湖南省长沙市开福区立信中学2025-2026学年八年级（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省长沙市开福区立信中学八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（）A. B.

C. D.2.人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（）A.1.56×10-5 B.0.156×10-5 C.1.56×10-6 D.15.6×10-73.下列计算正确的是（）A. B. C. D.4.如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（）A.2，3，4 B.，3，5 C.5，12，13 D.6，8，95.已知a+b=5，ab=3，则a2+b2=（）A.19 B.28 C.25 D.226.如图，在▱ABCD中，AB=6，若AC⊥BD，则▱ABCD的周长为（）A.12

B.24

C.30

D.367.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为斜边BC中点，AD=3，则BC的长为（）A.2.5 B.4 C.6 D.108.元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共直钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文.问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，则下列方程正确的为（）A.

B.

C.

D.9.在△ABC中，它的底边是a，底边上的高是h，则三角形面积S=ah，当a为定长时，在此式中（）A.S，h是变量，与a是常量 B.S，h，a是变量，是常量

C.a，h是变量，与S是常量 D.S是变量，与a，h是常量10.已知关于x的方程的解是x=1，则a的值为（）A.2 B.1 C.-1 D.-2二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.在函数中，自变量x的取值范围是

.12.分解因式：m2-9m=

．13.已知xm=3，xn=4，则xm+n的值是

.14.校园里栽下一棵1.8米高的小树，以后每年生长0.3米，n年后的树高L与年数n之间的函数关系式是

.15.如图，小华同学想测量池塘A，B两处之间的距离.他先在A，B外选一点C，然后找出AC，BC的中点为D，E，测得DE=15m,则A，B之间的距离为

m.

16.如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S3+S2-S1=20，则图中阴影部分的面积为

.

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

计算：.18.(本小题8分)

先化简，再求值：，其中.19.(本小题8分)

如图，△ABC中，∠C=90°.

​​​​​​​

（1）尺规作图：作边BC的垂直平分线，与边BC，AB分别交于点D和点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）若点E是边AB的中点，AC=BE，求证：△ACE是等边三角形.20.(本小题8分)

为了解七年级学生的计算能力，学校随机抽取了m位学生进行数学计算题测试.王老师将成绩进行统计后分为“优秀”“良好”“一般”“较差”“很差”五个等级，并将收集整理后的数据绘制成如下两幅不完整的统计图.

（1）此次调查方式属于______；（填“普查”或“抽样调查”）

（2）m=______，扇形统计图中表示“较差”的扇形的圆心角度数为______.

（3）补全条形统计图；

（4）若该校七年级有2400人，估计七年级得“优秀”的学生人数.21.(本小题8分)

已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB和CD的中点.

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）连接AC，当AC与BC满足怎样关系时，四边形AECF为矩形，并说明理由.22.(本小题8分)

“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示：燃油车新能源车油箱容积：50L电池容量：80kW•h油价：8元/L电价：0.6元/kW•h续航里程：a千米续航里程：a千米每千米行驶费用：元每千米行驶费用：_____元根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.55元(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用

元(2)分别求出这两款车的每千米行驶费用(3)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）23.(本小题8分)

如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED.

（1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）若AB=2，当四边形OCED是正方形时，求OC的长；

（3）若BD=3，∠ACD=30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，求PE+PQ的最小值.24.(本小题8分)

阅读下列材料：

材料一：已知平面直角坐标系内两点M（x1，y1），N（x2，y2），则这两点间的距离可用下列公式计算：，例如：已知P（5，1），Q（3，-2），则这两点间的距离为．

材料二：我们把a2+b2≥2ab叫做“均值不等式”．该不等式的推导过程如下：∵（a-b）2≥0，∴a2-2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab.该不等式还可以根据不等式的性质进行变形，如：∵a2+b2≥2ab,∴a2+b2+2ab≥4ab,∴．根据上述材料，完成下列题目：(1)已知A（1，3），B（2，5），则AB=

(2)如图①，在平面直角坐标系中，点O是原点，四边形OABC是平行四边形，且A（a,b），C（c,0）．

①OB=______；

②连接AC，OB．求证：AC2+OB2=2（OA2+OC2）(3)如图②，AD是△OAB的中线，若BO=4，AD=2，求△OAB周长的最大值．

25.(本小题8分)

【问题背景】在几何学习中，我们常研究共顶点的两个正方形构成的图形．如图，已知正方形ABCD和正方形CEFG有一个公共顶点C，点E在正方形ABCD外部，连接AF，取AF的中点P，连接BP，EP．

【特殊位置探究】(1)如图①，将正方形CEFG绕点C旋转，使得点G落在边DC的延长线上，延长BP交EF于点Q，证△ABP≌△FQP．则△EQB是

三角形，BP和EP的数量关系是

，BP和EP的位置关系是

．

【一般情形拓展】(2)如图②，将正方形CEFG绕点C旋转任意角度（点E、F不与正方形ABCD的边重合），点P仍为AF的中点．问：线段BP和EP是否仍然保持（1）中的数量关系与位置关系？请证明你的结论．

