页上一页返回第二节荷载的简化和分类作用范围不能忽视的力(荷载)，称为分布力(荷载)。分布在物体的体积内的荷载如重力等，称为体荷载。分布在物体的表面上，如楼板上的荷载，如图1-5(a)所示和水坝上的水压力等，称为面荷载如果力(荷载)分布在一个狭长范围内而且相互平行，则可以把它简化为沿狭长面的中心线分布的力(荷载)，如分布在梁上的荷载，如图1-5(b)所示，称之为线分布力或线荷载。体荷载、面荷载、线荷载统称为分布荷载。下一页上一页返回第二节荷载的简化和分类单位体积上所受的力，称为体集度，通常用γ表示，单位为N/m3或kN/m3单位面积上所受的力，称为面集度，通常用p表示，单位为N/m2或kN/m2单位长度上所受的力，称为线集度，通常用q表示，单位为N/m或kN/m当分布荷载各处大小均相同时，称为均布荷载。如分布荷载各处大小不相同时，称为非均布荷载。下一页上一页返回第二节荷载的简化和分类例1-1求图1一6中均布荷载对A点和B点的矩。解：(1)求均布荷载的合力FR。FR=qlFR方向和作用点如图1-6所示。(2)用合力代替线荷载分别对A,B两点取矩MA-MA（FR）=-FRx(a+l/2)=一ql(a+l/2)MB=MB(FR)=FRxl/2=ql2/2上一页返回第三节约束和约束力一、约束与约束力在力学中通常把物体分成两类:自由体物体能在空间作任意运动，它们的位移不受任何限制。如天空中飞行的飞机、鸟等。非自由体物体总是以一定的形式与周围其他物体相互联系，即物体的位移要受到周围其他物体的限制。如用绳悬挂的灯可向上、前、后、左、右运动，但不能向下运动，转轴要受到轴承的限制在力学中把这种对非自由体的某些位移起限制作用的周围其他物体称为约束。下一页返回第三节约束和约束力二、约束类型1、柔体约束工程中常见的绳索、传动带、链条等柔性物体构成的约束称为柔体约束，如图1-7(a)所示。这种约束只能限制物体沿着柔体伸长的方向运动，而不能限制其他方向的运动。因此，柔体约束力的方向沿着它的中心线且背离研究物体，即为拉力，如图1-7(b)所示。2、光滑面约束如果两个物体接触面之间的摩擦力很小，可忽略不计，这两物体之间就构成光滑面约束，如图1-8(a)所示。这种约束只能限制物体沿着接触点处朝着垂直于接触面方向的运动，下一页上一页返回第三节约束和约束力朝着垂直于接触面方向的运动，而不能限制其他方向的运动因此，光滑面约束力的方向垂直于接触面或接触点的公切线，并通过接触点，指向物体，如图1-8(b)所示。3、圆柱铰链约束在两个构件上各钻有同样大小的圆孔，并用圆柱形销钉C连接起来如图1-9(a)所示。如果销钉和圆孔是光滑的，那么销钉只限制两构件在垂直于销钉轴线的平面内相对移动，而不限制两构件绕销钉轴线的相对转动，这样的约束称为圆柱铰链约束，简称铰链或铰。图1-9(b)是它的简化示意图。当两个构件有沿销钉径向相对移动的趋势时，销钉与构件以光滑圆面接触，因此，销钉给构件的约束力FN沿接触点K的下一页上一页返回第三节约束和约束力公法线方向，指向构件且通过圆孔中心，如图1-9(c)所示。由于接触点K一般不能预先确定，所以约束力FN的方向也不能确定。因此，铰链约束力作用在垂直于销钉轴线的平面内。通过圆孔中心，方向待定。通常用两个正交分力Fx和Fy来表示铰链约束力，如图1-9(d)所示，两分力的指向是假定的。4.链杆约束如一构件在其两端用铰链与其他构件相连接，此构件中间不受力，这类约束称为链杆约束(图1-10)也称为二力杆束，由于构件上只在两端作用厂两个约束力，而构件是平衡的，因此这两个力必然大小相等，方向相反，在同一直线上。所以，链杆约束的约束力是沿着两端销钉圆心连线，指向待定。下一页上一页返回第三节约束和约束力5、支座约束(1)固定铰支座在连接的两个构件中，如果其中一个构件是固定在基础上的支座，如图1-11(a)所示，则这种约束称为固定铰支座，简称铰支座。图1-11(b)~(e)是它的几种简化表示形式。固定铰支座约束力与铰链的情形相同如图1-11(f)所示。(2)活动铰支座如果在支座与支撑面之间装上几个辊子，使支座可沿支撑面移动，就成为活动铰支座，也称为辊轴支座，如图1-12（a）所示，图1-12（b）~（d）是它的几种简化表示形式。如果支撑面是光滑的，这种支座不限制构件沿支撑面移动和绕销钉轴的转动，只限制构件沿支撑下一页上一页返回第三节约束和约束力面法线方向的移动。因此，辊轴支座约束力垂直于支撑面，通过铰链中心。指向待定，如图1-12(e)所示。（3）固定端如房屋建筑中的挑梁，它的一端牢固地嵌人墙内，如图1-13(a)所示，墙对梁的约束使其既不能移动，也不能转动，这样的约束称为固定端约束。固定端约束力为一个方向待定的约束力和一个转向待定的约束力偶。方向待定的约束力通常可用水平和竖直的两个分力表示。图1-13(b)为固定端约束的简化表示形式。图1-13(c)为支座约束力。上一页返回第四节物体的受力分析和受力图一、结构的分类工程中结构的类型是多种多样的，就几何观点可分为杆系结构、板和壳类结构以及实体结构。杆系结构由杆件组成，特征是其长度远大于其横截面上其他两个尺度，如图1-14(a)所示板和壳类结构的特征是长、宽两个方向的尺寸远大于厚度，如图1-14(b)、(c)所示;实体结构三个方向的尺度具有相同的量级，知图1-14(d)所示。下一页返回第四节物体的受力分析和受力图杆系结构又分为平面杆系结构和空间杆系结构。平面杆系结构:组成结构的所有杆件的轴线及外力都在同一平面内空间杆系结构:组成结构的所有杆件的轴线及外力不在同一平面内下一页上一页返回第四节物体的受力分析和受力图二、力学计算简图1、力学计算简图的定义及原则概念：对结构和构件的受力和约束经过简化后得到的、用于力学或工程分析与计算的图形，称为力学计算简图或计算简图。确定力学计算简图的原则是:尽可能符合实际:力学计算简图应尽可能反映实际结构的受力、变形等特性;尽可能简单:忽略次要因素，尽量使分析计算过程简单。下一页上一页返回第四节物体的受力分析和受力图2.力学计算简图各部分的选用杆件的结点一般可分为:铰结点:用圆柱铰链将杆件连接在一起，各杆件可围绕其作相对转动，但不能移动，如图1-15所示。刚结点:杆件在连接处是刚性连接的，汇交于刚结点处的各杆件之问不发生相对转动(保持夹角不变)与相对移动，如图1-16下一页上一页返回第四节物体的受力分析和受力图例1-2

