机械工程力学

第一章静力分析基础第一节力和力系第二节力偶和力矩的基本知识第三节力系的简化第四节约束和约束力第五节物体的受力分析第一节力和力系一、力与力的性质1.力的基本概念力是物体间相互的机械作用。力的变形效应将在研究变形体力学问题的各学科中加以讨论，在理论力学中主要讨论力的外效应。2.力的性质力是物体之间相互的作用，能使物体的运动状态发生改变，或使物体变形。在工程力学中讨论的主要对象为质点或刚体，则力的作用效果只改变其运动状态。在我国法定计量单位中，力的单位为N(牛)，1N=1kg.m/s2。力具有如下性质:返回下一页第一节力和力系(1)力的作用效果取决于力的大小、方向与作用点此性质称为力的三要素。可用一个有向线段来描述力的方向和大小。用该有向线段的起点或终点描述其作用点。线段所在的直线称为力的作用线。力的大小—物体间机械作用的强弱程度，采用国际单位制，力的单位是牛顿(N简称牛)或者千牛顿(kN简称千牛);力的方向—物体间的机械作用具有方向性，它包括方位和指向;力的作用点—物体间机械作用的位置。上一页返回下一页第一节力和力系(2)两个力作用于同一个点的效应可与作用点不变的另一个力等效该力称为两力和合力，该合力的大小与方向以两力的有向线段为边构成的平行四边形的对角线确定。此性质称为力的平行四边形法则。3.二力平衡作用于同一物体的两个力使其平衡的充要条件是两力处在同一直线上，且大小相等，方向相反，如图1-3所示矢量表示为4.力系平衡在作用于物体的力系中加上或减去任意的平衡力系，并不改变原来力系对物体的作用。将作用在刚体上的力沿其作用线任意移动到作用线的另一点，而不改变它对刚体的作用效应，如图1-4所示。上一页返回下一页第一节力和力系5.作用力与反作用力作用力与反作用力同时存在，大小相等、方向相反，沿同一作用线分别作用在不同的物体上。注意，作用力与反作用力由于作用在不同的物体上，不构成上述所谓的平衡，如图1-5所示。二、力系所谓平面力系是指各力的作用线都在同一平面内的力系。在平面力系中，若各力的作用线交于一点，则称为平面汇交力系，如图1-6所示;若各力的作用线相互平行，则称为平面平行力系，如图1-7所示;若各力的作用线既不完全交于一点也不完全相互平行，则称为平面一般力系，如图1-8所示。上一页返回第二节力偶和力矩的基本知识一、力对点的矩从实践中知道，力对物体的作用效果除了能使物体移动外，还能使物体转动，力矩就是度量力使物体转动效果的物理量。力的大小与力臂的乘积称为力F对点O之矩(简称力矩)，记作m0(F)。计算公式可写为返回下一页第二节力偶和力矩的基本知识二、合力矩定理在计算力对点的力矩时，有些问题往往力臂不易求出，因而直接按定义求力矩难以计算。此时，通常采用的方法是将这个力分解为两个或两个以上便于求出力臂的分力，在由多个分力力矩的代数和求出合力的力矩。这一有效方法的理论根据是合力矩定理，即:如果有n个平面汇交力作用于A点，则平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于力系中各分力对同一点力矩的代数和:上一页返回下一页第二节力偶和力矩的基本知识三、力偶的相关知识1.力偶和力偶矩在生产实践和日常生活中，为了使物体发生转动，常常在物体上施加两个大小相等、方向相反、不共线的平行力。例如钳工用丝锥攻丝时两手加力在丝杠上，如图1-10所示。(1)力偶当大小相等、方向相反、不共线的两个平行力F和F’作用在同一物体时，它们的合力FR=0，即F和F’没有合力。但因二力不共线，所以也不能平衡。它们的作用效果是使物体发生转动。力学上把这样大小相等、方向相反、不共线的两个平行力叫力偶。上一页返回下一页第二节力偶和力矩的基本知识(2)力偶矩实践可知，组成力偶的力越大，或力偶臂越大，则力偶使物体转动的效应越强;反之，就越弱。这说明力偶的转动效应不仅与两个力的大小有关，而且还与力偶臂的大小有关。与力矩类似，用力偶中一个力大小和力偶臂的乘积并冠以适当正负号(以示转向)来度量力偶对物体的转动效应，称为力偶矩，用m表示。即上一页返回下一页第二节力偶和力矩的基本知识2.力偶的基本性质(1)力偶没有合力，所以力偶不能用一个力来代替，也不能与一个力平衡。(2)力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶矩，且与矩心位置无关。(3)在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶等效，称为力偶的等效条件。上一页返回第三节力系的简化一、力的平移定理作用于刚体上的力均可以从原来的作用位置平行移至刚体内任一指定点。欲不改变该力对于刚体的作用效应，则必须在该力与指定点所决定的平面内附加一力偶，其力偶矩等于原力对于指定点之矩。这就是力的平移定理。二、主矢和主矩如图1-18(a)所示，设某刚体上受一平面任意力系F1,F2…Fn的作用，各力的作用点分别为A1,A2,…An。在力系所在的平面内任选一点O，称为简化中心。求该力系向O点简化的结果。返回下一页第三节力系的简化应用力的平移定理，将各力平移至简化中心O点，同时加人相应的附加力偶。这样原力系就等效变换成为作用在O点的平面汇交力系F1’,F2’…Fn’式，和作用于汇交力系所在平面内的力偶矩为m1,m2,…mn的附加平面力偶系，如图1-18(b)所示。1.主矢的基本概念汇交力系的合力FR的大小和方向可由原力系的矢量和来决定。我们将平面任意力系中各力的矢量和称为该力系的主矢，以FR’表示2.主矩的基本概念图1-18(c)中，平面附加力偶系可合成为一力偶，其力偶矩等于各附加力偶的力偶矩即的代数和，用M0表示上一页返回下一页第三节力系的简化而各附加力偶的力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心O点的矩，即我们将原力系中各力对简化中心的矩的代数和称为该力系对简化中心O的主矩，以M0表示，上一页返回下一页第三节力系的简化3.主矢和主矩的解析表达式为了用解析法计算力系主矢的大小和方向，可以通过O点选取直角坐标系Oxy，如图1-18(c)所示。则有所以，主矢的大小和方向可分别由以下两式确定:上一页返回下一页第三节力系的简化三、平面任意力系的简化结果的分析1.简化结果分析平面任意力系向一点简化后，一般来说可以得到一个力和一个力偶，但这并不是平面任意力系简化的最后结果，所以还有必要根据力系的主矢和主矩这两个量可能出现的儿种情况作进一步的分析讨论。(1)当主矢FR’≠o，主矩M0≠o时,此时原力系简化为作用线通过简化中心O的一力和一力偶，如图1-20(a)所示。由力的平移定理的逆过程可知，原力系最后可以简化为一个合力。上一页返回下一页第三节力系的简化(2)当主矢FR’≠o，主矩M0=o时,此时原力系与一力等效。这个力就是原力系的合力。该合力的大小和方向与原力系的主矢相同，作用线通过简化中心O(3)当主矢FR’=o，主矩M0≠o时此时原力系只与一个力偶等效。