2025-2026学年山东滨州市高二上学期2月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东滨州市2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故选：D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以故选：B.3.下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是A. B.y= C. D.【答案】A【解析】函数，在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，故选A.4.如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（）A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.线段【答案】A【解析】由点满足可知，动点到定点的距离之和为，即，且，根据椭圆的定义可知动点的轨迹是椭圆，故选：A.5.已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（）A. B.9 C.4 D.8【答案】B【解析】圆的圆心为，依题意，点在直线上，因此，即，∴，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为9.故选：B.6.如图，在平行六面体中，，，，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】记，，，则，，，又，，所以，，，记与所成的角为，则．故选：B.7.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1，若是偶数，就将该数除以2，将所得结果反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，当时，（）A.42 B.95 C.102 D.109【答案】C【解析】由题可知，，，.之后各项会按照的顺序循环.因为，，所以.因为.当时，.故选：C.8.已知双曲线的左､右焦点分别为，直线的方向向量为，且经过点与双曲线的右支交于点.若的内切圆的面积为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设双曲线焦距为，直线的倾斜角为，.因为直线的方向向量为，所以直线斜率为，即，即，.代入，得，因为，所以.所以.设的内切圆半径为，则其面积为，则.又，所以，所以.中，由余弦定理，得，即，所以.所以，因为，所以.化简得，所以.所以，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选：D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知直线和直线，下列说法正确的是（）A.若，则B.恒过定点C.若，则或D.当时，不过第三象限【答案】BCD【解析】对于A：若，则，解得或，当时，，，则与重合，故舍去，当时，，，则，故A错误；对于B，直线，即，令，解得，故直线过定点，故B正确；对于C：若，则，解得或，故C正确；对于D：当时，直线始终过点，且斜率为负，故该直线过第一、二、四象限，故D正确．故选：BCD．10.记为等差数列的前项和.已知，下列说法正确的是（）A.数列的公差为2B.取最小值时，C.D.数列的前12项和为24【答案】AC【解析】设等差数列的首项为，公差为，由，①，②联立①②解得：，故A选项正确；由，所以等差数列的前项和为：，当时，有最小值，故B选项不正确；由，所以，故C选项正确；数列的前12项和为：，故D选项不正确；故选：AC.11.已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线与交于两点，点在第一象限，过点作准线的垂线，垂足为，若的最小值为8，则下列说法正确的是（）A.焦点的坐标为B.若，则最小值为C.若线段的中点坐标为，则直线的方程为D.若，则直线的斜率为【答案】BCD【解析】由题可知，设直线的方程为，，则.由，得，所以，，所以.根据抛物线的定义，得，因为（当且仅当时，等号成立），所以.若的最小值为8，则，所以.所以抛物线的方程为：.对于A，因为，所以，所以焦点的坐标为，所以A不正确；对于B，根据抛物线的定义，得，若，则，最小值为.所以B正确；对于C，若线段的中点坐标为，则，则即，.所以直线的方程为，即，所以C正确；对于D，若，则，所以，所以，所以.所以，解得即直线斜率为.所以D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若三点共线，则实数的值为__________．【答案】【解析】，三点共线，即，解得.13.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______．【答案】或【解析】解：因为，所以，所以，所以，又，所以；故答案为：.14.已知是圆与轴的两个交点，直线与圆交于两点，以为折痕，将折起，使得二面角的大小为，则折起后两点间的距离为__________.【答案】【解析】折叠前，，，.折叠后，如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则.因为，且，所以是正三角形.取线段的中点，连接，则，且，.记在平面的投影为，连接.因为二面角的大小为，所以.所以.所以点的坐标为.所以.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知抛物线上一点到其焦点的距离为2，到轴的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）若不过原点的直线与抛物线交于两点，且，求实数的值.解：（1）点的横坐标为，由抛物线焦半径公式可得，解得，故抛物线方程为；（2）联立与可得，所以，解得，设，则，所以，，故，即，解得或0，当时，经过原点，不合要求；当时，不经过原点，满足要求，故.16.已知圆心为的圆经过三点.（1）求圆的标准方程；（2）直线过点，若直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.解：（1）设圆的一般方程为，则，得，则圆的一般方程为，故圆的标准方程为.（2）若直线的斜率不存在，则，则圆心到直线的距离为，则直线被圆截得的弦长为，符合题意；若直线的斜率存在，则设，即，则圆心到直线的距离为，则直线被圆截得的弦长为，即，得，则，综上，直线的方程为或.17.已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，设．（i）求数列的通项公式；（ii）求数列的前项和．解：（1）已知，，当时，，当时，，则，故，又，是首项为2，公比为2的等比数列，即．（2）（i）与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，则，，，故，；（ii），，，，，．18.如图，在四棱锥中，，底面是边长为2的菱形，．为的中点，，点到平面的距离为．（1）求证：；（2）线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：底面是边长为2菱形，，是等边三角形，为的中点，，，，，，为的中点，，，，，平面，平面，平面，．（2）解：以为坐标原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立下图所示空间直角坐标系，则，如下图所示，点到平面的距离为，，，，因为在线段上，令，，，轴为平面的法向量，则，平面中，向量，，设为平面的法向量，则，则，二面角的余弦值为，化简整理得，解得或，，，当时，，当时，，存在点，且的值为或．19.著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，其中分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.已知椭圆的离心率为，右顶点与上顶点的距离为.（1）求椭圆的面积；（2）设点是椭圆的右焦点，经过点的直线与椭圆交于两点，过点且与垂直的直线与圆交于两点.