期末综合测试（含答案） 2026-2027学年数学人教版九年级上册

期末综合测试(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个运动项目图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的是().eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))2．已知(a－5)x|a|-3－4x－1＝0是关于x的一元二次方程，则a满足().A．a≠5 B．a＝－5C．a＝5 D．a＝5或－53．已知点(－1，a)，(2，b)，(3，c)在反比例函数y＝eq\f(k,x)(k>0)的图象上，则下列判断正确的是().A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．c<b<a4．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转40°得到△DBE.若AB⊥DE，则∠A的度数为().A．50° B．45°C．40° D．35°5．如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝120°，B是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，则∠D的度数是().A．60° B．35°C．30.5° D．30°6．下表给出了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的自变量x与函数y的一些对应值，则下列说法正确的是().x…－2－1012…y…－50343…A．对称轴为x＝－1B．当x＝3时，y＝－5C．当x＜eq\f(1,2)时，y随x的增大而增大D．此函数有最小值47．如图1，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为4cm，瓶内液体超过一半，最大深度CD＝6cm，则截面圆中弦AB(图2)的长为().eq\o(\s\up7(),\s\do5(图1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图2))A.5cm B．2eq\r(3)cmC．6cm D．4eq\r(3)cm8．如图，有一块长28m，宽10m的矩形草坪，其中阴影部分是修建的小路．若草坪的面积是243m2，设小路的宽度为xm，根据题意，下面所列方程正确的是().A．28×10－28x－10x＝243B．2(28－x＋10－x)＝243C．(28－x)(10－x)＋x2＝243D．(28－x)(10－x)＝2439．小丽在公园里荡秋千，起始位置为A处，摆绳OA与地面垂直，摆绳长2m，向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3m，摆动水平距离BD为1.6m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是().A．0.9m B．1.3mC．1.6m D．2m10．已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝3x2＋bx＋1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是().A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)11．若点P(m，5)与点Q(－3，n)关于原点对称，则m＋n的值是________．12．若关于x的一元二次方程x2＋kx＋9＝0有两个相等的实数根，则k的值是________．13．图1为传统建筑中一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，则∠AMB＝________°.eq\o(\s\up7(),\s\do5(图1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图2))14．如图，点A的坐标是(－2，0)，点B的坐标是(0，6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC′.若反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象恰好经过A′B的中点D，则k的值是________．15．欧几里得的《几何原本》中记载，形如x2＋ax＝b2(a＞0，b＞0)的方程的图解法如下：如图，以eq\f(a,2)和b为两直角边长作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝eq\f(a,2)，则AD的长就是所求方程的正根．利用以上方法解关于x的一元二次方程x2＋mx＝36时，若构造后的图形满足AD＝2BD，则m的值为________．三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)16．解下列方程：(1)4x2＝(x＋2)2；(2)x2＋2x－1＝0.17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4).(1)请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；(2)请画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后的△AB2C2；(3)在△ABC旋转到△AB2C2的过程中，点C经过的路径长度为________．18．如图，已知A(－3，2)，B(n，－3)是一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝eq\f(m,x)的图象的两个交点．(1)求反比例函数的解析式；(2)连接OA，OB，求△AOB的面积．四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)19．某兴趣小组接到美化校园一角的任务．如图，同学们计划借助直角墙角∠BAD(两边足够长)围成一个矩形花园ABCD，并在CD上留宽为1m的门．同学们购买了35m长的篱笆．设AB＝xm，花园的面积为Sm2.(1)当S＝288时，求x的值；(2)如图，点P处有一棵树与墙AD的距离是20m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积的最大值．20．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AC平分∠BAD，且AD⊥CD，垂足为D.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD＝4，CD＝2，求⊙O的半径．21．【项目式学习】项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．实验过程：如图，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x(单位：s)、运动速度v(单位：cm/s)、滑行距离y(单位：cm)的数据．【数据收集】记录的数据如下．运动时间x/s0246810…运动速度v/(cm·s-1)1098765…滑行距离y/cm01936516475…【数据分析】观察分析发现，小球运动速度v(单位：cm/s)与运动时间x(单位：s)满足关系式v＝kx＋b1.小球滑行距离y(单位：cm)与运动时间x(单位：s)满足关系式y＝ax2＋b2x.(1)填空：k＝________，b1＝________，b2＝________．【问题解决】(2)当小球在水平木板上停下来时，求小球的滑行距离．(3)当小球到达木板点A的同时，在点A的前方40cm处有一辆电动小车，以4cm/s的速度匀速向右直线运动，则小球会不会撞上小车？并说明理由．五、解答题(三)(本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分)22．