这个力偶的力偶矩等于原力系对简化中心的主矩，即等于原力系中各力对简化中心的矩的代数和。只有在这种情况下，主矩才与简化中心的位置无关，因为力偶对任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，也就是说，原力系无论向哪一点简化都是一个力偶矩保持不变的力偶。(4)当主矢FR’=0，主矩M=0时则原力系为一平衡力系，这种情形将在下节中讨论。上一页返回下一页第三节力系的简化综上所述，求解平面任意力系合成的步骤可总结为:任选一简化中心;计算力系的主矢和对简化中心的主矩;对简化结果进行分析而得到最终的合成结果。2.合力矩定理当平面任意力系合成为一个合力时，如图1-20所示，合力R对点O的矩为由力系对O点的主矩的定义上一页返回下一页第三节力系的简化上式表明:若平面任意力系可简化为一个合力时，则其合力对该力系作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。这就是平面任意力系的合力矩定理。该定理无论在理论推导方面，还是在实际应用方面都具有非常重要的意义。上一页返回第四节约束和约束力一、约束及其种类1.光滑接触面约束当两物体接触面的摩擦可以忽略不计时，则构成光滑接触面约束。这时，不论接触面形状如何，光滑接触面对被约束物体在过接触点处的公切面内任意方向的运动不加限制，同时也不限制物体沿接触面处的公法线脱离接触面，但阻碍物体沿该公法线方向进人约束内部，因此，光滑接触面约束的约束反力必沿接触面处的公法线指向被约束物体，即为压力，用符号FN表示，如图1-23所示。返回下一页第四节约束和约束力2.柔性体约束柔绳、链条或皮带构成的约束称为柔性体约束，这类约束被理想化为柔软而只承受拉力的索状物，简称为柔索。它给物体的约束反力只能是沿柔索的拉力，且作用在接触点或假想截割处，所以柔索给物体的约束力作用在接触点、沿柔索的中心线且背离物体(为拉力)，如图1-24(a)、(b)所示。3.光滑圆柱形铰链约束(1)光滑圆柱铰链约束两个零件被钻上同样大小的孔，并用圆柱形销钉连接起来，略去摩擦，我们称这种约束为光滑圆柱铰链约束。在两个物体上做出相同直径的孔并用一个圆柱形销钉连接起来，如图1-25(a)所示，即构成圆柱铰链。圆柱铰链的简图，如图1-25(b)所示。上一页返回下一页第四节约束和约束力(2)性质铰链连接的两个构件可以绕销钉的轴线相对转动，但在垂直于销钉轴线的平面内不能沿任何方向相对移动。由于铰链的圆柱销钉与构件的圆孔之间为光滑面接触，所以当一个物体相对于另一物体有运动趋势时，销钉与孔壁便在某处接触，销钉给物体的约束力沿着接触点的公法线方向(即接触点与销钉中心的连线)。但接触点的位置与构件所受的载荷有关，一般是未知的。视铰链所连接的两个构件互为约束，则光滑圆柱铰链给每个构件的约束力在垂直于销钉轴线的平面内，通过销钉的中心，方向未知，常用过铰链中心的两个正交分力表示，如图1-25(c)。上一页返回下一页第四节约束和约束力4.固定端约束如图1-26(a)所示装在车床刀架上的车刀，当旋紧螺钉后，刀杆被牢固地固定在刀架上，使车刀相对于刀架不能作任何方向的移动和转动。如图1-26(b)所示房屋建筑中的挑梁，它的一端嵌固在墙内，墙壁对挑梁的约束，既限制它沿任何方向移动，又限制它的转动。工程中，将物体受到的这类约束称为固定端约束。其计算简图如图1-26(c)所示。上一页返回下一页第四节约束和约束力二、可动铰支座与固定铰支座1.可动铰支座如图1-27(a)为可动铰支座的构造示意图。在铰链支座的下面用儿个辊轴支承于固定平面上，但支座的连接不允许支座脱离支承面，就构成可动铰支座，其计算简图如图1-27(b)所示。这种支座不能限制物体绕销钉轴线的转动和沿支承面方向的移动，只能限制物体沿支承面的垂直方向(指向或背离支承面)的移动。所以，可动铰支座的约束力通过销钉中心，垂直于支承面，指向未知，如图1-27(c)所示。上一页返回下一页第四节约束和约束力2.固定铰支座将结构或构件用铰链与基础或其他固定的结构物连接，这样构成的约束称为固定铰支座。图1-28(a)为固定铰支座的构造示意图，它的计算简图，如图1-28(b)所示。固定铰支座限制物体垂直于销钉轴线任何方向的位移，但物体可以绕销钉的轴线转动。所以，固定铰支座的约束力与圆柱铰链的约束力相同，即通过销钉的中心，方向未知，常用过铰链中心的两个正交分力表示，如图1-28(c)上一页返回第五节物体的受力分析一、物体的受力分析1.受力分析受力分析主要研究物体在力系作用下的平衡规律，包括研究力系的简化和平衡条件。力系是指作用于物体上的一组力。对物体作用效果相同的力系，称为等效力系。在不改变力系对物体作用效果的前提下，用一个简单的力系来代替复杂的力系，这一过程称为力系的简化。特殊情况下，若一个力与一个力系等效，则该力称为力系的合力，而力系中各力称为合力的分力。平衡是指物体相对于地球静止或做匀速直线运动的状态。使物体保持平衡的力系，称为平衡力系，平衡力系所应满足的条件，称为力系的平衡条件。返回下一页第五节物体的受力分析2.集中力与分布力力总是作用在一定的面积或体积内的，称为分布力。当力的作用范围与物体相比很小时，可以近似地看成一个点，该点为力的作用点，作用于一点的力称为集中力。当力均匀地分布在某一线段上时，称为线均布载荷，简称均布载荷。3.力系的分类为了便于研究力系的简化和平衡条件，通常根据力系中各力作用线的分布情况将力系进行分类:各力的作用线都在同一平面内的力系，称为平面力系;各力作用线不在同一平面内的力系，称为空间力系。在这两类力系中，各力的作用线相交于一点的力系，称为汇交力系;各力的作用线互相平行的力系，称为平行力系;各力的作用线不全交于一点，也不全平行的力系，称为一般力系或任意力系。上一页返回下一页第五节物体的受力分析二、力的投影与合力投影定理1.力在平面直角坐标轴上的投影由力的投影的定义可知:当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影等于零;当力与坐标轴平行时，力在该轴上投影的绝对值等于力的大小;当力平移或坐标轴平移(正方向不变)时，力在轴上的投影不变上一页返回下一页第五节物体的受力分析【例1-3】试分别计算图1-31中各力在x,y轴上的投影。已知F1=100N,F2=150N,F3=F4=200N，各力的方向如图所示。解由式(1-13)可得出各力在x,y轴上的投影为上一页返回下一页第五节物体的受力分析2.合力投影定理设平面汇交力系由F1,F2,…，Fn组成，如图1-32(a)，应用力的可传性将各力分别沿其作用线移到汇交点A，连续应用力的平行四边形法则，可以将平面汇交力系合成为一个过汇交点的合力FR，如图1-32(b)所示，且合力的矢量等于各分力的矢量和，即上式两边同时向x,y轴投影，可得上一页返回下一页第五节物体的受力分析式(1-14)即合力投影定理:合力在坐标轴上的投影，等于各分力和在同一轴上投影的代数。应用合力投影定理，可以求出平面汇交力系的合力F、的大小和方向:上一页返回下一页第五节物体的受力分析【例1-4」如图1-33(a)所示，吊钩受三个力的作用，F1=732N,F2=732N,F3=2000N，试求该汇交力系合力的大小和方向。解：建立直角坐标系，如图1-33(a)所示，由式(1-14)计算合力FR在x,y轴上的投影:上一页返回下一页第五节物体的受力分析则合力FR的大小为合力FR的方向为上一页返回图1-3矢量返回图1-4平衡力系返回图1-5作用力与反作用力返回图1-6平面汇交力系返回图1-7平面平行力系返回图1-8平面一般力系