例1-2图1一17由角钢AB和CD在D处用连接钢板焊接牢。在A,C两处用混凝土浇筑埋人墙内，制成搁置管道的三角支架。现在三角支架上搁置厂两个管道，大管重w1，小管重w2，试画出三角支架的力学计算简图。下一页上一页返回第四节物体的受力分析和受力图解：(1)构件的简化角钢AB和CD的长度远大于其他两个尺度，是杆系结构，用杆件的轴线代表杆件，由于角钢的自重比管道的重量小得多，因此可忽略不计。(2)支座的简化由于杆件嵌人墙内的实际长度较短，加之砂浆砌筑的墙体本身坚实性差，所以在受力后，杆件在A,C处有产生微小松动的可能，即杆件在此处可能发生微小的转动，所以起不到固定端约束的作用，只能将A,C处简化成固铰支座。在D处焊缝同样也不能阻止角钢AB和(‘D的相对微小的转动，故将D处简化为铰链。(3)荷载的简化由于管道和角钢接触面很小，故将管道传来的荷载简化为集中荷载。经过以上简化，即可得到图1一17(b)所示三角支架的力学计算简图。下一页上一页返回第四节物体的受力分析和受力图三、受力分析与受力分析图1、受力分析的概念在求解工程力学问题时，一般首先需要根据问题的已知条件和待求量，选择一个或几个物体作为研究对象，然后分析它受到哪些力的作用，其中哪些是已知的，哪些是未知的，此过程称为受力分析)2.受力分析的步骤将研究对象从与其联系的周围物体中分离出来，单独画出。这种分离出来的研究对象称为分离体或称为隔离体画出作用于分离体上的全部荷载并根据约束性质确定约束处的约束力，最后得到研究对象的受力图。下面举例说明受力图的画法下一页上一页返回第四节物体的受力分析和受力图例题1-3水平梁AB受集中荷载Fp和均布荷载q作用，A端为固定铰支座，B端为可动铰支座，如图1-19(a)所示，试画出梁的受力图。梁的自重不计。

解：取梁为研究对象，并将其单独画出，再将作用在梁上的全部荷载画上。在B端活动铰支座的约束力为FB，在A端固定铰支座的约束力为FAx日FAy图1一19(b)为梁的受力图。上一页返回第五节杆件的基本变形杆件：是指长度远大于其他两个方向尺寸的构件。杆件在受到不同的作用力时，就会产生不同的变形。下面介绍一下杆件变形的几种基本形式:1、弯曲杆件受到垂直于轴线的横向力或包含轴线的纵向平面内的力偶作用时，杆件的变形主要是轴线由直变弯，这种变形称为弯曲，如图1-21所示。2、扭转杆件受到一对大小相等、方向相反、作用面垂直于轴线的力偶作用时，杆件的变形主要是任意两个横截面发生绕轴线的相对转动，这种变形称为扭转，如图1-22所示。3、剪切杆件受到一对大小相等、方向相反、作用线相互平行且相距很近的外力作用时，杆件的横截面沿外力作用方向下一页返回第五节杆件的基本变形发生相对错动，这种变形称为剪切，如图1-23所示。4、轴向拉伸或压缩杆件受到一对大小相等、方向相反、作用线与轴线重合的外力作用时，其变形主要是轴线方向的伸长或缩短，这种变形称为轴向拉伸或压缩。主要发生拉伸(压缩)变形的杆件称为拉(压)杆。如图1-24所示。组合变形：在工程实际中，还经常发生杆件有两种或两种以上的基本变形组合，这种情况称为组合变形。上一页返回第六节力学模型一、受力物体的力学模型1、刚体在力的作用下不产生变形的物体称为刚体。刚体是实际物体被抽象化的力学模型。在图1-25中，吊车梁的弯曲变形一般不超过跨度(A,B间距离)的1/500，水平方向变形更小。因此研究吊车梁的平衡规律时，变形是次要的，可略去不计。

2.弹性体弹性体是变形体的一种，是指当所受载荷不大，释去载荷后即恢复原状的变形体。它的特征是:在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。下一页返回第六节力学模型二、力学模型

1.理论模型将力学所研究对象的共性进行归纳，建立一套整体理想化的体系，主要用于理论分析，如对物体所受的力等。2.实验模型无法或不必在结构原型上直接进行实验，而按结构原型设计，专用于力学实验的模型。3.结构模型建筑结构物除去门窗、装饰材料和填充墙等非承重结构，考虑受力情况下对承重结构的一种简化模型。

下一页上一页返回第六节力学模型4.荷载模型对作用在建筑物上的各种不变荷载和可变荷载的一种简化模型。例如将风荷载和雨荷载简化为均布荷载计算模型。5.计算模型考虑各构件材料的弹性模量、泊松比、强度极限、屈服极限和柔度等材料性质的结构计算简图，叫做计算模型。上一页返回每章一练1、力的三要素是什么?2、在日常生活中我们通常是应用力对物体的何种效应来测量力的大小，请举两三例。3、什么是链杆约束?自行车轮子上的辐条是否可以用链杆约束来建立力学模型?4.试分别画出图1-26所示物体的受力图。假定所有接触面都是光滑的，图中凡未标出自重的物体，自重不计。返回图1-1力的图示返回图1-2力的矢量和返回图1-3作用力和反作用力返回图1-4二力平衡返回图1-5分布荷载返回图1-7柔体约束返回图1-8(a)光滑面约束返回图1-8(b)光滑面约束返回图1-9(a)(b)圆柱铰链约束返回图1-9(c)(d)圆柱铰链约束返回图1-10链杆约束返回图1-11固定铰支座约束返回图1-12活动铰支座约束返回图1-13固定端约束返回图1-14结构的类型(a)杆系结构;(b),(c)板和壳类;(d)实体结构返回图1-15铰结点返回图1-16刚结点返回图1-21弯曲变形图返回图1-22扭转变形图返回图1-23剪切变形图返回图1-24拉压杆图返回图1-25吊车梁的弯曲变形返回图1-26返回第二章平面力偶理论第一节力对点的矩第二节力偶和平面力偶系第三节力的平移定理每章一练教学目标1.能够熟练运算力对平面内一点的力矩。2.理解力偶和力偶矩的概念，明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。3.掌握平面力偶系的平衡条件，能计算在平面力偶系作用下物体的平衡第一节力对点的矩一、力矩的概念