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx－2的图象过点A(1，t)，B(2，t)，函数的最大值为1－eq\f(3,4)a2.(1)求eq\f(b,a)的值；(2)求该二次函数的解析式；(3)若m，n是一元二次方程ax2＋bx－2＝0的两个实数根，求m2－4m－n的值．23．【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦)，BC＞AB，M是eq\o(ABC,\s\up8(︵))的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB＋BD.下面是运用“截长法”证明CD＝AB＋BD的部分过程．(1)证明：如图2，在BC上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG.因为M是eq\o(ABC,\s\up8(︵))的中点，所以MA＝MC.……请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．eq\o(\s\up7(),\s\do5(图1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图2))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图3))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图4))【实践应用】(2)如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是eq\o(ACB,\s\up8(︵))的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为________________．(3)如图4，已知等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为eq\o(AB,\s\up8(︵))上一点，连接DB，∠ACD＝45°，AE⊥CD，垂足为E，△BDC的周长为eq\f(13,2)，BC＝2，请求出AC的长．参考答案一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.A2.B3.B4.A5.D6.C7.D8.D9.A10.A二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)11.－212.±613.4514.1515.3eq\r(2)三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)16.(1)因为4x2＝(x＋2)2，所以4x2－(x＋2)2＝0，所以[2x－(x＋2)][2x＋(x＋2)]＝0，所以(x－2)(3x＋2)＝0，所以x－2＝0，或3x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝－eq\f(2,3).(2)因为x2＋2x－1＝0，所以(x＋1)2－2＝0，所以(x＋1)2＝2，所以x＋1＝eq\r(2)，或x＋1＝－eq\r(2)，解得x1＝eq\r(2)－1，x2＝－eq\r(2)－1.17.(1)△A1B1C1如图所示．C1(－3，－4)(2)△AB2C2如图所示．(3)因为点C的坐标为(3，4)，点A的坐标为(1，1)，所以AC＝eq\r((4－1)2＋(3－1)2)＝eq\r(13)，所以eq\o(CC2,\s\up8(︵))的长度为eq\f(90×π×\r(13),180)＝eq\f(\r(13)π,2)，即点C经过的路径长度为eq\f(\r(13)π,2).故答案为：eq\f(\r(13)π,2)18.(1)因为点A(－3，2)在反比例函数y＝eq\f(m,x)的图象上，所以m＝－3×2＝－6，所以反比例函数的解析式为y＝－eq\f(6,x).(2)因为点B(n，－3)在反比例函数y＝－eq\f(6,x)的图象上，所以n＝2.因为点A(－3，2)，B(2，－3)都在一次函数y＝kx＋b的图象上，分别代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3k＋b＝2，,2k＋b＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝－1，))所以一次函数的解析式为y＝－x－1.设直线y＝－x－1与y轴交于点C，如图，所以点C的坐标为(0，－1)，所以OC＝1.因为点A的坐标为(－3，2)，点B的坐标为(2，－3)，所以S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝eq\f(1,2)OC·|xA|＋eq\f(1,2)OC·|xB|＝eq\f(1,2)OC(|xA|＋|xB|)＝eq\f(1,2)×1×(3＋2)＝eq\f(5,2).四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)19.(1)因为四边形ABCD为矩形，所以AB＝CD＝x.由题可知，BC＋CD＝35＋1＝36，所以BC＝36－x.所以S＝x(36－x).当S＝288时，即288＝x(36－x),解得x1＝12，x2＝24.答：x的值为12或24.(2)将S＝x(36－x)变形为S＝－(x－18)2＋324.由函数解析式可知，S关于x的二次函数图象开口向下，当x>18时，S随x的增大而减小.因为x≥20，所以当x＝20时，S最大.把x＝20代入S＝x(36－x)，得S＝320.答：花园面积的最大值为320m2.20.(1)【证明】如图，连接OC.因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠OCA.因为AC平分∠BAD，所以∠DAC＝∠CAB＝∠OCA，所以AD∥OC.因为AD⊥CD，所以OC⊥CD.又因为OC是⊙O的半径，所以CD是⊙O的切线．(2)【解】如图，过点O作OE⊥AD，垂足为E，所以∠OED＝∠EDC＝∠DCO＝90°，所以四边形OEDC是矩形，所以OE＝CD＝2，DE＝OC，所以AE＝AD－DE＝4－OC＝4－OA.在Rt△AEO中，根据勾股定理，得OA2＝AE2＋OE2，所以OA2＝(4－OA)2＋22，解得OA＝eq\f(5,2)，即⊙O的半径为eq\f(5,2).21.(1)当x＝0时，v＝b1＝10.把b1＝10，x＝2，v＝9代入v＝kx＋b1，得9＝2k＋10，解得k＝－eq\f(1,2)，则v＝－eq\f(1,2)x＋10.因为x＝2时，y＝19，x＝4时，y＝36，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(19＝4a＋2b2，,36＝16a＋4b2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,4)，,b2＝10，))则y＝－eq\f(1,4)x2＋10x.故答案为：－eq\f(1,2)1010(2)由v＝－eq\f(1,2)x＋10，当v＝0时，即0＝－eq\f(1,2)x＋10，解得x＝20.把x＝20代入y＝－eq\f(1,4)x2＋10x，得y＝－eq\f(1,4)×202＋10×20＝100(cm).故当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为100cm.(3)小球不会撞上小车．理由如下：小球滑行距离y＝－eq\f(1,4)x2＋10x，小车行驶距离s＝4x.若小球能撞上小车，则－eq\f(1,4)x2＋10x＝4x＋40，整理，得－eq\f(1,4)x2＋6x－40＝0，Δ＝62－4×(－eq\f(1,4))×(－40)＝－4<0，所以此方程无解，故小球不会撞上小车．五、解答题(三)(本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分)22.(1)因为二次函数y＝ax2＋bx－2的图象过点A(1，t)，B(2，t)，所以对称轴为x＝eq\f(1＋2,2)＝1.5＝－eq\f(b,2a)，所以eq\f(b,a)＝－3.(2)因为二次函数y＝ax2＋bx－2的最大值为1－eq\f(3,4