返回图1-10力偶和力偶矩返回图1-18刚体受力简化示意图返回图1-18刚体受力简化示意图返回图1-18刚体受力简化示意图返回图1-20简化平面任意力系返回图1-20简化平面任意力系返回图1-23光滑接触面约束返回图1-24柔性体约束的表示方法返回图1-25铰锥约束的表示方法返回图1-25铰锥约束的表示方法返回图1-26固定端约束的表示方法返回图1-27可动铰支座的表示方法返回图1-28固定铰支座的表示方法返回图1-31各力在xy轴上的铅影返回图1-32合力投影返回图1-33交汇合力返回第二章平面力系的平衡及应用第一节平面汇交力系的平衡第二节平面任意力系的平衡方程第三节简单物体系统的平衡第四节摩擦与自锁第五节重心和形心的概念及应用第一节平面汇交力系的平衡一、平面汇交力系基本概念在平面力系中，各力的作用线均汇交于一点的力系，称为平面汇交力系。如图2-1(a)所示，铰车通过绳索将重物吊起，重物的力、杆aB的力、杆Bc的力和绳索的力都作用于B点，这就是平面汇交力系。有时我们需要知道杆aB和Bc所受的力，以确定aB和Bc杆的截面积。吊钩吊起重物时的受力，压路机的碾子在压平路面时的受力也属于平面汇交力系，如图2-1(b)和图2-1(c)所示。返回下一页第一节平面汇交力系的平衡二、合力投影定理1.力在直角坐标轴上的投影投影的正负规定为:从a到b的指向与坐标轴:x正向相同时为正，反之为负。可见，图2-2所示力F在x轴上的投影为Fx=Fcosa。同理可得，力F在y轴上的投影为Fy=-sina。在直角坐标系Oxy中，若已知力F与x轴所夹的锐角为a，则力F在x,y轴上的投影分别为上一页返回下一页第一节平面汇交力系的平衡2.合力投影定理一般地，若，则式(2-2)称为合力投影定理，即合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。合力投影定理虽然是由平面汇交力系推出，但适用于任何力系。上一页返回下一页第一节平面汇交力系的平衡由合力投影定理，可以求出平面汇交力系的合力。若刚体上作用一已知的平面汇交力系F1,F2,……Fn式，根据合力投影定理，可得FRx,和FRy,(图2-3)，即合力的大小和方向为上一页返回下一页第一节平面汇交力系的平衡三、平面汇交力系的平衡由上述讨论可知，空间汇交力系同平面汇交力系一样，其合成结果亦为一合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。所以平面汇交力系平衡的充分必要条件是该力系的合力FR等于零。由式(2-3)有由此可得平面汇交力系平衡方程:上一页返回下一页第一节平面汇交力系的平衡【例2-2】如图2-4(a)所示，重物重W=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端绕在绞车D上，杆AB与BC铰接，并以铰链A,C与墙连接。如杆与滑轮的自重不计，并忽略摩擦及滑轮的大小，求平衡时杆AB和BC的受力。(1)取滑轮B为研究对象，略去大小，画其受力图，如图2-4(b)所示。由图可知，滑轮B受平面汇交力系作用，其中(2)建立直角坐标系，如图2-4(b)所示，列平衡方程求解。上一页返回下一页第一节平面汇交力系的平衡得由式(1)得由式(2)上一页返回第二节平面任意力系的平衡方程一、平面任意力系的实例及平面任意力系的平衡方程1.平面任意力系的实例各力的作用线位于同一平面内但不全汇交于一点，也不全互相平行的力系称为平面任意力系。如图2-6所示为一悬臂吊车示意图，横梁仙的自重，小车及其载荷以及BC杆的拉力，它们既不汇交于一点，互相之间也不全平行，这就是平面任意力系。返回下一页第二节平面任意力系的平衡方程2.平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡条件为:力系中各力在坐标轴上投影的代数和等于零，各力对平面内任意一点之矩的代数和等于零。通常称前两个方程为投影方程，称后一个方程为力矩方程。上一页返回下一页第二节平面任意力系的平衡方程【例2-4】图2-8(a)所示梁，已知F=15N,M=3kNm，求A,B铰支座的约束力。解(1)选取AB梁为研究对象。(2)画受力图。AB梁受有F,M和A,B铰支座约束力Fax，Fay。FR的作用，形成平面任意力系，如图2-8(b)。它包含凡，凡。F。三个未知量，能够全部求解。(3)选取图2-8(b)所示坐标系。(4)列平衡方程求解上一页返回下一页第二节平面任意力系的平衡方程故故上一页返回第三节简单物体系统的平衡一、物系及物系平衡的概念1.物系的概念由若干个物体通过适当的连接方式(约束)组成的系统称为物体系统，简称物系。下程实际中的结构或机构.如多跨梁、三铰拱、组合构架、曲柄滑块机构等都可看做物体系统，如图2-11所示。2.物系平衡的概念所谓物系平衡，即组成该系统的每一个物体均处于平衡状态;反之，物体系统中每一个物体都平衡，则整个物体系统也处于平衡状态。求解物系平衡问题，习惯上采用两种解法:逐次拆开选择单个物体或某几个物体为研究对象，列出对应的平衡方程，求出所需的全部未知量。

返回下一页第三节简单物体系统的平衡先整体后拆开先取整个物系为研究对象，解出部分未知量，再将物系拆开，选取物系中某个或某些物体为研究对象，列出相应的平衡方程，求解其余未知量。二、物体平衡问题解法举例【例2-7】如图2-12(a)所示的压榨机中，杆AB,BC的长度相等，自重不计，AB,C三处为铰链连接。已知活塞D受到的油压力F=3000N,h=200mm,L=1500mm求压块C加在工件上的压力及杆AB,BC的受力。上一页返回下一页第三节简单物体系统的平衡解：由作用与反作用关系可知，压块C加在工件上的压力可由工件对压块C的约束力药求出。压块C受到BC杆的压力，AB杆、BC杆均为二力构件，如图2-12(b)所示，其受力可通过研究销钉B的受力求得。(1)取销钉B为研究对象，画出其受力图，建立直角坐标系，如图2-12(c)所示。列平衡方程求解上一页返回下一页第三节简单物体系统的平衡(2)取压块C为研究对象，画受力图，建立直角坐标系，如图2-12(d)所示。列平衡方程求解上一页返回第四节摩擦与自锁一、摩擦的基本概念1.