如图2-1所示，用扳手拧紧螺母时，作用于扳手上的力F使扳手绕O点转动，其转动效应不仅与力的大小和方向有关，而且与O点到力作用线的垂直距离d有关。将乘积Fd再冠以适当的正、负号对应力绕O点的转向，称为力F对O点的矩，简称力矩，它是力F使物体绕O点转动效应的度量，用Mo(F)表示，即Mo(F)=±Fd(2-1)O点称为矩心，d称为力臂。式中的正负号用来区别力F使物体绕O点转动的方向，规定力F使物体绕矩心O点逆时针转动时为正，反之为负。下一页返回第一节力对点的矩力矩等于零的两种情况：力等于零或力的作用线通过矩心(即力臂等于零)。当力沿作用线移动时，不会改变它对矩心的力矩。这是由于力的大小、方向及力臂的大小均未改变的缘故。力矩的单位：力矩的单位常用N·m或kN·m，有时为运算方便也采用N·mm的单位。其1kN·m=103N.m=106Nmm下一页上一页返回第一节力对点的矩例2-1如图2-2所示，当扳手分别受到F1,F2,F3作用时，求各力分别对螺母中心O点的力矩。已知F1=F2=F3=100N。解：根据力矩的定义可知Mo（F1）=-F1d1

=-100N×0.2m=-20N·mMo（F2）=F2d2

=100N×0.2m/cos30o=23.1N·mMo（F3）=F3d3

=100N×0=0下一页上一页返回第一节力对点的矩

二、合力矩定理由于一个力系的合力产生的效应和力系中各个分力产生的总效应是一样的。因此，合力对平面上任一点的矩等于各分力对同一点的矩的代数和。这就是合力矩定理，即

Mo(FR)=Mo(F1)+Mo(F2)+…+Mo(Fn)=(2-2)下一页上一页返回第一节力对点的矩

例2-2图2-3所示每1m长挡土墙所受土压力的合力为FR，如FR=150kN，方向如图所示，求土压力使墙倾覆的力矩。解：土压力FR可使挡土墙绕A点倾覆，故求土压力FR使墙倾覆的力矩，就是求FR对A点的力矩。由已知尺寸求力臂d不方便，但如果将FR分解为两分力F1和F2则两分力的力臂是已知的，故由式(2-2)可得MA(FR)=MA(F1)+MA(F2)=F1h/3-F2b=FRcos30o×-FRsin30oh=150kN××1.5m-150kN××1.5m=82.35kN·m上一页返回第二节力偶和平面力偶系一、力偶1、力偶的概念在日常生活和工程中，经常会遇到物体受大小相等、方向相反、作用线互相平行的两个力作用的情形。例如，汽车司机用双手转动转向盘，如图2-4(a)所示，钳工用LPL锥攻螺纹，如图2-4(b)所示，以及用拇指和食指拧开水龙头或钢笔帽等。实践证明，这样的两个力F,F’组成的力系对物体只产生转动效应，而不产生移动效应，把这种力系称为力偶，用符号(F,F’)表示。组成力偶的力F,F’所用线所在的平面称为力偶的作用面，力偶的两个力作用线间的垂直距离称为力偶臂，用d表示。下一页返回第二节力偶和平面力偶系在力偶作用面内任取一点O为矩心，如图2-5所示。设点O与力F作用线之间的垂直距离为x，力偶臂为d，则力偶的两个力对O点之矩的和为-Fx+F'(x+d)=Fd这一结果表明，力偶对作用面内任意一点的矩与点的位置无关。因此，将力偶的力F与力偶臂d的乘积冠以适当的正负号对应力偶的转向，作为力偶对物体转动效应的度量，称为力偶矩，用M表示，即M=±Fd(2-3)式中的正负号规定为:力偶的转向是逆时针时为正，反之为负。力偶矩的单位与力矩的单位相同。下一页上一页返回第二节力偶和平面力偶系2、力偶的性质力偶作为一种特殊力系，具有如下独特的性质:(1)力偶对物体只产生转动效应，而不产生移动效应。因此，一个力偶既不能用一个力代替，也不能和一个力平衡(力偶在任何一个坐标轴上的投影等于零)。力与力偶是表示物体间相互机械作用的两个基本元素。(2)力偶对物体的转动效应，只用力偶矩度量而与矩心的位置无关。如果在同一平面内的两个力偶，它们的力偶矩彼此相等，则这两个力偶等效。(3)在保持力偶矩大小和力偶转向不变的情况下，力偶可在其作用面内任意搬移，或者可任意改变力偶中力的大小和力偶下一页上一页返回第二节力偶和平面力偶系臂的长短，而力偶对物体的转动效应不变。根据这一性质，可在力偶作用面内用M或M表示力偶，其中箭头表示力偶的转向，M则表示力偶矩的大小。)必须指出，力偶在其作用平面内移动或用等效力偶替代，对物体的运动没有影响，但会影响其变形。)

下一页上一页返回第二节力偶和平面力偶系

二、平面力偶系1、平面力偶系的平衡由力偶的性质可知，处于同一平面内的若干力偶可以合成为一个合力偶。如果∑M=0,表明力偶系作用互相抵消，对物体不产生转动效应，物体就处于平衡状态。因此，平面力偶系平衡的条件是:平面力偶系中所有力偶矩代数和为零，即∑M=0下一页上一页返回第二节力偶和平面力偶系例2-3在水平放置的工件上用多头钻床同时钻4个直径相同的孔，如图2-6所示，每个钻头的切削力偶矩为MA=MB=MC=MD=20N·m，求工件所受总切削力偶矩的值。解：以工件为研究对象:作用于工件的力偶有4个，各力偶大小相等，方向相同，且在同一平面内，由乏M=0便可求出合力偶矩，长口总的切削力偶矩为MR=MA+MB+MC+MD=4×20=80N·m下一页上一页返回第二节力偶和平面力偶系2、平面力偶系的合成设在物体某平面内作用两个力偶M1和M2(图2-7(a))，任选一线段AB=d作为公共力偶臂，将力偶M1、M2移动，并把力偶中的力分别改变为F1=F1’=M1/dF2=F2’=M2/d如图2-7(b)所示。根据性质3，图2一7(a)与图2-7(b)中，力偶作用是等效的。于是，力偶M、与M}可合成为一个合力偶如图2一7(c)所示，其力偶矩为M=FRd=(F1-F2})d=M1+M2下一页上一页返回第二节力偶和平面力偶系若有n个力偶作用于物体的某一平面内，由此组成的力系称为平面力偶系。平面力偶系可合成为一合力偶，在同一个平面内的力偶矩可以进行代数运算。合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即M=M1+M2+…+Mn=下一页上一页返回第二节力偶和平面力偶系例2-4如图2-8所示，在物体的某平面内受到三个力偶的作用。设F1=200N,F2=600N,M=100N·m，求其和力偶矩。解：各分力偶矩为M1=F1d1=200N×1m=200N·mM2=F2d2=600N×0.25m/sin30o

