10.1.1 平方根 教学教学课件 -2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版八年级上册10.1.1平方根专项练习核心知识点梳理1.平方根定义：如果一个数的平方等于a（a≥0），那么这个数叫做a的平方根。正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。2.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作√a，0的算术平方根是0，算术平方根具有非负性（√a≥0）。3.核心公式：(√a)²=a（a≥0），√a²=|a|，熟练区分平方根与算术平方根是解题关键。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列数中，没有平方根的是（）A.0B.(-3)²C.-16D.252.81的平方根是（）A.9B.±9C.3D.±33.√16的平方根是（）A.4B.±4C.2D.±24.若一个正数的平方根是2m-1和m+4，则m的值为（）A.-1B.1C.-3D.35.下列说法正确的是（）A.平方根等于本身的数是1和0B.算术平方根等于本身的数是0和1C.√(-4)²=-4D.5的平方根是√5二、填空题（每题4分，共20分）6.49的算术平方根是______，0.36的平方根是______。7.若√x=5，则x=______；若x²=(-7)²，则x=______。8.一个正数的两个平方根分别为a+3和2a-15，这个正数是______。9.若√(x-2)有意义，则x的取值范围是______。10.已知√a-2+(b+3)²=0，则a+b=______。三、解答题（共60分）11.求下列各数的平方根和算术平方根（16分）（1）121（2）0.64（3）9/25（4）(-8)²12.计算下列各式的值（16分）（1）√196（2）-√0.09（3）±√144/169（4）√(-11)²13.已知一个正数的两个平方根分别为3a-5和7-a，求这个正数的值（14分）14.已知√x-3+|y-4|=0，求x+y的平方根（14分）参考答案与解析选择题：1.C（负数无平方根）2.B（正数有两个互为相反数的平方根）3.D（√16=4，4的平方根为±2）4.A（互为相反数的平方根和为0，2m-1+m+4=0，解得m=-1）5.B（A平方根为本身只有0；C√(-4)²=4；D5的平方根为±√5）填空题：6.7，±0.67.25，±78.49（a+3+2a-15=0，a=4，平方根为±7，正数为49）9.x≥2（被开方数非负）10.-1（非负数和为0，各项均为0，a=2，b=-3）解答题：11.（1）平方根±11，算术平方根11（2）平方根±0.8，算术平方根0.8（3）平方根±3/5，算术平方根3/5（4）平方根±8，算术平方根812.（1）14（2）-0.3（3）±12/13（4）1113.由题意得3a-5+7-a=0，解得a=-1，平方根为-8和8，正数为6414.由非负性得x=3，y=4，x+y=7，平方根为±√7（字数：1232）华东师大版（新教材）数学八年级上册10.1.1平方根授课教师：.

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8年级（

）班.

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2026/9/30

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第10章数的开方1．了解一个数的平方根与算术平方根的意义,会用根号表示一个数的平方根、算术平方根；2．了解开方与乘方是互逆运算,会利用这个逆运算关系求某些非负数的算术平方根；#幻灯片分页内容：10.1.1平方根##第1页：课题引入——逆向思维求“边长”-情境展示：-问题1：一个正方形花坛的边长为3米，它的面积是多少？（3×3=9平方米，引导学生回忆正方形面积公式：面积=边长×边长）；-问题2：一个正方形花坛的面积是16平方米，它的边长是多少？（设边长为x，則x×x=16，引导学生思考“哪个数的平方等于16”）。-提问引导：-已知一个数的平方，如何求这个数？-这样的数有几个？有什么特点？-课题：今天我们学习——平方根（板书课题），解决“已知平方求原数”的问题，掌握平方根的定义、性质和表示方法。##第2页：核心概念——平方根的定义-平方根的定义：-如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）。-符号表示：-正数a的平方根记作“±√a”，读作“正、负根号a”，其中“√”是平方根符号（根号），a叫做被开方数。-举例说明：-∵3²=9，(-3)²=9，∴3和-3都是9的平方根，记作±√9=±3；-∵0.5²=0.25，(-0.5)²=0.25，∴±0.5是0.25的平方根，记作±√0.25=±0.5。-关键强调：-被开方数a必须满足a≥0（因为任何数的平方都是非负数，负数没有平方根）。##第3页：平方根的性质——正数、0、负数的平方根情况-分情况讨论：1.正数的平方根：-性质：正数有两个平方根，它们互为相反数（一个正，一个负，绝对值相等）；-示例：16的平方根是±4，25的平方根是±5。2.0的平方根：-性质：0只有一个平方根，就是0本身；-示例：∵0²=0，∴√0=0。3.负数的平方根：-性质：负数没有平方根（因为任何数的平方都不可能是负数）；-示例：-4没有平方根，-9没有平方根。-口诀记忆：“正数两个根，互为相反数；0根只有0，负数没根找”。##第4页：平方根的计算——求一个数的平方根-计算方法：-利用平方与开平方的互逆关系，找到平方后等于被开方数的数；-对于简单的完全平方数（如1、4、9、16、25等），直接写出其平方根；-对于小数或分数，先转化为整数或最简分数，再求平方根。-例题解析：-例1：求下列各数的平方根：