静滑动摩擦力及其应用当两个相互接触的物体只有相对滑动趋势时，接触面间所产生的摩擦力称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力，用FS表示。其方向与物体相对滑动趋势方向相反。2.动滑动摩擦力及其应用在上面的实验中，当拉力FT超过最大静摩擦力时，物块开始滑动。两个相互接触的物体开始出现相对滑动时，接触面间所产生的摩擦力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，用Fd表示。显然，动滑动摩擦力的方向与物体相对滑动方向相反。动摩擦力与两物体间的正压力成正比，即返回下一页第四节摩擦与自锁就是动滑动摩擦定律。式中的比例常数拜称为动滑动摩擦因数，简称动摩擦因数。动摩擦因数小于静摩擦因数，但精度要求不高时，可认为两者相等。滑动摩擦力分为三种情况:物体相对静止时(只有相对滑动趋势)临界平衡状态(只有相对滑动趋势)物体有相对滑动时上一页返回下一页第四节摩擦与自锁[例2-9]图2-15(a)所示为一个制动装置，鼓轮与制动片之间的静摩擦因数为μs，作用在鼓轮上的力矩为M，几何尺寸如图。求制动所需力F的最小值。解(1)取鼓轮为研究对象，制动时制动片阻止鼓轮转动，摩擦力方向向右。画出其受力图，建立直角坐标系，如图2-15(b)所示。列平衡方程求解制动时，制动杆平衡若F最小，列补充方程上一页返回下一页第四节摩擦与自锁(2)取制动杆为研究对象，画出其受力图，建立直角坐标系，如图2-15(c)所示。列平衡方程求解上一页返回下一页第四节摩擦与自锁二、摩擦角和自锁1.摩擦角的基本概念当物体处于滑动的临界状态时，静摩擦力Fs达到最大值Fsmax，此时FR与FN的夹角也最大，此时的φm称为摩擦角。在图2-17中，堆放松散的物质，如砂、土、煤、粮食时，能够堆起的最大坡角，称为休止角，它就是松散物质间的摩擦角。用休止角可以算出一定面积的场地能堆放物质的量。在铁道上，需要决定铁路路基侧面的最大倾角，以防止滑坡;自动卸货汽车的翻斗在车身上抬起要大于摩擦角，以保证卸车时能将翻斗内的货物倾卸干净;工作台在工作中应克服自锁现象引起的“卡死”现象等。上一页返回下一页第四节摩擦与自锁2.自锁的基本概念.螺旋自锁自锁条件:.楔块自锁条件:.凸轮机构如图2-18(c)所示，要求推杆不被卡住，推杆滑动条件为.电工用套钩攀登电线钩如图2-18(d)所示，防止电工坠落，攀登钩的自锁条件为.砖夹如图2-18(e)示，要求砖夹卡住不滑掉，机构自锁条件为上一页返回第五节重心和形心的概念及应用一、物体重心与形心的概念1.重心在对工程实际中的物体进行分析研究时，经常需要确定研究对象的重力的中心，即重心。我们知道，重力是地球对物体的引力，也就是说，若将物体看成是由无穷多个质点所组成，则每个质点都会受到地球重力的作用，这些力均应汇交于地心，构成一空间汇交力系。但物体在地面附近时，由于物体几何尺寸远小于地球，所以，组成物体的各质点所受的重力可近似看成是一平行力系。而这一同向的平行力系的合力作用点即为物体的重心，且相对物体而言其重心的位置是固定不变的。返回下一页第五节重心和形心的概念及应用假设如图2-19所示一刚体是由n个质点所组成，C点为刚体的重心。为研究该刚体的重心位置，建立图示与刚体固定的空间直角坐标系Oxyz，刚体内一质点Mi为组成刚体的n个质点中的任一质点。设刚体和该质点的重力分别为G和Gi，且刚体的重心和质点的坐标分别为因为刚体的重力G等于组成刚体的各个质点的重力Gi的合力，即上一页返回下一页第五节重心和形心的概念及应用应用对y轴的合力矩定理，则有所以同理，若应用对x轴的合力矩定理，则有上一页返回下一页第五节重心和形心的概念及应用即因为物体的重心位置与物体如何放置无关，所以可将物体连同坐标系一起绕x轴转动90°，如图2-20所示，再应用合力矩定理对x轴取矩，则可得综上所述，可知物体重心坐标计算公式为上一页返回下一页第五节重心和形心的概念及应用或可将上式写成矢径形式2.形心物体的几何形状的中心又称为物体的形心。式(2-14)及式(2-15)又称为物体的形心坐标计算公式。也就是说，对于匀质物体，其重心和形心位置是重合的。同理，我们还可以得到匀质等厚薄板及匀质等截面细长杆件的重心坐标计算公式，可见表2-1所示。上一页返回下一页第五节重心和形心的概念及应用二、重心和形心的应用对于具有对称面、对称轴或对称中心的匀质物体，其重心位置一定在此物体的对称面、对称轴或对称中心上。若物体有两个对称面或对称轴，则重心必在它们的交线或交点上。利用物体的这些特性可使求重心坐标的过程大大简化。但需注意，重心和形心的物理意义不同，是两个不同的概念。只有当物体为匀质物体时，其重心和形心位置才是重合的。若是非匀质物体，则其重心与形心不会重合。对于一般较为复杂的物体，确定其重心位置的方法一般有以下三种。上一页返回下一页第五节重心和形心的概念及应用1.积分法积分法是求重心位置的基本方法。对于质量连续分布的物体均可利用积分法求解。【例2-10】试求半径为R,圆心角为2α的匀质扇形面积的重心坐标。解可建立如图2-21所示的坐标，取x轴为扇形的对称轴，则重心必在x轴上，即yc=0，故只需求xc=0。可任取一微扇形，如图中阴影面积所示，其可近似看作一等腰三角形，由三角形的性质可知其重心A应距坐标原点O的距离为OA=2/3R

上一页返回下一页第五节重心和形心的概念及应用则该三角形的微面积和对X轴的坐标为由公式(2-15)可得上一页返回下一页第五节重心和形心的概念及应用所以，在图示坐标系下，该扇形的重心坐标为2.组合法若可将一均质形体分割为几个已知其重心位置的简单图形，则可应用分割法求解该形体的重心坐标。3.实验法当物体的外形较复杂而不易由公式求其重心位置时，可利用实验的方法测出其重心的位置，一般通过实验手段得到物体重心的方法有悬挂法和称重法两种。上一页返回下一页第五节重心和形心的概念及应用(1)悬挂法对于边界较复杂的如图2-23所示的薄板，可先将薄板悬挂于任一点A，根据二力平衡公理，重心C必在通过A点的铅垂线上，可先画出此铅垂线，如图2-23(a)中虚线所示。再将薄板悬挂于另一点B，同理又得一过B点的铅垂线，如图2-23(b)所示，这两铅垂线的交点C即为该薄板的重心。(2)称重法对于某些形状复杂或体积庞大的物体，可用称重法确定其重心位置。例如图2-24所示一具有对称轴的构件，可先称出其重量W，将其如图所示放置，且一端置于磅秤之上，并使其对称轴AB保持水平。测出值后，由平衡方程可得