=300N·mM3=-M=-100N·m由式(2-4)得合力偶矩为M=M1+M2+M3

=200N·m+300N·m-100N·m=400N·m上一页返回第三节力的平移定理力的平移可以用来分析力对物体作用的效果。图2-9为侧面附有悬挂件的蒸馏塔，悬挂件的总重量为口，与主塔中心线问有一偏心距e。力Q对主塔支座所起的作用效果，可以应用力的平移法来分析。为此在主塔中心线上加上两个力Q’与Q’’，使它们大小相等，并令Q=Q’=Q’’且Q’与Q’’等值反向。不难看出Q’与Q’’是符合二力平衡条件的。从整体而言，加上这两个力以后，由Q、Q’与Q’’三个力组成的力系的作用效果与Q力单独的作用效果是相等的。但从另一角度来分析，可以看成是把Q力平移了一个偏心距e，成为Q’，与此同时附加厂一个力偶(Q,Q’’)，其力偶矩M的大小等于Q·e。因此，有偏心距的力对支座的作用，相当于一个力Q’和一个力偶M的下一页返回第三节力的平移定理共同作用，力Q’压向支座，力偶M使塔体弯曲，支座承受压缩和弯曲的联合作用。由上述实例可知力的平移定理:虽然力与力偶都是基本物理量，这两者不能相互等效代替，但是一个力却可以用一个与之平行且相等的力和一个附加力偶来等效代替。反之，一个力和一个力偶也可以用另一个力来等效代替。应用力的平移定理时必须注意:1、力在平移时所附加的力偶矩的大小、转向与平移点的位置有关。2、力的平移定理只适用于刚体，对变形体不适用，并且力的作用线只能在同一刚体内平移，不能平移到另一刚体。下一页上一页返回第三节力的平移定理上一页返回3、力的平移定理的逆定理也成立。力的平移定理不仅是力系简化的依据，而且也是分析力对物体作用效应的一个重要方法，能解释许多工程和生活中的现象。例如，用螺纹锥攻螺纹时，为什么单手操作时容易断锥;打乒乓球时，为什么搓球能使乒乓球旋转等。每章一练1、什么是力偶，力矩?力偶和力矩有什么异同2、平面力偶的等效条件是什么?3、设一平面任意力系向某一点简化得到一合力氛?若另选简化中心，问该力系能否简化为一力偶?为什么?4、一平面任意力系向A点简化的主矢为FRA，主矩为MA，如图2-11所示，试求该力系向距A点为d的B点简化所得主矢FRB和主矩MR的大小和方向?5.计算图2-12所示各图中力F对O点之矩6.外伸梁上作用有力偶(F,F’)、集度为9的均布荷载以及铅垂力FD，各力的作用位置如图2-13所示。若已知F=10kN,FB=20kN,q=20kN/m,a=0.8m。求支座A,B处的约束力。返回图2-1螺母的转动效应返回图2-4生活中的力偶返回(a)转向盘的转动;(b)处锥攻螺纹图2-5力偶的作用面返回图2-7平面力偶系的合成返回图2-9蒸馏塔(侧面附有是挂件)返回图2-11第4题图返回图2-12第5题图返回图2-13第6题图返回第三章平面一般力系第一节力在直角坐标轴上的投影第二节平面力系的简化第三节平面力系的平衡和应用第四节物体系统的平衡问题每章一练教学目标1.掌握力的平移定理及平面一般力系的简化方法。2.掌握主矢和主矩的概念及计算。3.理解平面一般力系的合力矩定理。4.掌握物体系统平衡问题的解题方法。第一节力在直角坐标轴上的投影1、力在直角坐标轴上的投影如图3-1所示，在力F作用的平面内建立直角坐标系Oxy;。由力F的起点A和终点B分别向x轴引垂线，垂足分别为x轴上的两点A’,B’，则线段A’B’称为力F在x轴上的投影，用Fx表示，即Fx=±A’B’投影的正负号规定如下:若从A’到B’的方向与坐标轴正向一致，投影取正号;反之，取负号。力在坐标轴上的投影是代数量。同样，力F在y轴上的投影Fy为Fy=±A’’B’’下一页返回第一节力在直角坐标轴上的投影由图3-1可得Fx=±FcosFy=±Fsin式中，a为力与x轴所夹的锐角，图3-1中Fx，Fy是力F沿直角坐标轴方向的两个分力，是矢量。它们的大小和力F在轴上投影的绝对值相等，而投影的正(或负)号代表厂分力的指向和坐标轴的指向一致(或相反)，这样投影就将分力大小和方向表示出来了，从而将矢量运算转化成了代数运算。为了计算方便，往往先根据力与某轴所夹的锐角来计算力在该轴上投影的绝对值，再由观察来确定投影的正负号。下一页上一页返回αα}(3-1)

第一节力在直角坐标轴上的投影

例3-1试分别求出图3-2中各力在x轴和y轴上投影。已知F1=100N,F2=150N，F3=F4=200N，各力方向如图所示。

下一页上一页返回第一节力在直角坐标轴上的投影解：由式(3-1)可得出各力在x,y轴上的投影为F1x=F1cos45o=100N×0.707=70.7NF1y=F1sin45o=100N×0.707=70.7NF2x=-F2cos30o=-150N×0.866=-129.9NF2y=-F2sin30o=-150N×0.5=-75NF3x=F3cos90o=0F3y=-F3sin90o=-200N×1=-200NF4x=F4cos60o=200N×0.5=100NF4y=-F4sin60o=-200N×0.866=-173.2N

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反过来，如已知一个力在直角坐标系的投影，可以求出这个力的大小和方向。由式(3-1)可知

其中，取0≤α≤π/2,α代表力F与x轴的夹角，具体力的指向可通过投影的正负值来判定，如图3-3所示。下一页上一页返回第一节力在直角坐标轴上的投影2.合力投影定理由于力的投影是代数量，所以可以对各力在同一轴的投影进行代数运算，由图3-4不难看出，由F1和F2的和组成力系的合力FR在任一坐标轴(x轴)上的投影Fx=A’C’=A’B’+B’C’=A’B’+A’D’=F1x+F2x，对于多个力组成的力系以此推广，可得合力投影定理:合力在直角坐标轴上的投影(FRx，FRy)等于各分力在同一轴上投影的代数和，即(3-3)下一页上一页返回第一节力在直角坐标轴上的投影如果将各个分力沿直角坐标轴方向进行分解，再对平行于同一坐标轴的分力进行合成(方向相同的相加，方向相反的相减)，可以得到合力在该坐标轴方向上的分力(FRx，FRy)。可以证明，合力在直角坐标系坐标轴上的投影(FRx，FRy)和合力在该坐标轴方向上的分力(FRx，FRy)大小相等，而投影的正(负)号代表厂分力的指向和坐标轴的指向一致(相反)。