【迁移运用】(3)若将正方形CEFG绕点C顺时针旋转45°时，CE边恰好平分线段AF，请求出的值

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】x≠1

12.【答案】m（m-9）

13.【答案】12

14.【答案】L=0.3n+1.8

15.【答案】30

16.【答案】5

17.【答案】解：原式=×+1+3+-1

=3+1+3+-1

=4+3．

18.【答案】解：

=•

=•

=x+1，

当时，原式=-1+1=．

19.【答案】（1）解：如图所示，直线DE即为所求；

（2）证明：∵点E是边AB的中点，

∴AE=BE，

∵DE是BC的垂直平分线

∴CE=BE

∵AC=BE，

∴AC=AE=CE，

∴△ACE是等边三角形．

20.【答案】抽样调查

80

67.5°

21.【答案】见解析；

当AC=BC时，四边形AECF为矩形，理由见解析．

22.【答案】【小题1】【小题2】由题意得，

解得a=640，

经检验，a=640是原方程的解，且符合题意；

∴，，

∴燃油车每千米的行驶费用为0.625元，新能源车每千米的行驶费用为0.075元【小题3】若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，

设每年行驶的里程为m千米，

则：0.075m+7300＜0.625m+4000，

0.55m＞3300

解得m＞6000，

答：每年行驶里程大于6000千米时，新能源车的年费用更低

23.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC与BD相等且互相平分，

∴OC=OD，

∵△COD关于CD的对称图形为△CED，

∴OD=ED，EC=OC，

∴OD=ED=EC=OC，

∴四边形OCED是菱形．

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB=2．

∵四边形OCED是正方形，

∴∠COD=90°．

在直角△COD中，由勾股定理得：

OC²+OD²=2²，

∵OD=OC，

∴OC=；

（3）解：作OQ⊥CE于Q，交CD于P，如图所示：

此时PE+PQ的值最小为；理由如下：

∵△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED，

∴∠DCE=∠DCO，PE=PO，

∴PE+PQ=PO+PQ=OQ，

∵AC=BD=3，

∴OC=OD=，

∴∠DCO=∠ACD=30°，

∴∠DCE=30°，

∴∠OCQ=60°，

∴∠COQ=30°，

∴CQ=OC=，OQ=CQ=，

即PE+PQ的最小值为．

24.【答案】【小题1】【小题2】①；②连接AC，OB，过点A，B作AE⊥OC，BF⊥OC，垂足分别为E，F，

∵∠AEC=∠BFO=90°，

∵四边形OABC是平行四边形，

∴AB∥OC，

∴∠EAB=∠ABF=90°，

∴四边形AEFB是矩形，

∴AB=EF，AE=BF，

∵AB=OC，

∴EF=OC，

∴AC2=AE2+CE2，OB2=OF2+BF2，

∴AC2+OB2=AE2+CE2+（EF+OE）2+BF2，即AC2+OB2=AE2+CE2+EF2+OE2+2EF•OE+AE2，

∴AC2+OB2=AE2+CE2+OC2+OE2+AE2+2OC•OE，

∵CE2=（OC-OE）2=OC2+OE2-2OC•OE，

∴AC2+OB2=AE2+OC2+OE2-2OC•OE+OC2+OE2+AE2+2OC•OE，

∴AC2+OB2=2（AE2+OE2）+2OC2=2（OA2+OC2）【小题3】解：分别过点B，O作AO，AB的平行线交于点E，连接DE，

则四边形AOEB是平行四边形，

∴AB=OE，AO=BE，AE与BO互相平分，

∵AD是△OAB的中线，

∴A，D，E三点共线，

∴AE=2AD=4，

∵BO=4，

由（2）②可得：AE2+BO2=2（AB2+BE2）=2（AB2+AO2），

∴AB2+AO2=16，

∵（AB-AO）2≥0，

∴AB2+AO2-2AB•AO≥0，

∴AB2+AO2≥2AB•AO，

∵AB2+AO2=（AB+AO）2-2AB•AO=16，

∴（AB+AO）2≤16+（AB2+AO2）=32，

∴，即，

∵AB＞0，AO＞0，

∴，

∴△OAB周长：，

∴△OAB周长的最大值为

25.【答案】【小题1】等腰直角EP=BPEP⊥BP【小题2】线段BP和EP仍然保持（1）中的数量关系与位置关系；

证明：如图②，延长BP至点Q，使PQ=BP，连接FQ并延长交BC的延长线于点H，

∵P是AF的中点，

∴AP=PF，

在△ABP和△FQP中，

，

∴△ABP≌△FQP（SAS），

∴AB=QF，

在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，AB∥DC，

∴BC=QF，∠H=∠ABC=90°，

在正方形CEFG中，EC=EF，∠CEF=90°，

在四边形CHFE中，∠H=90°，∠CEF=90°，

∴∠ECH+∠EFQ=360°-90°×2=180°，

∴∠ECB=∠EFQ，

在△ECB和△EFQ中，

，

∴△ECB≌△EFQ（SAS），

∴EB=EQ，∠BEC=∠QEF，

∴△BEQ是等腰直角三角形，

∵∠BEQ=∠BEC+∠CEQ

=∠QEF+∠CEQ

=∠CEF

=90°，

又∵BP=PQ，

∴EP⊥BP，EP=BQ=BP【小题3】设正方形ABC