在对称轴AB线上量取AC=b，而C点即为构件的重心。上一页返回表2-1重心坐标计算公式返回图2-1平面汇交力学返回图2-2力在直角坐标铀上的投影返回图2-3合力投影返回图2-4滑轮返回图2-6最臂吊车返回图2-8铰支座返回图2-11物体系统返回图2-12压榨机返回图2-12压榨机返回图2-12压榨机返回图2-15制动装置返回图2-15制动装置返回图2-17休止角返回图2-18常用工具或机构的自锁或滑动返回图2-19刚体重心返回图2-20续x轴旋转坐标系返回图2-21匀质扇形重心坐标返回图2-23是挂法测重心返回图2-24称重法测重心返回第三章内力计算第一节拉压杆的内力第二节梁弯曲时的内力第三节圆轴扭转式的内力第一节拉压杆的内力一、轴向拉伸和压缩在工程中，轴向拉伸与压缩是常见的一种基本变形，例如图3-1(a)所示支架中，AB杆受到拉伸，BC杆受到压缩，如图3-1(b)。其受力特点是外力或外力的合力与杆的轴线重合，变形特点是沿杆件轴线方向伸长或缩短，如图3-2所示。杆件的这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。发生轴向拉伸或压缩变形的杆件，称为拉压杆。

返回下一页第一节拉压杆的内力二、拉压杆的内力如图3-3(a)所示拉杆，为了确定m-n,截面的内力，可以假想地用截面m—m,把拉杆截为左、右两段，如图3一3(b)、(C)所示，取其中任一段作为研究对象。杆件在外力作用下平衡时，其任一部分也处于平衡。因拉压杆的外力沿杆的轴线，其任一截面的内力也必与杆的轴线重合，这种与杆轴线重合的内力称为轴力，用FN表示。轴力的大小由平衡方程求解，若取左段为研究对象，则上一页返回下一页第一节拉压杆的内力以上求内力的方法称为截面法。截面法是计算内力的基本方法，其基本步骤为:截—沿欲求内力的截面将杆件截为两段;取—取出任一段(左段或右段)为研究对象;代—用欲求的内力代替另一部分对研究对象的作用;平—由平衡方程确定内力的大小和方向。上一页返回下一页第一节拉压杆的内力三、轴力图的应用多次利用截面法，可以求出所有横截面上的内力，一般以与杆件轴线平行的坐标轴表示各横截面的位置，以垂直于该坐标轴的方向表示相应的内力值，这样作出的图形称为轴力图(axialforcediagram)，也称为凡图。轴力图能够简洁明了地表示杆件各横截面的轴力大小及方向，它是进行应力、变形、强度、刚度等计算的依据。下面说明轴力图的绘制方法:选取一坐标系，其横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示相应横截面的轴力。根据各段内的轴力的大小与符号，就可绘出表示杆件轴力与截面位置关系的图线。这样从轴力图上不但可以看出各段轴力的大小，而且还可以根据正负号看出各段的变形是拉伸还是压缩。上一页返回下一页第一节拉压杆的内力【例3-1】如图3-5(a)所示等截面直杆，受轴向作用力F1=15kN,F2=10kN。求杆件1-1,2-2截面的轴力，并做轴力图。解(1)外力分析A端的约束力FR，如图3-5(b)所示，可由平衡方程求得上一页返回下一页第一节拉压杆的内力在BC段，用2-2截面将杆件截为两段，取左段为研究对象，右段对左段的作用力用Fez来代替，并设Fez为正，如图3-5(d)所示，由平衡方程(3)画轴力图，如图3-5(e)所示。上一页返回下一页第一节拉压杆的内力四、虎克定律的基本内容杆件在轴向拉伸或压缩时，其轴线方向的尺寸和横向尺寸将发生改变。杆件沿轴线方向的变形称为纵向变形，杆件沿垂直于轴线方向的变形称为横向变形。设一等直杆的原长为L,横截面面积为A，如图3-7所示。在轴向拉力F的作用下，杆件的长度由l变为l1，其纵向伸长量为△l=l1一l。△l称为绝对伸长，它只反映总变形量，无法说明杆的变形程度。将△l除以l得杆件纵向正应变为上一页返回下一页第一节拉压杆的内力当材料应力不超过某一限值σp少(以后将会讲到，这个应力值称为材料的“比例极限”)时，应力与应变成正比，即这就是虎克定律(Hookelaw)，是根据著名的英国科学家RobertHooke命名的。公式(32)中的E是弹性模量，也称为杨氏模量(Young'stnodulua)，根据另一位英国科学家ThomasYoung命名的，由于。是无量纲量，故E的量纲与。相同，常用单位为GPa(109Pa),E随材料的不同而不同，对于各项同性材料它均与方向无关。上一页返回下一页第一节拉压杆的内力【例3-3】如图3-8(a)所示的铅垂悬挂的等截面直杆，其长度为l,横截面面积为A，材料的比重为γ，弹性模量为E。试求该杆总的伸长量。解(1)计算吊杆的内力以吊杆轴线为坐标轴，吊杆底部为原点取坐标系，则任一横截面的位置可用x来表示。任取一横截面，取下面部分为研究对象，如图3-8(b)所示，得杆内任意横截面上的轴力为上一页返回下一页第一节拉压杆的内力(2)计算吊杆的变形因为杆的轴力是一变量，因此不能直接应用虎克定律来计算变形，在x处截取微段dx来研究，受力情况如图3-8(c)所示。因dx极其微小，故该微段上下两面的轴力可以认为相等，该微段的伸长为则杆的总伸长量为上一页返回第二节梁弯曲时的内力一、平面弯曲作用在梁上的外力包括载荷与支座约束力，仅由平衡方程可求出全部支座约束力的梁称为静定梁，静定梁的基本形式有以下三种:简支梁一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁，如图3-12(a)所示;外伸梁一端或两端有外伸部分的简支梁，如图3-12(b)所示;悬臂梁一端固定，另一端自由的梁，如图3-12(c)所示。返回下一页第二节梁弯曲时的内力梁的两个支座之间的距离Z称为梁的跨度。工程中常见的梁，其横截面大多至少有一根对称轴，如图3-13所示。截面的对称轴与梁的轴线所确定的平面称为梁的纵向对称面，如图3-14所示。若梁上所有外力都作用在梁的纵向对称面内，则变形后梁的轴线将是位于纵向对称面内的一条平面曲线。这种弯曲称为平面弯曲，它是弯曲问题中最常见和最简单的情况。上一页返回下一页第二节梁弯曲时的内力二、梁的内力及梁内力的计算1.剪力与弯矩的基本概念梁、的内力仍由截面法确定。如图3-15(a)所示简支梁，为确定任一截面n-n的内力，首先求出梁的支座反力FA和FB，然后，假想用截面将梁在n-n处截成两段，如图3-15(b),(c)。若取左段梁为研究对象，由于整个梁是平衡的，它的任一部分也处于平衡。由左段梁的平衡可知，在n-n截面上必然存在两个内力分量:·与截面相切的内力分量，称为剪力，用FQ表示;.作用在纵向对称面内的内力偶矩称为弯矩，用M表示由平衡方程可计算出截面的剪力FQ与弯矩M上一页返回下一页第二节梁弯曲时的内力截面n—n上的剪力和弯矩，也可由右段梁的平衡条件求出[图3一15(c)],上一页返回下一页第二节梁弯曲时的内力2.剪力和弯矩的正负号规定为使取左段梁或右段梁得到的同一截面的剪力与弯矩符号相同，根据梁的变形情况，对剪力、弯矩的符号规定如下:在横截面的内侧截取微段梁，凡使该微段梁发生左侧向上、右侧向下相对错动(顺时针错动)变形的剪力规定为正，反之为负，如图3-16所示;使微段梁产生上凹下凸弯曲变形的弯矩为正，反之为负，如图3-17所示。上一页返回下一页第二节梁弯曲时的内力三、计算剪力和弯矩梁任一横截面上的剪力等于该截面一侧(左侧或右侧)所有横向外力的代数和。其中，截面以左向上的外力或截面以右向下的外力，在该截面上产生正的剪力，即“左上右下，剪力为正”;反之，则产生负的剪力。