（1）36解：∵(±6)²=36，∴36的平方根是±√36=±6；

（2）4/25解：∵(±2/5)²=4/25，∴4/25的平方根是±√(4/25)=±2/5；

（3）0.01解：∵(±0.1)²=0.01，∴0.01的平方根是±√0.01=±0.1；

（4）-7解：∵负数没有平方根，∴-7没有平方根。-注意事项：-求平方根时，不要遗漏负的平方根（除非题目明确要求“求算术平方根”）；-被开方数为分数时，根号下的分子分母要同时开方，结果仍为分数。##第5页：算术平方根——平方根的“正根”-算术平方根的定义：-正数a的两个平方根中，那个正的平方根叫做a的算术平方根，记作“√a”（读作“根号a”），0的算术平方根是0。-与平方根的区别与联系：-区别：平方根是“±√a”（两个根），算术平方根是“√a”（一个正根）；-联系：算术平方根是平方根的一部分，正数的算术平方根是其平方根中非负的那个。-例题解析：-例2：求下列各数的算术平方根：

（1）16解：∵4²=16，∴16的算术平方根是√16=4；

（2）81解：∵9²=81，∴81的算术平方根是√81=9；

（3）0解：0的算术平方根是√0=0。-强调：算术平方根的结果一定是非负数（≥0）。##第6页：易错点辨析与纠正-易错点1：混淆平方根与算术平方根-错误：认为√16=±4（算术平方根只取正根）；-纠正：√a表示算术平方根（非负），±√a表示平方根（两个根），∴√16=4，±√16=±4。-易错点2：被开方数为负数时求平方根-错误：求-16的平方根为±4（负数没有平方根）；-纠正：任何数的平方都是非负数，负数没有平方根，∴-16没有平方根。-易错点3：计算分数平方根时出错-错误：√(9/16)=9/4（分子分母未分别开方）；-纠正：√(9/16)=√9/√16=3/4，分子分母分别开方再相除。-易错点4：忽略平方根的相反数性质-错误：121的平方根是11（遗漏负根）；-纠正：正数有两个平方根，121的平方根是±11。##第7页：课堂小结（核心回顾）-1.平方根的定义：x²=a→x是a的平方根（a≥0）；-2.平方根的性质：-正数：两个平方根，互为相反数（±√a）；-0：一个平方根，为0（√0=0）；-负数：无平方根。-3.算术平方根：正数a的正平方根（√a≥0），是平方根的一部分；-4.计算关键：利用平方与开平方互逆关系，注意被开方数非负，结果符号正确。##第8页：课堂练习（即时巩固）-1.填空：-25的平方根是______，算术平方根是______；-√36=______，±√49=______；-0的平方根是______，-10______平方根（填“有”或“没有”）。-2.求下列各数的平方根和算术平方根：-（1）64（2）1/9（3）0.04（4）121-3.判断下列说法是否正确：-（1）5是25的平方根（