（i）若，求直线的方程；（ii）求四边形的面积的取值范围.解：（1）由题意如图所示：根据题意得：，解得：，即，所以椭圆的面积为.（2）由（1）知椭圆标准方程为：，，（i）当直线的斜率不存在时，如图所示：此时的方程为：代入椭圆方程中，解得，此时，不满足题意，所以直线斜率存在且为0时，为椭圆的左右顶点，此时，不满足题意，所以直线的斜率存在且不为，设为，如图所示：令直线的方程为：即，联立，消去整理得：，由，设，则由韦达定理得：，所以，由即，解得：，所以直线的方程为：或.（ii）当直线斜率不存在时，如图所示：此时当直线斜率存在且为0时，如图所示：将代入圆中解得：，所以，所以，当直线的斜率存在且不为时，由题意如图所示：由（i）可得：，因为直线与直线垂直且过，所以直线的斜率为所以直线的方程为：即，由圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离为：，所以，因为直线与直线垂直，所以，所以，令，则，所以，因为，所以，所以，综上所述：，故四边形的面积的取值范围为.山东滨州市2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故选：D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以故选：B.3.下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是A. B.y= C. D.【答案】A【解析】函数，在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，故选A.4.如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（）A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.线段【答案】A【解析】由点满足可知，动点到定点的距离之和为，即，且，根据椭圆的定义可知动点的轨迹是椭圆，故选：A.5.已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（）A. B.9 C.4 D.8【答案】B【解析】圆的圆心为，依题意，点在直线上，因此，即，∴，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为9.故选：B.6.如图，在平行六面体中，，，，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】记，，，则，，，又，，所以，，，记与所成的角为，则．故选：B.7.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1，若是偶数，就将该数除以2，将所得结果反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，当时，（）A.42 B.95 C.102 D.109【答案】C【解析】由题可知，，，.之后各项会按照的顺序循环.因为，，所以.因为.当时，.故选：C.8.已知双曲线的左､右焦点分别为，直线的方向向量为，且经过点与双曲线的右支交于点.若的内切圆的面积为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设双曲线焦距为，直线的倾斜角为，.因为直线的方向向量为，所以直线斜率为，即，即，.代入，得，因为，所以.所以.设的内切圆半径为，则其面积为，则.又，所以，所以.中，由余弦定理，得，即，所以.所以，因为，所以.化简得，所以.所以，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选：D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知直线和直线，下列说法正确的是（）A.若，则B.恒过定点C.若，则或D.当时，不过第三象限【答案】BCD【解析】对于A：若，则，解得或，当时，，，则与重合，故舍去，当时，，，则，故A错误；对于B，直线，即，令，解得，故直线过定点，故B正确；对于C：若，则，解得或，故C正确；对于D：当时，直线始终过点，且斜率为负，故该直线过第一、二、四象限，故D正确．故选：BCD．10.记为等差数列的前项和.已知，下列说法正确的是（）A.数列的公差为2B.取最小值时，C.D.数列的前12项和为24【答案】AC【解析】设等差数列的首项为，公差为，由，①，②联立①②解得：，故A选项正确；由，所以等差数列的前项和为：，当时，有最小值，故B选项不正确；由，所以，故C选项正确；数列的前12项和为：，故D选项不正确；故选：AC.11.已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线与交于两点，点在第一象限，过点作准线的垂线，垂足为，若的最小值为8，则下列说法正确的是（）A.焦点的坐标为B.若，则最小值为C.若线段的中点坐标为，则直线的方程为D.若，则直线的斜率为【答案】BCD【解析】由题可知，设直线的方程为，，则.由，得，所以，，所以.根据抛物线的定义，得，因为（当且仅当时，等号成立），所以.若的最小值为8，则，所以.所以抛物线的方程为：.对于A，因为，所以，所以焦点的坐标为，所以A不正确；对于B，根据抛物线的定义，得，若，则，最小值为.所以B正确；对于C，若线段的中点坐标为，则，则即，.所以直线的方程为，即，所以C正确；对于D，若，则，所以，所以，所以.所以，解得即直线斜率为.所以D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若三点共线，则实数的值为__________．【答案】【解析】，三点共线，即，解得.13.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______．【答案】或【解析】解：因为，所以，所以，所以，又，所以；故答案为：.14.已知是圆与轴的两个交点，直线与圆交于两点，以为折痕，将折起，使得二面角的大小为，则折起后两点间的距离为__________.【答案】【解析】折叠前，，，.折叠后，如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则.因为，且，所以是正三角形.取线段的中点，连接，则，且，.记在平面的投影为，连接.因为二面角的大小为，所以.所以.所以点的坐标为.所以.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知抛物线上一点到其焦点的距离为2，到轴的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）若不过原点的直线与抛物线交于两点，且，求实数的值.解：（1）点的横坐标为，由抛物线焦半径公式可得，解得，故抛物线方程为；（2）联立与可得，所以，解得，设，则，所以，，故，即，解得或0，当时，经过原点，不合要求；当时，不经过原点，满足要求，故.16.已知圆心为的圆经过三点.（1）求圆的标准方程；（2）直线过点，若直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.解：（1）设圆的一般方程为，则，得，则圆的一般方程为，故圆的标准方程为.（2）若直线的斜率不存在，则，则圆心到直线的距离为，则直线被圆截得的弦长为，符合题意；若直线的斜率存在，则设，即，则圆心到直线的距离为，则直线被圆截得的弦长为，即，得，则，综上，直线的方程为或.17.已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，设．（i）求数列的通项公式；（ii）求数列的前项和．解：（1）已知，，当时，，当时，，则，故，又，是首项为2，公比为2的等比数列，即．（2）（i）与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，则，，，故，；（ii），，，，，．18.如图，在四棱锥中，，底面是边长为2的菱形，．为的中点，，点到平面的距离为．（1）求证：；（2）线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：底面是边长为2菱形，，是等边三角形，为的中点，，，，，，为的中点，，，