梁任一横截面的弯矩等于截面一侧(左侧或右侧)所有外力(包括外力偶)对该截面形心力矩的代数和。其中，截面以左对截面形心顺时针的力矩或截面以右对截面形心逆时针的力矩，在该截面上产生正的弯矩，即“左顺右逆，弯矩为正”;反之，则产生负的弯矩。上一页返回下一页第二节梁弯曲时的内力【例3-5】如图3-18所示悬臂梁受均布载荷a作用，图中距离△->0。试计算指定截面的剪力、弯矩。1-1截面:2-2截面:解对于悬臂梁，由截面至自由端梁段上的外力，计算指定截面上的剪力和弯矩，可不必求支座的约束力。上一页返回下一页第二节梁弯曲时的内力四、剪力图和弯矩图1.根据剪力、弯矩方程画出剪力、弯矩图梁横截面上的剪力、弯矩随截面位置而变化。若以梁的轴线为x轴，坐标x表示截面的位置，则剪力和弯矩可表示为x的函数，即这种内力随截面位置变化的函数关系式，分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。梁的剪力和弯矩随截面位置变化的图线，分别称为剪力图和弯矩图。由内力图可以确定梁的最大剪力和最大弯矩及其所在的截面(危险截面)位置，以便进行梁的强度计算。下面通过例题说明梁剪力图和弯矩图的画法。上一页返回下一页第二节梁弯曲时的内力【例3-7】如图3-20(a)所示简支梁受集中力作用，试画出梁的剪力图和弯矩图。解(1)求支座的约束力(2)列出梁的剪力方程和弯矩方程梁在C截面处有集中力作用，故AC段和CB段的内力方程不同，需要分段列出。上一页返回下一页第二节梁弯曲时的内力(3)画出剪力图和弯矩图由AC段和CB段的剪力方程可知，AC段梁的剪力图是一条在x轴上方的水平直线，CB段梁的剪力图是一条在x轴下方的水平直线，梁的剪力图如图3-20(b)所示。由AC段和CB段的弯矩方程可知，两段梁的弯矩图均为斜直线。在每段上计算两端截面的M值，可画出梁的M图，如图3-20(c)所示。画内力图的步骤可归纳为:(1)求支座的约束力(悬臂梁可以不求)(2)分段列剪力、弯矩方程:集中力、集中力偶作用处和分布载荷的起、止点为分界点。(3)画剪力图和弯矩图上一页返回下一页第二节梁弯曲时的内力AC段；BC段；上一页返回下一页第二节梁弯曲时的内力由内力方程判断内力图的形状，再计算各分界点的内力值(这些点所在截面称为控制截面)，最后画出内力图。根据以上例题，可总结出剪力图、弯矩图的规律在集中力偶作用的截面上，剪力图无变化，弯矩图发生突变，突变值等于集中力偶的矩。当集中力偶为顺时针时，自左向右弯矩图向上突变;反之，则向下突变。无载荷作用的梁段，剪力等于常数，剪力图为水平线，弯矩图为针直线，当剪力为正时，弯矩图针向右上方;当剪力为负时，弯矩图针向右下方。在集中力作用的截面上，剪力图发生突变，突变值等于集中力的大小，自左向右突变的方向与集中力的指向相同，弯矩图出现尖点。

上一页返回下一页第二节梁弯曲时的内力均布载荷作用的梁段，剪力图为针直线(其针率等于均布载荷的集度)，弯矩图为二次抛物线。当均布载荷向上作用时，从左向右剪力图为上针的直线，弯矩图为下凸线的二次抛物线;当均布载荷向下作用时，从左向右剪力图为下针的直线，弯矩图为上凸线的二次抛物线在剪力等于零的截面上，弯矩为极值上一页返回下一页第二节梁弯曲时的内力利用以上规律，既可以校核内力图是否正确，也可以不列内力方程而直接画出内力图。画图的方法是:先求出梁支座的约束力，根据外力作用情况将梁分段，并定性判断各段剪力图和弯矩图的形状，计算控制截面(分界点、剪力为零的点所在截面)的剪力值和弯矩值，画出剪力图和弯矩图。这种画剪力、弯矩图的方法，称为控制截面法。【例3-10】试用控制截面法画出图3-23(a)所示梁的内力图。解(1)求支座反力上一页返回下一页第二节梁弯曲时的内力(2)分段，并判断各段FQ、M图的大致形状:梁应分AC,CB,BD段:(3)计算控制截面的FQ、M值，画剪力图和弯矩图计算控制截面的FQ,M值:上一页返回第三节圆轴扭转式的内力一、外力偶矩的计算作用于传动轴上的外力偶矩一般并不直接给出，而是根据轴的转速和轴传递的功率来确定，其计算公式如下:在确定外力偶矩的转向时应注意，轴上主动轮的输入功率所产生的力偶矩为主动力偶矩，其转向与轴的转向相同;而从动轮的输出功率所产生的力偶矩为阻力偶矩，其转向与轴的转向相反返回下一页第三节圆轴扭转式的内力二、扭矩圆轴扭转时的内力仍用截面法分析。如图3-26(a)所示受扭圆轴，假想将轴沿欲求内力的截面m-m截为两段，由于轴原来处于平衡，则其任一段也处于平衡。任取一段为研究对象，根据力偶只能与力偶平衡，m-m截面上的内力必须合成为一个力偶才能与外力偶M平衡。横截面上的内力偶矩T，称为轴的扭矩。它的大小由平衡条件确定，若取左段为研究对象，如图3-26(b)所示，则若取右段为研究对象，求得的同一截面的扭矩大小相等，转向相反，如图3-26(c)上一页返回下一页第三节圆轴扭转式的内力三、扭矩图的基本概念为形象地表示扭矩随截面位置变化的情况，画出扭矩沿轴线变化的图线，称为扭矩图。当杆件上作用有多个外力偶矩时，为了表现沿轴线各横截面上扭矩的变化情况，从而确定最大扭矩及其所在位置，可仿照轴力图的做法来绘制扭矩图。【例3-12】轴如图3-28(a)所示。已知A轮的输入功率为PA=22.5kW,B,C轮分别输出功率为PA=9kW,PA=13.5kW，轴的转速为n=960r/min。试作轴的扭矩图。解(1)计算外力偶矩上一页返回下一页第三节圆轴扭转式的内力(2)计算各轴段截面上的扭矩上一页返回下一页第三节圆轴扭转式的内力(3)画扭矩图，如图3-28(b)所示。由扭矩图可知，轴的最大扭矩上一页返回图3-1支架

返回图3-2轴向拉伸返回图3-3轴力返回图3一5等截面直杆返回图3一5等截面直杆返回图3-7轴向伸长变形示意图返回图3-8等截面直杆返回图3-8等截面直杆返回图3-12静定梁的基本形式返回图3-13梁的对称轴返回图3-14纵向对称面返回图3-15剪刀与弯矩返回图3-15剪刀与弯矩返回图3-16剪力的正负返回图3-17弯矩的正负返回图3-18悬臂梁返回图3-20简支梁返回图3-20简支梁返回图3-23返回图3-26扭矩返回图3-28轴返回图3-28轴返回第四章材料的强度与变形第一节杆件拉伸式的强度与变形第二节圆轴扭转时的强度与变形第三节梁的强度和变形第一节杆件拉伸式的强度与变形一、强度条件为了保证构件安全工作，构件横截面上的工作应力不能超过材料的许用应力。这一条件称为强度条件。拉压杆的强度条件为返回下一页第一节杆件拉伸式的强度与变形【例4-1】某油压机的液压缸如图4-1所示。已知缸内工作油压p=10.5MPa，油缸内径D=200mm，活塞杆直径d=44mm，活塞杆材料的许用应力为[σ]=316MPa，试校核活塞杆的强度。解(1)计算活塞杆的轴力(2)校核强度故活塞杆强度足够上一页返回下一页第一节杆件拉伸式的强度与变形【例4-4】用绳索起吊钢筋混凝土管，如图4-4(a)所示，管子的重量W=10kN绳索的直径d=40mm，容许应力[σ]=10MPa，试校核绳索的强度。