）；-（2）√81=±9（

）；-（3）负数没有算术平方根（

）；-（4）0.1的平方根是0.01（

）。-4.解答题：-已知一个数的平方根是±3，求这个数；-若√x=5，求x的值。新知探究“现在看第二张纸片，面积是4cm²，同样是个正方形。请大家动手测量它的边长，是多少呢？”“嗯，边长是2cm。想一想，有没有哪个数自乘后等于4呢？”“再来一张，面积是9cm²的正方形。测量一下边长？”“边长是3cm。哪个数自乘后等于9呢？”活动名称：寻找“完美搭档”的边长活动内容：探索简单整数平方（答：2cm）（答：2×2=4）（答：3×3=9）新知探究“大家观察这三组关系（1->1,4->2,9->3）。我们由正方形的面积，找到了对应的边长。而这个边长恰好满足一个条件：它的平方等于已知的面积。”“现在请看最后一张纸片，面积是8cm²，它也是一个正方形。挑战来了！请用尺子测量它的边长，看看是多少厘米？”活动名称：寻找“完美搭档”的边长活动内容：引入核心问题与“平方根”概念萌芽不是整数？具体测量值会在2.8cm左右新知探究“量出来的边长大约是2.8cm，但2.8×2.8等于多少？我们用计算器算一下看看。”（2.8×2.8=7.84<8）“2.82×2.82呢？”（2.82×2.82=7.9524≈7.95<8）“2.83×2.83呢？”（2.83×2.83=8.0089≈8.01>8）“精确的边长肯定在2.8和2.9之间，但用小数来表示好像无穷无尽，也没法精确写完整？”活动名称：寻找“完美搭档”的边长活动内容：引入核心问题与“平方根”概念萌芽“那么，哪个数自乘等于8呢？”、“它既不是整数（如2,3），也不是我们之前学过的一个有限小数。我们怎么精确地表示这个边长呢？这个边长就是这个面积为8的正方形的边长，也就是那个满足‘自乘等于8’的数。”新知探究

答：①144=12×12单独看144还可以等于（-12）×（-12）也就是说144=（±12）2答：②25=5×5单独看25还可以等于（-5）×（-5）也就是说25=（±5）2

知识点总结：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数。知识概括教师提问：通过以上的问题，我们知道一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，那么0有没有平方根，是多少呢？负数有没有平方根呢？

一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。求一个非负数平方根的运算叫做开平方。

注意事项①正数有两个平方根它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根；典例分析例1下面各数有平方根吗？如果有，则求出它的平方根；如果没有，则说明理由。

③有，0的平方根是0；④没有，负数没有平方根；1．[知识初练]因为(

)2＝16，所以16的平方根有______个，且它们互为相反数，分别是__________．特别地，0的平方根是________．1星题夯实四基±424和－402．9的平方根是(

)A．3B．－3C．±3D．±C3．(－5)2的平方根是(

)A．－5B．5C．±5

D．25C注意事项平方根，又叫二次方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根。正数的平方根有2个。典例分析例2下列说法正确的是（

）

D注意事项需要判断此数是否有平方根，如果有平方根，再求出平方根后取正的那个平方根即可做一做求下列各数的算术平方根。

解答：①因302=900，所以900的算术平方根是30；

③因12=1，所以1的算术平方根是1；

注意事项

做一做

（1）求a、b的值（2）求5a-4b的平方根

（2）由题（1）知a=4，b=-4∴5a-4b=5×4-4×（-4）=36，36的平方根是±6典例分析例3

（教材母题）用计算器求下列各数的算术平方根

（1）529（2）44.81（精确到0.01）

解：（1）本小题的按键顺序是

用计算器求一个正数的算术平方根，只需要直接按书写顺序按键即可。（2）本小题的按键顺序是

课堂练习

解：①有，因为802=6400，所以6400的平方根式±80，算术平方根是80；基础巩固题②有，因为0.52=0.25，所以0.25的平方根式±0.5，算术平方根是0.5；

正数的平方根有2个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根课堂练习

基础巩固题

正数的平方根有2个，正的那个平方根叫做算术平方根4．写出下列各数的平方根：(1)64；(2)3600；(3)0.49；(4)解：(1)因为(±8)2＝64，所以64的平方根是±8.(2)因为(±60)2＝360