下一页上一页返回第一节力在直角坐标轴上的投影例3-2试分别求出图3-5中各力的合力在x轴和y轴上的投影。已知F1=20kN,F2=40kN,F3=50kN，各力方向如图所示解:由式(3-3)可得出各分力的合力在x,y轴上的投影为

上一页返回第二节平面力系的简化一、基本概念

如果在一个力系中，各力的作用线均匀分布在同一平面内，但它们既不完全平行，又不汇交于同一点，那么，将这种力系称为平面一般力系，简称平面力系。平面力系的研究与讨论，不仅在理论上，而且在实际工程中都有着重要的意义。平面力系概括了平面内各种特殊力系，同时又是研究空间力系的基础。平面力系是工程中最常见的一种力系，如在不少实际工程中结构(或结构构件)和受力都具有同一对称面，此时作用力就可简化为作用在对称面内的平面力系。下一页返回第二节平面力系的简化如果平面力系中各力的作用线均汇交于一点，则此力系称为平面汇交力系;如果平面力系中各力的作用线均相互平行，则此力系称为平面平行力系;如果平面力系仅由力偶组成，则此力系称为平面力偶系。在作用效果等效的前提下，用最简单的力系来代替原力系对刚体的作用，称为力系的简化。为厂便于研究任意力系对刚体的作用效应，常需进行力系的简化。下一页上一页返回第二节平面力系的简化二、力向一点平移1、力向一点平移的过程对刚体而言，根据力的可传性原理，可以将力的三要素改称为力的大小、方向、作用线。无论改变力的三要素中任意一个，力的作用效应都将发生变化。如果保持力的大小、方向不变，而将力的作用线平行移动到同一刚体的任意一点，则力对刚体的作用效应必定要发生变化;若要保持力对刚体的作用效应不变，则必须要有附加条件。设在刚体上的A点作用有一力F，如图3-6(a)所示，欲将其平行移至B点。根据加减平衡力系原理，在B点加上一对平衡力F’和F“，并使其作用线与力F的作用线相互平行，且F=F’=F”下一页上一页返回第二节平面力系的简化如图3-6(b)所示。显然，三个力F,F’,F”的作用效果与原力F的相同。在三个力作用时，又可以看成是在B点作用一个力F’和一个力偶(F,F”)。即，作用在A点的力F就可由作用在B点的力F’和力偶矩为M的力偶(F,F”)来代替;换言之，作用在A点上的力F，可以平行移动到B点，但同时加上一个相应的力偶，这个力偶称为附加力偶。附加力偶的力偶矩M等于原来的力F对B点的矩。2、力的平移定理由于A,B两点及力F可以是任意的，因此可得出如下结论:作用在刚体上的力可以平移到刚体上任意一个指定位置。但必须在该力和指定点所决定的平面内附加一个力偶，该附加力下一页上一页返回第二节平面力系的简化偶的矩等于原力对指定点之矩。这个结论称为力的平移定理。3、力向一点平移的逆过程不难推知，根据力向一点平移的逆过程，总可以将同平面内的一个力F和力偶矩为M的力偶简化为一个力F’，此力F’与原力F大小相等、方向相同、作用线间的距离为d=M/F，至于F’在F的哪一侧，则视F的方向和M的转向而定。下一页上一页返回第二节平面力系的简化

例3-3钢柱受到一10kN力的作用，如图3-7所示。若将此力向中心线平移，得到一力(使钢柱压缩)和一力偶(使钢柱弯曲)。已知力偶矩为800N•m，求原力至中心线的距离d。解：根据题意可知

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三、平面力系向一点的简化1、平面力系向一点简化的过程设一刚体受平面力系F1,F2,…,Fn作用，如图3-8(a)所示。为厂简化这个力系，在力系所在平面内任取一点O，此点称为简化中心。应用力的平移定理，将各力都平移至O点，同时加上相应的附加力偶。这样，原来的平面力系就简化为作用在简化中心O的平面汇交力系F1’,F2’,…,Fn’,及一个平面力偶系，它们的矩分别为M1,M2,…Mn,如图3-8(b)所示，其中下一页上一页返回第二节平面力系的简化由此可见，力系向一点简化的方法，实质上就是把一个较复杂的平面力系简化为两个简单的基本力系:平面汇交力系和平面力偶系。一般情况下，平面汇交力系可合成为作用于O点的力，这力的大小和方向等于作用于O点的各力的矢量和，也就是等于原力系中各力的矢量和，用F’R,表示，即(3-4)称F’R为原力系的主矢量，简称为主矢，如图3-8(c)所示。一般情况下，平面力偶系可合成为一个合力偶，这个合力偶的力偶矩等于各附加力偶矩的代数和，也就是等于原力系中各力对简化中心O点之矩的代数和，用M'表示，即下一页上一页返回第二节平面力系的简化(3-5)称M’o，为原力系对简化中心O的主矩，如图3-8(c)所示。从式(3-4)可知，由于原力中的各力的大小和方向都是一定的，它们的矢量和也是一定的;即对一个已知力系来说，无论选择哪一点作为简化中心，主矢是不会改变的，换言之，主矢与简化中心的位置无关。但从式(3-5)可知，力系中各力对不同的简化中心的矩是不同的，因为随着简化中心位置的变化，各力偶的力臂及转向均可能发生变化，主矩自然将随之发生变化。因此，力系的下一页上一页返回第二节平面力系的简化主矩一般与简化中心的位置有关。所以说到主矩时，必须指明简化中心的位置，即指明对哪一点的主矩，符号M’o，中的下标O就是表示简化中心为O。总之，平面一般力系向作用面内任意一点简化的结果，一般是一个力和一个力偶。这个力的作用线通过简化中心，其大小和方向决定于原力系中各力的矢量和，即等于原力系的主矢，与简化中心的具体位置无关:这个力偶的矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。即等于原力系对简化中心的主矩，一般随简化中心位置的变化而变化。2、可能出现的几种情况下一页上一页返回第二节平面力系的简化需要说明的是，平面力系向一点简化所得到的主矢和主矩，并不是该力系简化的最终结果。因此，有必要根据力系的主矢和主矩这两个量可能出现的儿种情况作进一步的讨论。(1)F’R=0,M’o≠0此时原力系只与一个力偶等效，此力偶称为原力系的合力偶。所以，原力系简化的最后结果是一个合力偶，其矩M‘等于原力系各力对简化中心O的主矩∑Mo(Fi),此主矩与简化中心的位置无关。因为根据力偶的性质，力偶矩与矩心的位置无关，也就是说原力系无论是对哪一点进行简化，其最后结果都是一样的。(2)F’R≠0,M’o=0此时原力系只与一个力等效，此力称为原力系的合力。所以原力系简化的最后结果是一个合力，它下一页上一页返回第二节平面力系的简化