解(1)计算绳索的轴力以混凝土管为研究对象，画出其受力图如图4-4(b)所示，根据对称性易知左右两段绳索轴力相等，记为N1，根据静力平衡方程有计算得上一页返回下一页第一节杆件拉伸式的强度与变形(2)校核强度故绳索满足强度条件，能够安全工作。上一页返回下一页第一节杆件拉伸式的强度与变形二、拉压杆的变形和应变杆件在轴向外力作用下，杆的长度和横向尺寸都将发生改变，将杆件沿轴线方向的伸长(或缩短)量，称为轴向变形或纵向变形，将杆件横向尺寸的缩短(或伸长)量，称为横向变形。如图4一5(a)、(b)所示圆截面等直杆，设杆原长为l，直径为d，截面面积为A，在轴向外力F作用下，杆长由l变为l1，直径由d变为d1，则杆件的轴向变形为横向变形为上一页返回下一页第一节杆件拉伸式的强度与变形杆件拉伸时，△l为正，△d为负;压缩时，△l是为负，△d为正。△l与△d均为杆件的绝对变形，其大小与原尺寸有关，为了准确地反映杆件的变形情况，消除原尺寸的影响，需要计算单位长度的变形量即相对变形，称为线应变。对于轴力为常量的等截面直杆，杆的纵向变形沿轴线均匀分布，故其轴向线应变为横向线应变为上一页返回第二节圆轴扭转时的强度与变形一、圆轴扭转时横截面上的应力1.变形现象及假设在研究了圆轴扭转时的扭矩后，下面研究圆轴扭转时横截面上的应力。先从观察圆轴的扭转变形着手，取一等截面圆轴，将左端固定，并在圆轴表面划出一组平行于轴线的纵向线和一组表示圆截面的圆周线，如图4-6(a)所示。在轴的右端面作用一力偶使其变形，如图4-6(b)所示。在小变形的情况下可以看到:各圆周线的形状、大小及间距均无变化，但绕轴线转动了不同的角度。各纵向线仍近似为直线，只是倾针了同一角度γ，如图4-6(c)所示。返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形由此可得下面结论:由于相邻横截面间距不变，故横截面上没有正应力;由于相邻横截面产生绕轴线的旋转错动，故横截面上有切应力;由于圆周线半径不变，故横截面上切应力的方向垂直于半径。2.横截面的应力可以证明，横截面上任一点的切应力计算公式为由上式可见:各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，其分布规律如图4-7(b)所示上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形显然，圆轴扭转时，横截面边缘上各点的切应力最大，其值为若令则轴的最大切应力τmax上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形3.圆轴截面的极惯性矩Ip，和抗扭截面系数Wp

极惯性矩Ip与抗扭截面系数Wp表示了截面的儿何性质，其大小与截面的形状和尺寸有关。其横截面如图4-8所示它们的极惯性矩和抗扭截面系数按下式计算:(l)实心圆轴设直径为D，则上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形(2)空心圆轴设外径为D，内径为d,α=π/D，则上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形【例4-5】如图4-9所示，等截面实心圆轴受一对外力偶作用发生扭转时，横截面上的扭矩T=500N·m,横截面的直径D=50mm。试求该截面上A点(σA=20mm)的切应力及轴的最大切应力。解该截面上A点的切应力得因该轴是等截面轴，故最大切应力发生在最大扭矩所在轴段截面的外边缘上，可得上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形二、圆轴扭转的强度条件和应用与轴向拉(压)杆的强度计算相类似，圆轴扭转时的强度条件是最大工作切应力小于或等于材料的许用切应力「τ]，即圆轴扭转时材料的许用切应力「τ]值是根据试验确定的，可查阅有关设计手册。它与许用拉应力有如下关系:塑性材料脆性材料上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形圆轴类零件由于考虑到动载荷等原因，许用切应力的值一般较静载荷作用下的许用拉应力值要低。应用圆轴的扭转强度条件(式4-13)，可以进行强度校核、设计截面尺寸、确定许可载荷三类问题的计算。【例4-6】传动轴为实心圆轴，轴径D=50mm，材料的许用切应力「τ]=100MPa当主动轮A在轴一端和主动轮A在两从动轮之间时，分别校核此轴的强度。解(1)当主动轮A在轴一端时，|T|=2865N·m上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形(2)当主动轮A在两从动轮之间时，|T|=1910N·m三、圆轴扭转的变形及应用1.圆轴扭转时的变形圆轴扭转时，任意两截面的相对转角甲，称为扭角，它反映了扭转变形的大小。由观察到的圆轴扭转变形可以看出:两横截面相距越远，它们的相对扭角越大，如图4-13所示。上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形与轴向拉(压)杆的变形相类似，可以证明:等直圆轴的扭角φ的大小与扭矩T及轴的长度L成正比;与横截面的极惯性矩IP成反比。引人比例常数G，有由此可见，当扭矩T及杆长L一定时，GlP>越大，扭角φ就越小，GlP反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为轴的抗扭刚度。如果两截面之间的扭矩值有变化或直径不同，则应分段计算出相应各段的扭角，然后叠加。工程中常用单位长度扭角φ’来度量扭转变形的程度，即上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形2.圆轴扭转的刚度条件及应用为了保证轴安全正常地工作，除要满足强度条件外，还要求轴不产生过大扭转变形。对轴的扭转变形必须加以限制，也就是要满足刚度条件，即上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形[例4-10]如图4-14所示传动轴为实心圆轴，已知B轮输人转矩MB=1432.5N.m,A轮输出转矩MA=620.8N.m，轴材料的许用切应力「τ]=60MPa，单位长度许可扭角切变模量G=80GPa。试设计该轴的直径。解(1)计算最大扭矩上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形(2)根据强度条件设计轴径取D=42mm(3)校核刚度。上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形3.