安徽省人教版高中数学下册第9章数列习题

2026年安徽省人教版高中数学下册第9章数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n+1B.3n-2C.4n-5D.5n-8解析：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_3-2d=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。选项B、C、D均不符合计算结果。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_5的值为（）A.16B.32C.64D.128解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}。验证n=1时S_1=b_1=1符合通项，故b_5=2^4=16。选项B、C、D计算错误。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，逐项计算：c_2=c_1+2=3，c_3=c_2+4=7，c_4=c_3+6=13，c_5=c_4+8=21，c_6=c_5+10=31。选项A、B、C、D均不符合计算结果。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列性质d_4=d_2•q^2，代入d_2=6，d_4=54得6q^2=54，解得q=±3。选项B、C、D仅给出部分解。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_4的值为（）A.16B.20C.24D.28解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。验证n=1时e_1=T_1=2符合通项，故e_4=2×4=8。选项A、B、C、D均不符合计算结果。6.若数列{f_n}的前n项和U_n=3^n-1，则f_3的值为（）A.26B.27C.28D.29解析：当n≥2时，f_n=U_n-U_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=2•3^{n-1}。验证n=1时f_1=U_1=2符合通项，故f_3=2×3^2=18。选项A、B、C、D均不符合计算结果。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则该数列的公差d等于（）A.1B.2C.3D.4解析：由等差数列性质a_4+a_5+a_6=(a_1+a_2+a_3)+9d，代入已知条件得12+9d=18，解得d=2。选项A、C、D均不符合计算结果。8.已知数列{h_n}满足h_1=2，h_{n+1}=2h_n+n，则h_5的值为（）A.62B.64C.66D.68解析：由递推关系逐项计算：h_2=2×2+1=5，h_3=2×5+2=12，h_4=2×12+3=27，h_5=2×27+4=58。选项A、B、C、D均不符合计算结果。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=1，i_3=8，则该数列的前5项和S_5等于（）A.31B.33C.35D.37解析：由等比数列性质i_3=i_1•q^2，代入i_1=1，i_3=8得q=2。故S_5=1×(1-2^5)/(1-2)=31。选项B、C、D均不符合计算结果。10.已知数列{j_n}的前n项和V_n=n(n+1)/2，则j_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：当n≥2时，j_n=V_n-V_{n-1}=[n(n+1)/2]-[(n-1)n/2]=n。验证n=1时j_1=V_1=1符合通项，故j_6=6。选项A、B、C、D均不符合计算结果。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式a_n=_________。解：由等差数列性质a_10=a_5+5d，代入a_5=10，a_10=25得5d=15，即d=3。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_5-4d=2，故a_n=2+3(n-1)=3n-1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=4^n-1，则b_4=_________。解：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=(4^n-1)-(4^{n-1}-1)=3•4^{n-1}。验证n=1时b_1=S_1=3符合通项，故b_4=3×4^3=192。3.若数列{c_n}满足c_1=3，c_{n+1}=c_n+3n，则c_7=_________。解：由递推关系逐项计算：c_2=c_1+3=6，c_3=c_2+6=12，c_4=c_3+9=21，c_5=c_4+12=33，c_6=c_5+15=48，c_7=c_6+18=66。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_5=32，则该数列的公比q=_________。解：由等比数列性质d_5=d_2•q^3，代入d_2=4，d_5=32得4q^3=32，解得q=2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2n^2+n，则e_3=_________。解：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1。验证n=1时e_1=T_1=3符合通项，故e_3=4×3-1=11。6.若数列{f_n}的前n项和U_n=5^n-1，则f_5=_________。解：当n≥2时，f_n=U_n-U_{n-1}=(5^n-1)-(5^{n-1}-1)=4•5^{n-1}。验证n=1时f_1=U_1=4符合通项，故f_5=4×5^4=5000。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=2，a_4+a_7=22，则该数列的公差d=_________。解：由等差数列性质a_4+a_7=2a_1+9d，代入a_1=2，a_4+a_7=22得4+9d=22，解得d=2。8.已知数列{h_n}满足h_1=5，h_{n+1}=h_n+2n，则h_8=_________。解：由递推关系逐项计算：h_2=h_1+2=7，h_3=h_2+4=11，h_4=h_3+6=17，h_5=h_4+8=25，h_6=h_5+10=35，h_7=h_6+12=47，h_8=h_7+14=61。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=2，i_4=32，则该数列的前6项和S_6=_________。解：由等比数列性质i_4=i_1•q^3，代入i_1=2，i_4=32得2q^3=32，解得q=4。故S_6=2×(1-4^6)/(1-4)=258。10.已知数列{j_n}的前n项和V_n=n^2+n，则j_4=_________。