等于原力系的主矢∑Fi，作用线通过简化中心。如果用FR表示合力，则有(3)F’R≠0,M’o≠0此时可根据力的平移定理的逆过程，将作用线通过O点一力F’R及矩为M’o的力偶合成为一个作用线通过O’点的力，此力称为原力系的合力如图3-9所示，且有合力作用线到0点的距离d为至于合力FR是在主矢F’R的左侧还是右侧，则要根据主矩M’o的正负号来确定。下一页上一页返回第二节平面力系的简化从以上讨论(2),(3)可知，只要力系向某一点简化所得的主矢F’R不等于零，则无论主矩M’o是否为零，最终均能简化为一个合力FR。(4)F’R=0,M’o=0此时原力系是一个平衡力系。关于平衡力系，将在下一节进行讨论。下一页上一页返回第二节平面力系的简化例3-4将图3-10(a)所示平面任意力系向O点简化，求其所得的主矢及主矩和力系合力的大小、方向及合力与O点的距离d，并在图上画出合力之作用线。图中方格每格边长为5mm，F1=5N，F2=25N，F3=25N，F4=20N，F5=10N，F6=25N。下一页上一页返回第二节平面力系的简化

解：(1)向0点简化:各力在x轴上的投影为各力在丁轴上的投影为主矢与x轴的夹角为α=135o下一页上一页返回第二节平面力系的简化主矩(2)力系的合力力系的合力大小与主矢的大小相等，方向与主矢平行。合力的作用点至O点的距离为合力作用线位置如图3-10(b)所示。上一页返回第三节平面力系的平衡和应用一、平面力系

若力系对物体的作用使物体处于平衡状态，则此力系称为平衡力系。平衡力系中的任意一个力都是其他力的平衡力。1、平衡条件在上一节中，我们已经知道，一般情况下平面力系与一个力及一个力偶等效。若与平面力系等效的力和力偶均为零，则原力系一定平衡。因此，平面力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢F’R和对任意一点O的主矩M’o均为零，即

（3-6）下一页返回﹜第三节平面力系的平衡和应用2、平衡方程(1)一矩式平衡条件式(3-6)也可以用解析式的形式来表示。任选两个相交的坐标轴x和y,由F’R=0得F’Rx=0和F’Ry=0,于是式(3-6)可写成(3-7)这组方程为平面力系平衡方程的基本形式，其中前两式称为投影方程，第三式是力矩方程。式(3-7)表明:平面力系平衡的必要和充分条件是，力系中各力在任意两个相交坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对任下一页上一页返回第三节平面力系的平衡和应用

意一点之矩的代数和也等于零。(2)二矩式(3-8)其中，A,B两点连线不能垂直x轴。(3)三矩式(3-9)其中，A,B,C三点不能共线。下一页上一页返回第三节平面力系的平衡和应用例3-5在图3-11(a)所示结构中，横梁AC为刚性杆，A端为铰支，C端通过铰链与一钢索BC固定。已知AC梁上所受的均布荷载集度为q=30kN/m，试求横梁AC所受的约束力。下一页上一页返回第三节平面力系的平衡和应用

解：(1)取隔离体，画受力图。受力图如图3一11(b)所示(2)求梁AC的约束力。因FAx,均作用于A点，则AC关于A点取矩的力矩平衡方程中仅有FBC。一个未知力，即

利用力的投影方程求FAx，FAy下一页上一页返回第三节平面力系的平衡和应用下一页上一页返回第三节平面力系的平衡和应用二、平面力系的几种特殊情况1、平面汇交力系如果平面力系中各力的作用线均汇交于一点，则此力系称为平面汇交力系，根据力系简化结果可知，汇交力系与一个力(力系的合力)等效。由平面力系平衡条件的一般形式，即式(2-4)可知，平面汇交力系平衡的充分和必要条件是:力系的合力等于零，或力系的主矢等于零。即

(3-10)下一页上一页返回第三节平面力系的平衡和应用例3-7缆绳AC悬挂一吊有重物W的动滑轮B，如图3-13所示。已知重量W及l,h,并忽略摩擦和滑轮的大小。试求(1)平衡重量W所需的力F(2)若L=3m,W=4.8kN，且缆绳的最大许可张力为20kN，求h的最小允许值。

下一页上一页返回第三节平面力系的平衡和应用解：取滑轮B为研究对象，其受力如图3-13(b)所示。因不计滑轮的大小，故可认为滑轮所受的力均汇交于一点。根据缆绳的约束性质，滑轮B两侧的张力应相等，其值为F，即FAB=FBC=F(1)利用竖向投影平衡方程求F解得因为下一页上一页返回第三节平面力系的平衡和应用则(2)求h的最小允许值。将已知条件代入上式下一页上一页返回第三节平面力系的平衡和应用2、平面平行力系如果平面力系中各力的作用线均相互平行，则此力系称为平面平行力系。显然，平面平行力系也是平面一般力系的一种特例，其平衡方程可由平面一般力系的平衡方程推出。假设x轴与各力的作用线相垂直，则各力在x轴上的投影均为零，因此平衡方程式中的∑Fx=0自然成立，从而平面平行力系的平衡方程就写成(3-11)下一页上一页返回第三节平面力系的平衡和应用当然，平面平行力系的平衡方程也可写成二矩式，即(3-12)其中A,B两点之间的连线不能与各力的作用线相平行。下一页上一页返回第三节平面力系的平衡和应用例3-8塔式起重机如图3-14所示。设机架重W1=700kN作用线通过塔架的中心，并设最大起重量W=200kN，最大悬臂长为12m，轨道A,B的距离为4m，平衡块重为W2到塔架中心线的距离为6m,要使起重机在满载(W=200kN)和空载(即W=0)时都不翻倒，试计算平衡抉的重量W2应为多少?