提高圆轴强度和刚度的措施(1)提高圆轴强度的措施减小最大扭矩Tmax采用合理截面(2)提高圆轴刚度的措施由圆轴的刚度条件上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形扭角φ与扭矩T成正比，与轴的抗扭刚度GIP成反比。降低轴的最大扭矩Tmax，增大抗扭刚度GIP，均可使扭转变形的扭角减小，从而达到提高轴的抗扭刚度的目的。采用极惯性矩IP较大的截面形状，增大GIP，可以使圆轴的变形减小。选用G值较大的材料也可提高轴的刚度，但材料的选择常常不只是从提高刚度来考虑，由于各种钢材的G值很接近，如果选用优质钢材来提高轴的刚度，则增加成本，经济性较差。上一页返回第三节梁的强度和变形一、梁横截面的正应力(纯弯曲)一般情况下，梁弯曲变形时，横截面上既有剪力又有弯矩的弯曲称横力弯曲(剪切弯曲)。若梁的某一截面或某段仅有弯矩，剪力为零的弯曲称为纯弯曲。1.纯弯曲时横截面的正应力分析梁弯曲时横截面的应力，取一矩形截面梁，在梁的表面上作出与梁轴线平行的纵向线aa,bb和与纵向线垂直的横向线nn,qq，如图4-15(a)所示，分别代表平行于梁轴线的纵向纤维和横截面的边枢线。然后，在梁两端施加一对位于纵向对称面的力偶，使梁发生纯弯曲变形，如图4-15(b)所示。返回下一页第三节梁的强度和变形由于变形的连续性，在凹凸边中间必有一层长度不变，这层称为中性层。中性层与横截面的交线，称为中性轴，如图4-16所示。可以证明，中性轴一定通过横截面的形心。变形时，横截面绕中性轴发生相对转动，中性轴上、下两侧，一侧受拉，另一侧受压。2.横截面上的应力经严密的推导(本书从略)，横截面上任一点的正应力计算公式为上一页返回下一页第三节梁的强度和变形由式(4-17)可得令可得上一页返回下一页第三节梁的强度和变形二、梁的合理截面及变截面梁1.梁的合理截面从梁的强度要求来看，根据强度条件所选择的梁截面尺J‘，仅仅在若干危险截面上的危险点有可能使其工作应力达到许用应力，而在其他危险截面及其危险截面上的非危险点处，其工作应力比许用应力低许多。在选择材料相同及外力不变的条件下，由正应力强度条件可知，若截面面积不变，抗弯截面模量较大者梁的承载能力高。另一方面，截面面积愈小，自重也小，引起的附加自重应力也小，还有利于安装和现场施工。一般地把梁的抗弯截面模量Wz与其横截面面积A之比作为选定合理截面形状的一个指标。在A不变的条件下，W愈大愈好。上一页返回下一页第三节梁的强度和变形矩形截面的Wz/A比值为截面的形状不同，Wz也就不同，叫见用比值Wz/A来衡量截面形状的合理与经济性具有叫可比性。

上一页返回下一页第三节梁的强度和变形合理性原则也可以从梁截面的正应力分布规律来说明。在中性轴附近，正应力较小，而在梁截面距中性轴愈远处，正应力愈大。这说明布置在中性轴附近的材料不能充分发挥它们的作用，而把材料布置在距中性轴愈远的地方，则愈能充分发挥它们的作用。这就是在工程实际中，经常采用工字形、圆环形、箱形等截面形式的力学原理，如图4-18(a)、(b)、(c)。上一页返回下一页第三节梁的强度和变形2.变截面梁梁的弯矩图直观地反映了弯矩沿梁轴线的变化情况，梁每一个截面上的最大正应力是随弯矩值变化而变化的;若在弯矩较大的梁段采用较大的截面，在弯矩较小的梁段采用较小的截面，就得到截面尺寸沿梁轴变化的变截面梁。这样可以达到优化截面、节省材料的目的。倘若能让梁的每一个截面上都能达到相等的最大正应力，且等于材料的许用正应力，此时变截面梁成为最理想的形式—等强度梁，由上一页返回下一页第三节梁的强度和变形得到截面的抗弯截面系数应满足下面以矩形截面等强度梁为例，说明如何确定W(x)，如图4-20。设简支梁跨度为l,梁上中点作用有集中荷载P,假设梁截面的宽度b=b0为常数，高度h=h(x)是可以沿轴线变化的，则距A端为x截面上的弯矩上一页返回下一页第三节梁的强度和变形抗弯截面系数为代人式(4-18)，则应有当x=0时，h(x)=0。很明显两端处的高度不能为零，利用该处的剪应力强度条件可以确定该处的最小高度hmin上一页返回下一页第三节梁的强度和变形由即可求得上一页返回下一页第三节梁的强度和变形三、梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件是:梁的最大弯曲正应力不超过材料的许用应力，即对抗拉和抗压性能相同的塑性材料(如碳钢)，其强度条件为上一页返回下一页第三节梁的强度和变形对抗拉性能与抗压性能不同的脆性材料(如铸铁)，应使最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力同时不超过材料的许用拉应力和许用压应力。即上一页返回下一页第三节梁的强度和变形[例4-11]如图4-22所示简支梁AB，跨度l=5m，受载荷集度为q=4kN/m的均布力作用。梁的材料为木材，木材顺纹许用应力[τ]=10MPa，梁的横截面为矩形，高度比h/b=2。试设计截面尺寸。解(1)画弯矩图，判断危险截面。最大弯矩在梁跨中点截面上，故为危险截面。最大弯矩值为(2)设计截面尺寸。由强度条件上一页返回下一页第三节梁的强度和变形由矩形截面抗弯截面系数上一页返回下一页第三节梁的强度和变形四、梁弯曲时的变形1.挠曲线及其方程梁发生弯曲变形时，梁的轴线由直线变为连续而光滑的曲线，称为挠曲线。挠曲线的函数表达式称为挠曲线方程，在图4-26所示坐标系中，挠曲线方程为w=f(x)2.梁变形的度量—挠度和转角挠度和转角是度量梁变形的两个基本物理量。如图4-26所示的悬臂梁为例，梁变形前任一横截面n-n的形心C，变形后移至C1点，CC1称为C点的挠度。略去C点沿轴线方向的位移，截面形心沿垂直于轴线方向的位移即该截面形心的挠度，以w表示。在图示坐标中，规定向上的挠度为正，向下的挠度为负。上一页返回下一页第三节梁的强度和变形3.变形表求梁的变形通过繁杂的数学运算，可得梁在各种载荷作用下变形。现将梁在常见的简单载荷作用下的变形列于变形表4-2中。表中EI为梁的抗弯刚度，反映梁抵抗弯曲变形的能力。【例4-15】若已知标准双杠的抗弯刚度EI，运动员的重量W，双杠尺寸，求运动员在外伸端和双杠中点时的最大挠度。解(1)运动员在外伸端时，如图4-28(a)所示，查相关表知外伸端挠度最大。上一页返回下一页第三节梁的强度和变形(2}当运动员位于双杠中点时，如图428(b)所示，查表知故当运动员位于外伸端时梁的挠度最大上一页返回下一页第三节梁的强度和变形五、提高梁弯曲强度的措施提高梁的强度，就是要在安全性能好、材料消耗少的前提下，尽可能提高梁的承载能力。由梁的正应力强度条件上一页返回下一页第三节梁的强度和变形1.减小最大弯矩(1)合理配置支座AB梁受均布力作用，若采用图4-29(a)所示的支座配置，则最大弯矩为若将两端支座各向里移动0.2L，如图4-29(b)所示，则最大弯矩为上一页返回下一页第三节梁的强度和变形(2)合理配置载荷承受集中力作用的简支梁，力F作用于梁的中点时，如图4-31(a)所示，则最大弯矩值Mmax=FLl4;若载荷靠近支座作用，如图4-31(b)所示，则Mmax=5FL