解：当n≥2时，j_n=V_n-V_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。验证n=1时j_1=V_1=2符合通项，故j_4=2×4=8。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列是等差数列。（）解：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=[2n^2-3n]-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5。由于a_n与n不成线性关系，故该数列不是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则该数列的公比q=±2。（）解：由等比数列性质b_3=b_1•q^2，代入b_1=1，b_3=8得q^2=8，解得q=±√8=±2√2。原命题错误。3.若数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+n，则该数列是等差数列。（）解：由递推关系a_{n+1}-a_n=n，可知该数列的公差为n，故不是等差数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3=5。（）解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5。原命题正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则该数列是等比数列。（）解：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n，由于e_n与n不成比例关系，故该数列不是等比数列。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则该数列的公比q=3。（）解：由等比数列性质f_4=f_2•q^2，代入f_2=6，f_4=54得6q^2=54，解得q=3。原命题正确。7.若数列{g_n}的前n项和U_n=3^n-1，则g_n=2•3^{n-1}。（）解：当n≥2时，g_n=U_n-U_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=2•3^{n-1}。验证n=1时g_1=U_1=2符合通项，故原命题正确。8.在等差数列{h_n}中，若a_1=5，d=2，则a_10=25。（）解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，d=2得a_10=5+9×2=23。原命题错误。9.已知数列{i_n}满足i_{n+1}=2i_n+1，则该数列是等比数列。（）解：由递推关系i_{n+1}-i_n=2i_n+1-i_n=i_n+1，可知该数列的递推关系不符合等比数列定义。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_5=32，则该数列的前5项和S_5=62。（）解：由等比数列性质j_5=j_1•q^4，代入j_1=2，j_5=32得2q^4=32，解得q=2。故S_5=2×(1-2^5)/(1-2)=62。原命题正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求等差数列{a_n}的通项公式，已知a_3=7，a_7=15。解：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_3-2d=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，求b_4。解：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}。验证n=1时b_1=S_1=1符合通项，故b_4=2^3=8。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，求c_6。解：由递推关系逐项计算：c_2=c_1+2=3，c_3=c_2+4=7，c_4=c_3+6=13，c_5=c_4+8=21，c_6=c_5+10=31。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_5=54，求该数列的公比q。解：由等比数列性质d_5=d_2•q^3，代入d_2=6，d_5=54得6q^3=54，解得q=3。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，求e_5。解：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。验证n=1时e_1=2符合通项，故e_5=2×5=10。6.若数列{f_n}的前n项和U_n=5^n-1，求f_3。解：当n≥2时，f_n=U_n-U_{n-1}=(5^n-1)-(5^{n-1}-1)=4•5^{n-1}。验证n=1时f_1=4符合通项，故f_3=4×5^2=100。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=2，a_4+a_7=22，求该数列的公差d。解：由等差数列性质a_4+a_7=2a_1+9d，代入a_1=2，a_4+a_7=22得4+9d=22，解得d=2。8.已知数列{h_n}满足h_1=5，h_{n+1}=h_n+2n，求h_7。解：由递推关系逐项计算：h_2=h_1+2=7，h_3=h_2+4=11，h_4=h_3+6=17，h_5=h_4+8=25，h_6=h_5+10=35，h_7=h_6+12=47。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年生产设备数量为10台，以后每年比前一年多生产3台，求第10年生产设备数量。解：由等差数列性质，首项a_1=10，公差d=3。第10年生产设备数量a_{10}=10+9×3=37台。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年人口数量。解：由等比数列性质，首项b_1=100，公比q=1.1。2025年人口数量b_5=100×1.1^5≈161.05万。3.某人存款计划每年存入银行一笔固定金额，已知第一年存入1万元，以后每年比前一年多存入0.5万元，求第8年存入银行金额。解：由等差数列性质，首项c_1=1，公差d=0.5。第8年存入银行金额c_8=1+7×0.5=4.5万元。4.某产品成本每年下降5%，已知2020年成本为100元，求2025年成本。解：由等比数列性质，首项d_1=100，公比q=0.95。2025年成本d_5=100×0.95^5≈77.38元。5.某企业员工工资每年上涨8%，已知2020年工资为5000元，求2026年工资。解：由等比数列性质，首项e_1=5000，公比q=1.08。2026年工资e_6=5000×1.08^6≈8144.47元。6.某学校图书馆藏书量每年增加200本，已知2020年藏书量为2000本，求2025年藏书量。