下一页上一页返回第三节平面力系的平衡和应用解：取起重机为研究对象，它所受的力有W,W1,和轨道的约束力FA和FB，这些力组成了平面平行力系，如图3-14所示。要保证起重机不翻倒，就要保证起重机在满载时不向荷载W一边翻倒，空载时不向平衡块一边翻倒。现就以上两种情况分析如下:(1)满载(W=200kN)时，起重机处于平衡的临界状态，即起重机将向右翻而未翻，开始绕支点B转动的状态，此时的受力特点是FA=0，这时由平衡方程求出的W2值是平衡块重的最小值W2min。由下一页上一页返回第三节平面力系的平衡和应用

(2)空载(W=0)时，此时起重机处于平衡的临界状态，即起重机将向左翻而未翻，开始绕支点A转动的状态，其受力特点是FB=0，这时由平衡方程求出的W2值是平衡块重的最大值Wmax。由下一页上一页返回第三节平面力系的平衡和应用

上面所求得的W2max和W2min是在满载和空载两种临界平衡状态下求出的。在起重机实际工作时当然不允许处于这种危险状态。因此要保证起重机安全工作，平衡块重W2的大小应在这两者之间，即75kN<W2<350kN上一页返回第四节物体系统的平衡问题由若干个物体通过一定的约束方式连接而成的系统，称为物体系统，有时将其简称为物系。求解物体系统平衡问题的基本原则和处理单个物体平衡问题的方法是一致的，但情况要复杂些。物体系统平衡问题的求解方法介绍如下:

当物体系统处于平衡状态时，组成该系统的每个物体或若干物体组成的局部也处于平衡状态。根据刚化原理可知，求解物体系统的平衡问题时，既可选取系统的整体作为研究对象，也可选取系统的局部或单个物体作为研究对象。下一页返回第四节物体系统的平衡问题例3-9位于铅垂面的活动折梯放在光滑水平面上，梯子由AC和BC两部分用铰链C和绳子EH连接而成，如图3-15(a)所示。今有一人重为W=600N，站在AC梯的D处。折梯自重不计。试求A,B两处地面的支持力、绳EH的拉力及铰链C所受的力。

下一页上一页返回第四节物体系统的平衡问题解：(1)先取整个折梯(包括站在梯上的人)为研究对象，其受力如图3-15(b)所示。两折梯通过铰链C相互作用的力以及绳子作用的力都是内力，彼此等值、反向、共线，对系统的平衡没有影响，故不必考虑。显然，整体在平面平行力系作用下处于平衡。利用平衡方程则有

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(2)再取BC梯为研究对象，画出其受力图如图3-15(a)所示。作用在BC梯上的力有法向力FB、绳的拉力FEH以及AC梯通过铰链C对它的作用力FCx,FCy。对整个折梯而言，FEH和FCx,FCy属于内力，而对BC梯而言，它们是外力了。可见，内力和外力的区分是相对的，只有对于确定的研究对象来说才有意义。B梯在平面一般力系作用下处于平衡，其平衡方程下一页上一页返回第四节物体系统的平衡问题

负号表示FCy的实际方向与图3-15(c)所示的相反。下一页上一页返回第四节物体系统的平衡问题例3-10梁AB和BC在B处用圆柱铰链连接。梁上作用有均布荷载、集中荷载和集中力偶。A处为固定端，E处为滚动铰支座，尺寸如图3-16(a)所示。已知均布荷载集度为q，集中荷载F=ql，集中力偶的力偶矩M=ql2，梁的重力不计。试计算A,B和E三处的约束力。下一页上一页返回第四节物体系统的平衡问题解:(1)受力分析系统的受力如图3-16(b)所示，其上共有4个未知力(FAx、FAy、MA和FE)因此，仅考虑整体平衡不能求出全部约束力，但能确定FAx=0。AB梁和BC梁的受力分别如图3-16(d),(c)所示，其上都作用有已知的主动力和所要求的未知力，且力系均为平面力系。根据二者的受力图，可以看出，应先选BC梁为研究对象。因为BC梁上只有3个未知力，都可以由平衡方程求得。然后再通过对AB梁的分析，即可求出A处的约束力。(2)选BC梁为研究对象BC梁的受力如图3-16(c)所示。下一页上一页返回第四节物体系统的平衡问题解得（其方向与假设方向相反）(3)再选AB梁为研究对象。AB梁的受力如图3-16(a)所示。由平衡方程下一页上一页返回第四节物体系统的平衡问题解得（与假设方向相反）（与假设转向相反）下一页上一页返回第四节物体系统的平衡问题根据以上分析，求解刚体系统的平衡问题的一般方法和过程如下:分析系统整体平衡，或系统的某一局部平衡，分析有几个未知力以及独立的平衡方程数;应用平衡方程可以求得哪些未知力;根据需要，将系统拆开，选择合适的构件为研究对象。所谓合适是指:作用在件上的未知力的个数应等于平衡方程数，构件上既有已知力，又有未知力，如果一个构件尚不能满足这些条件，可再选另一个构件作为与之有关的研究对象，注意应画出每个研究对象的受力图，并应用作用与反作用定律，正确画出相关联构件的受力图。注意区别内力和外力，系统未拆开时，构件与构件之间的相互作用为内力，对系统平衡无影响，故不下一页上一页返回第四节物体系统的平衡问题必画出，但拆开后，原来系统的内力对于单个构件就变成外力，因而必须画出;根据研究对象所作用力系的类型，选择适当的平衡方程求解。上一页返回每章一练1、设一平面任意力系向某一点简化得到一合力。若另选简化中心，问该力系能否简化为一力偶?为什么?2、设力FR为F1,F2,F3三个力的合力,已知FR=1kN,F3=1kN力F2的作用线垂直于力FR，力F1方位如图3-18所示。求力F1和F2的大小和指向。3、在刚体上A,B,C三点分别作用三个力，各力的大小相等，方向分别如图3-19所示;图中等边三角形边长为z。求此三力向A点简化的结果。4、将图3-20所示平面力系向O点简化，并求力系合力的大返回下一页每章一练小及其至原点D的距离d。已知F1=150N,F2=200N,F3=300N,F=F’=200N。5、

F1,F2和F3三力分别作用在板上的A,B和C三点，其方向如图3-21所示。已知F1=100N,F2=50N,F3=50N，试求三力的合力。返回上一页图3-1力在直角坐标系上的投影返回图3-4力的投影返回图3-6(a)力的平移返回图3-6(b)(c)力的平移返回图3-8(a)(b)力系向一点的简化返回图3-8(c)力系向一点的简化返回图3-9力系向某一点的简化返回图3-18例2题图返回图3-19例3题图返回图3-20第4题图返回第四章静定结构的内力分析

