2025-2026学年天津市滨海新区度高二第一学期期末检测卷数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市滨海新区2025-2026学年度高二第一学期期末检测卷数学试题一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内.1.已知直线的方程是，则该直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得直线的斜率，设该直线的倾斜角为，，所以，所以.故选：B.2.抛物线的准线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】，抛物线的准线方程为，即，故选A.3.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】双曲线中，则，故其渐近线方程为.故选：B.4.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标是.故选：D.5.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为直线与直线平行，所以，解得，则直线与直线之间的距离是.故选：C6.若1，，，5依次成等差数列，1，，4依次成等比数列，则的值为（）A3 B.-3 C.或3 D.或4【答案】C【解析】由题意可得，，，则，故的值为或3.故选：C.7.圆与圆的位置关系是（）A.外切 B.内切 C.相交 D.内含【答案】A【解析】即，圆心，半径，的圆心，半径，则，故两圆的位置关系是外切.故选：A.8.已知三棱锥O-ABC中，点M、N分别为AB、OC的中点，且，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如图所示，连接，可得.故选：D.9.已知直线与圆交于A，B两点，且圆C在A，B两点处的切线交于点M，若为正三角形，则（）．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因为为正三角形，且均与圆相切，故，，由四边形内角和为可得.又圆，圆心为，半径为.故到直线距离为.故，解得或（舍）.故选：C.10.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，.则截口宽长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知：，，解得，，可得，所以.故选：C.11.已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】由题设，则，又为等差数列，则其公差，所以，故，所以，而不等式恒成立，所以，即实数的最小值为.故选：B.12.如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则有下列说法：①若，，则平面；②若，，则平面；③若，则到平面的距离为；④若，时，直线与平面所成角为，则以上说法中正确的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，以点为坐标原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则有、、、、、、、、，则，，，，，．设平面的一个法向量为，则有，令，则，故．对于①，当，时，，此时点与点重合，因为，故四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，故当，时，平面，①对；对于②，当，时，，，所以，即，所以当，时，则平面，②对；对于③，当时，，所以点到平面的距离为，③错；对于④，当，时，，，，设，其中，任取、且，则，因，则，，所以，所以函数在上为增函数，因为，所以，故，④对.故选：C.二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.13.过点且垂直于的直线方程是_____.【答案】【解析】由，得，所以直线的斜率为.所以与直线垂直的直线的斜率为，所以过点且垂直于的直线方程为，即.故答案为：.14.向量与共线，则_____.【答案】【解析】因为向量与共线，设，即，所以，解得，故.故答案为：.15.已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】【解析】因为双曲线的离心率为2，则，解得，故双曲线的渐近线方程为.故答案为：.16.已知数列满足，，则_____.【答案】或【解析】由题意得，，，，.故答案为：.17.已知等差数列的公差为,若成等比数列,则=_________，数列的前项和的最小值是_________【答案】①.②.【解析】∵成等比数列，∴，即，解得．∴．又，∴当时，；当时，．∴数列的前项和的最小值是．答案：；.18.已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则点的横坐标为____________，的面积为_______．【答案】①.3②.【解析】因为抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，且，设点横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得，将代入抛物线方程，解得，由对称性不妨取，设，则，，因为，所以，解得，即，所以，所以的面积，故答案为：3；.19.角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.如取正整数，根据上述运算法则得出：，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列满足：（为正整数），（i）若，则使得至少需要_____步雹程；（ii）若，则所有可能取值的和为_____.【答案】①.9②.41【解析】（i），故使得至少需要步雹程；（ii）若，则逆向计算，所有可能结果有，，，故所有可能取值为，其和为.故答案为：；.20.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的右支上存在一点，满足，与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的离心率的值为_____；若的面积为6，则双曲线的方程为_____.【答案】①.②.【解析】连接，设双曲线的焦距为.由双曲线的定义可知，，因为，所以.由，得，所以，所以，所以.所以.由题可知，，所以，即.所以，所以.即双曲线的离心率的值为.若的面积为6，则的面积，.即，所以，所以，所以.所以双曲线的方程为.故答案为：①，②.三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.已知圆的圆心为，经过点.（1）求圆的方程；（2）若直线过点（2，2），与圆交于，两点，，求直线的方程.解：（1）圆的半径，所以圆的方程为.（2）因，且，所以由题意可知，直线的斜率定存在，设直线的斜率为，则的方程为，即，所以，解得或，所以直线的方程为或，即或.综上，的方程为或.22.如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，且，，为的中点.（1）证明：直线平面；（2）求点到平面的距离；（3）求平面和平面夹角的余弦值.（1）证明：在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，所以以为原点，以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，，，，因为为的中点，所以.所以，，，则，即，，所以，，又因为，且，平面，所以平面.（2）解：由（1）可得，，，设平面的法向量为，则，取，可得，，所以，设点到平面的距离为，可得所以点到平面的距离为.（3）解：由（2）可得平面的一个法向量为，又由（1）知平面，所以平面的一个法向量为，设平面和平面的夹角为，则，所以平面和平面的夹角的余弦值为.23.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，（1）求椭圆的方程；（2）若为直线上一点，过点的直线与椭圆有唯一交点（异于点），过点作垂直于交直线于点，证明点在定直线上.解：（1）依题意，，，解得，，即，，所以椭圆的方程为；（2）依题意，直线的斜率存在且不为零，由（1）知，，设直线为，，则，，由，得，所以，由，得；所以，所以，即；又因为，所以，直线的方程即为；由，得；又与直线垂直，所以，所以直线的方程为；由，得，即，解得；所以点在定直线上.24.已知是递增的等差数列，，且，，成等比数列.数列的前项和，且满足.（1）求，的通项公式：（2）对任意的，将数列中落入区间内的项的个数记为，（i）求数列的通项公式；（ii）若，求数列的前项的和.解：（1）设等差数列的公差为，因为是递增的等差数列，所以，因为，，成等比数列，所以，又因为，所以，即，整理得，解得或，由于，所以，所以，所以，因为，所以当，，两式相减得，即，又因为，所以，所以为等比数列，，（2）（i）由得，解上述不等式得，因为，所以，所以满足不等式的的个数为：，所以，（ii）因为所以，设的前项和为，①则②①-②得：，，所以，所以.天津市滨海新区2025-2026学年度高二第一学期期末检测卷数学试题一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内.1.已知直线的方程是，则该直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得直线的斜率，设该直线的倾斜角为，，所以，所以.故选：B.2.抛物线的准线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】，抛物线的准线方程为，即，故选A.3.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】双曲线中，则，故其渐近线方程为.故选：B.4.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标是.故选：D.5.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为直线与直线平行，所以，解得，则直线与直线之间的距离是.故选：C6.若1，，，5依次成等差数列，1，，4依次成等比数列，则的值为（）A3 B.-3 C.或3 D.或4【答案】C【解析】由题意可得，，，则，故的值为或3.故选：C.7.圆与圆的位置关系是（）A.外切 B.内切 C.相交 D.内含【答案】A【解析】即，圆心，半径，的圆心，半径，则，故两圆的位置关系是外切.故选：A.8.已知三棱锥O-ABC中，点M、N分别为AB、OC的中点，且，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如图所示，连接，可得.故选：D.9.已知直线与圆交于A，B两点，且圆C在A，B两点处的切线交于点M，若为正三角形，则（）．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因为为正三角形，且均与圆相切，故，，由四边形内角和为可得.又圆，圆心为，半径为.故到直线距离为.故，解得或（舍）.故选：C.10.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，.则截口宽长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知：，，解得，，可得，所以.故选：C.11.已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】由题设，则，又为等差数列，则其公差，所以，故，所以，而不等式恒成立，所以，即实数的最小值为.故选：B.12.如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则有下列说法：①若，，则平面；②若，，则平面；③若，则到平面的距离为；④若，时，直线与平面所成角为，则以上说法中正确的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，以点为坐标原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则有、、、、、、、、，则，，，，，．设平面的一个法向量为，则有，令，则，故．对于①，当，时，，此时点与点重合，因为，故四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，故当，时，平面，①对；对于②，当，时，，，所以，即，所以当，时，则平面，②对；对于③，当时，，所以点到平面的距离为，③错；对于④，当，时，，，，设，其中，任取、且，则，因，则，，所以，所以函数在上为增函数，因为，所以，故，④对.故选：C.二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.13.过点且垂直于的直线方程是_____.【答案】【解析】由，得，所以直线的斜率为.所以与直线垂直的直线的斜率为，所以过点且垂直于的直线方程为，即.故答案为：.14.向量与共线，则_____.【答案】【解析】因为向量与共线，设，即，所以，解得，故.故答案为：.15.已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】【解析】因为双曲线的离心率为2，则，解得，故双曲线的渐近线方程为.故答案为：.16.已知数列满足，，则_____.【答案】或【解析】由题意得，，，，.故答案为：.17.已知等差数列的公差为,若成等比数列,则=_________，数列的前项和的最小值是_________【答案】①.②.【解析】∵成等比数列，∴，即，解得．∴．又，∴当时，；当时，．∴数列的前项和的最小值是．答案：；.18.已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则点的横坐标为____________，的面积为_______．【答案】①.3②.【解析】因为抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，且，设点横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得，将代入抛物线方程，解得，由对称性不妨取，设，则，，因为，所以，解得，即，所以，所以的面积，故答案为：3；.19.角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.如取正整数，根据上述运算法则得出：，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列满足：（为正整数），（i）若，则使得至少需要_____步雹程；（ii）若，则所有可能取值的和为_____.【答案】①.9②.41【解析】（i），故使得至少需要步雹程；（ii）若，则逆向计算，所有可能结果有，，，故所有可能取值为，其和为.故答案为：；.20.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的右支上存在一点，满足，与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的离心率的值为_____；若的面积为6，则双曲线的方程为_____.【答案】①.②.【解析】连接，设双曲线的焦距为.由双曲线的定义可知，，因为，所以.由，得，所以，所以，所以.所以.由题可知，，所以，即.所以，所以.即双曲线的离心率的值为.若的面积为6，则的面积，.即，所以，所以，所以.所以双曲线的方程为.故答案为：①，②.三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.已知圆的圆心为，经过点.（1）求圆的方程；（2）若直线过点（2，2），与圆交于，两点，，求直线的方程.解：（1）圆的半径，所以圆的方程为.（2）因，且，所以由题意可知，直线的斜率定存在，设直线的斜率为，则的方程为，即，所以，解得或，所以直线的方程为或，即或.综上，的方程为或.22.如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，且，，为的中点.（1）证明：直线平面；（2）求点到平面的距离；（3）求平面和平面夹角的余弦值.（1）证明：