第一节内力计算基础第二节轴向拉(压)杆的内力分析第三节单跨静定梁的内力分析第四节平面静定结构的内力每章一练教学目标1.熟练掌握静定结构的分析方法。2.熟悉各种静定结构的力学性能。3.掌握轴向拉压杆，单跨静定梁的内力分析方法。4.熟悉掌握平面静定结构的内力计算方法，熟悉其内力分布。第一节内力计算基础一、内力为了研究结构或构件的强度与刚度问题，必须厂解构件在外力作用后引起的截面上的内力。所谓内力，是指由于构件受外力作用以后，在其内部所引起的各部分之间的相互作用力。下面以弹簧为例说明。当对一根弹簧两端施加一对轴向拉力，弹簧随之发生伸长变形，同时弹簧也必然产生一种阻止其伸长变形的抵抗力，手拉弹簧特别费劲，正是我们感受到的弹簧抵抗力。力学中，把构件对变形的抵抗力称为内力。必须指出的是，构件的内力是由于外力的作用引起的。因此，又称为“附加内力”。下一页返回第一节内力计算基础二、变形固体及其基本假设1、变形固体和变形种类生活中任何固体在外力作用下，都要或多或少地产生变形，即它的形状和尺寸总会有些改变。所以固体具有可变形的物理性能，通常将其称为变形固体。变形固体在外力作用下发生的变形可分为弹性变形和塑性变形。性变形是指变形固体在去掉外力后能完全恢复它原来的形状和尺寸的变形。性变形是指变形固体在去掉外力后变形不能全部消失而残留的部分，也称残留变形下一页上一页返回第一节内力计算基础本书仅研究弹性变形，即把结构看成完全弹性体。工程中大多数结构在荷载作用下产生的变形与结构本身尺寸相比是很微小的，故称之为小变形。本书研究的内容将限制在小变形范围，即在研究结构的平衡等问题时，可用结构的变形之前的原始尺寸进行计算，变形的高次方项可以忽略不计。本书研究的变形固体被视作连续、均匀、各向同性的，而且变形被限制在弹性范围的小变形问题。2.变形固体的基本假设为了研究结构在荷载作用下的内力、应力、变形、应变等，在作理论分析时，对材料的性质作如下的基本假设:下一页上一页返回第一节内力计算基础(1)连续性假设认为在材料体积内充满厂物质，毫无间隙。在此假设下，物体内的一些物理量能用坐标的连续函数表示它的变化规律。实际上，可变形固体内部存在着间隙，只不过其尺寸与结构尺寸相比极为微小，可以忽略不计。(2)均匀性假设认为材料内部各部分的力学性能是完全相同的。所以，在研究结构时，可取构件内部任意的微小部分作为研究对象。(3)各向同性假设认为材料沿不同方向具有相同的力学性能，这使研究的对象局限在各向同性的材料之上，如钢材、铸铁、玻璃、混凝土等。若材料沿不同方向具有不同的力学下一页上一页返回第一节内力计算基础性质，则称为各向异性材料，如木材、复合材料等。本书着重研究各向同性材料。由于采用了上述假设，大大地方便了理论研究和计算方法的推导。尽管由此得出的计算方法只具备近似的准确性，但它的精度完全可以满足工程需要。上一页返回第二节轴向拉(压)杆的内力分析一、轴力

为了对拉、压杆的失效计算，首先必须分析其内力。截面法是求杆件内力的基本方法。下面通过求解图4-1(a)所示拉杆m-m横截面上的内力来具体介绍截面法求内力。沿需要求内力的横截面，假想地把杆件截成两部分。取截开后的任意一段作为研究对象，并把弃去一段对留下一段的作用以截面上的内力来代替，如图4-1(b)、(c)所示。由于外力的作用线与杆的轴线重合，内力与外力平衡，所以横截面上分布内力的合力F、的作用线也一定与杆的轴线重合，即通过m-m截面的形心且与横截面垂直。这种内力的合力称为轴力。下一页返回第二节轴向拉(压)杆的内力分析列出研究对象的平衡方程，求出未知内力，即轴力。由平衡方程得轴力正负号的规定:拉力为正，压力为负。下一页上一页返回第二节轴向拉(压)杆的内力分析二、轴力图应用截面法可求得杆上所有横截面上的轴力。如果以与杆件轴线平行的横坐标x表示杆的横截面位置，以纵坐标表示相应的轴力值，且轴力的正负值画在横坐标轴的不同侧，那么如此绘制出的轴力与横截面位置关系图，称为轴力图。下一页上一页返回第二节轴向拉(压)杆的内力分析例4-1一直杆受拉(压)如图4-2(a)所示，试求横截面I-I,II-II,III-III上的轴力，并绘制出轴力图。解：在AB段内，沿I-I截面将杆件假想地截开，并取左段为研究对象，如图4-2(b)所示。在I-I截面上假设F}、为拉力，以杆轴为x轴，由静力平衡方程得下一页上一页返回第二节轴向拉(压)杆的内力分析FN1为正号，说明原先假设的轴向拉力是正确的。又因为AB段内任一截面上的内力都是1kN，即AB段处于受拉状态。再沿横截面II-II假想地将杆截开，仍取左段为研究对象，如图4-2(c)所示。设截面上的轴力为FN2，由静力平衡方程得轴力FN2是负的，实际轴力方向与假设相反。BC段处于轴向受压状态。同理，为厂求得CD段内III-III截面上的轴力，将III-III截面截开，并为了方便取右段为研究对象，如图4-2(d)所示。下一页上一页返回第二节轴向拉(压)杆的内力分析设截面上的轴力为FN3,由静力平衡方程得轴力FN3为正值，说明假设的方向与实际相符合。CD段处于轴向受拉状态。最后由各段轴力FN值绘制出轴力图，如图4-2(e)所示。轴力图一般应与受力图正对，在轴力图上应标明轴力的数值及单位。在图枢内均匀地画出垂直于轴线的纵向线，并标明正负号。上一页返回第三节单跨静定梁的内力分析一、平面弯曲的概念

当杆件受到垂直于杆件轴线的力作用时，杆件的轴线由直线变成曲线，这种变形称为弯曲，以弯曲变形为主的杆称为梁，如图4-4所示。工程中常见的梁有如图4-5(a)所示的简支梁，如图4-5(b)所示的悬臂梁和如图4-5(c)所示的外伸梁等。在工程中，梁的截面多为对称的，因此梁的横截面的竖向对称轴和梁轴线构成一个平面，当作用在梁上的所有外力都作用在这个平面上时，梁受弯后，轴线依然在这个平面内，把这种弯曲叫做平面弯曲。下一页返回第三节单跨静定梁的内力分析二、直梁平面弯曲1、直梁截面上的内力—剪力和弯矩

图4-6(a)所示为一简支梁，荷载P与支座反力NA和NB是作用在梁纵向对称面内的平衡力系。现用截面法分析任一截面m-m上的内力，梁横截面上的内力比较复杂，同时存在两个内力分量，即:(1)剪力FQ作用在横截面上的切向力。(2)弯矩M:作用在横截面上的力偶矩。截面m-m上剪力FQ的大小和方向以及弯矩M的大小和转向，可由右段梁的平衡方程确定，即:下一页上一页返回第三节单跨静定梁的内力分析根据作用力和反作用力的关系，分别以梁的左段和右段为研究对象求出的口和M，大小是相等的，而方向或转向是相反的，如图4-6(b)、(c)所示。1)剪力的正负号规定:正剪力:截面上的剪力使研究对象作