河北金太阳2027届高三上学期9月阶段检测数学试题+答案

8.若1g(9a²+4b²)=0(a>0,b>0),则1ga+lgb—1g(3a+2b—1)的最大值为

高三数学B.—lg6D.-21g2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

注意事项：求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。9.下列判断正确的是

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂A.sin2x=0的充要条件是sinx=0

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在B.x²≤4是x²—x≤2的必要不充分条件

答题卡上。写在本试卷上无效。

C.2°>b是2>b+2的充分不必要条件

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

D.a>b是a⁴>b⁴的既不充分也不必要条件

4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用、三角

10.已知函数f(x)满足f(x)f(y)=f(xy)+f(x)+f(y)-2对任意x,y∈R恒成立，且

弥函数。

f(x)在R上单调，f(2)=9,则

A.f(1)=2

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

是奇函数不可能是一次函数

题目要求的.C.f(x)D.f(x)

11.已知函数f(x)=a+(4x—1)lnx,则

1.已知全集U={1,2,4,8,12,16},集合A={1,8,16},B={4,16},则Cu(AUB)=

只有一个极值点

A.{2}B.{12}C.{2,12}D.{1,4,8,16}A.f(x)

2.将函数f(x)=tan6x图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，得到函数g(x)B.当时，f(x)无零点

的图象；则g(x)=

A.tanxB.6tanxC.tan36xD.6tan36x

封D.当a=-1时，集合{x||f(x)|=1+In2}有7个真子集

3.若f(x)是奇函数，且当x>0时,则f(一1)=

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

A.6B.4C.—6D.一4

12.命题“Vx∈Q,√1+x³∈Q”的否定是▲

4.曲线在点(1,0)处的切线方程为

13.若▲,复数的虚部为▲

A.y=x—1B.y=5x-5

14.若e⁷²·e⁵—1n(5x+y)≤2(x+2y+1),则y=▲

C.y=3x—3D.y=2x-2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

5.若幂函数f(x)的图象经过点(9,3),则满足f(t)+2≤18的t的最大值与最小值的差为

15.(13分)

A.4B.3C.3√2D.2√2

线6.函数f(x)=x²+cosx—3—1nx²的大致图象为

(1)求f(0);

(2)求f(x)的值域；

(3)求曲线y=f(x)的对称中心的坐标.

ABCD

7.已知某正四棱柱的一个侧面的周长为12,设该正四棱柱的高为h,则该正四棱柱的体积V(h)=

A.h²—6h(0<h<6)B.h³—24h²+36h(0<h<6)

C.h³—6h²(0<h<6)D.h³—12h²+36h(0<h<6)

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16.(15分)18.(17分)

(1)解方程：log₃(lgx)=16⁰.75-7.对于函数f(x),若存在a∈N",使得f(x)在(0,a)上有最小值，且最小值大于a,则称

f(x)为俏函数，其中a为f(x)的一个俏值.

,求y关于x的函数表达式.

(1)若函数,证明：g(x)为俏函数，且g(x)的俏值唯一.

(3)若二次函数f(x)是偶函数，且f(f(x))=8x⁴+8x²+t,求t的值.

(2)若定义在R上的函数h(x)的值域为(1,4),且h(x)在[-2,-1]上先减后增，试问

h(x-2)是否为俏函数?说明你的理由.

(3)若函数f(x)=—4-²—4²-+6(2¹-²+2²-x)+8,求f(x)的最大值与俏值.

17.(15分)

已知函数f(x)=—(x—1)²(x-a).

(1)讨论f(x)的单调性；19.(17分)

(2)若f(2)=0,且曲线y=f(x)的切线l经过点(0,2),求l的斜率.已知函数

封

(1)证明：

(2)若函数h(x)=f(x-m)-√x-m在(0,+∞)上有零点，求m的取值范围.

(3)若曲线y=-x+t(x>0)与曲线y=√x,y=f(x)分别交于A,B两点，证明：|AB|>√2.

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高三数学参考答案

1.C因为AUB={1,4,8,16},所以Cu(AUB)={2,12}.

2.A

3.C因为f(x)是奇函数，所以f(一1)=-f(1)=—6.

4.D因为,所以当x=1时，y'=2,所以曲线y=

在点(1,0)处的切线方程为y=2x-2.

5.A设f(x)=x°,则9“=3,解得,所以f(t)+2=√t+2'.设函数g(t)=√t+2²,则

g(t)在[0,+∞]上单调递增.又g(4)=2+16=18,所以f(t)+2⁶≤18等价于0≤t≤4,则满

足f(t)+2≤18的t的最大值与最小值的差为4.

6.B因为f(—x)=(-x)²+cos(-x)-3-1n(一x)²=x²+cosx-3—1nx²=f(x),所以

f(x)为偶函数，排除A,C.当x→十∞时，f(x)→+∞,排除D.故选B.

7.D设该正四棱柱的底面边长为a,则2(a+h)=12,则a=6—h(0<h<6),

所以该正四棱柱的体积V(h)=a²h=h(36—12h+h²)=h³—12h²+36h(0<h<6).

8.C因为lg(9a²+4b²)=0(a>0,b>0),所以9a²+4b²=1(a>0,b>0),所以(3a+2b)²—1

=9a²+4b²-1+12ab=12ab.

,即3a+2b≤√2,当且仅当时，

等号成立，所以,故lga+1gb-1g(3a+2b-1)的最大值为

9.BD由sin2x=0,得2sinxcosx=0,即sinxcosx=0,则sinx=0或cosx=0,所以sin2x

=0的充要条件不是sinx=0,A错误.

由x²≤4,得-2≤x≤2,由x²—x≤2,得-1≤x≤2,所以x²≤4是x²—x≤2的必要不充分

条件，B正确.

若2⁴>b,则2⁴—b>0,则2°—b>2未必成立，即2“>b+2未必成立，若2>b+2,则2⁴>b,

所以2>b是2>b+2的必要不充分条件，C错误.

因为-2<1,(-2)⁴>1⁴,所以a>b是a⁴>b⁴的既不充分也不必要条件，D正确.

10.ABD令x=y=0,得[f(0)]²=3f(0)-2,解得f(0)=1或f(0)=2,令x=y=1,得

[f(1)]²=3f(1)-2,解得f(1)=1或f(1)=2.因为f(x)在R上单调，且f(2)=9,所以

【高三数学·参考答案第1页(共7页)】·27-32C·

f(x)在R上单调递增，则f(0)=1≠0,f(1)=2,A正确，C错误.

令x=y=2,得[f(2)]²=f(4)+2f(2)-2,将f(2)=9代入，得f(4)=65,因为f(x)在R

上单调递增，所以f(4.1)>f(4),则f(4.1)>65,B正确.

假设f(x)是一次函数，则由f(0)=1,f(1)=2,得f(x)=x+1,则f(2)=3,但f(2)=9,

所以假设不成立，故f(x)不可能是一次函数，D正确.

11.AC,则f'(x)在(0,+∞)上单调递增.

因为,f'(1)>0,所以存在唯一的

使得f'(x₀)=0,则f(x)在(0,xo)上单调递减，在(x。,+∞)上单调递

增，所以f(x)只有一个极值点，A正确.

当时.因为

图1

且f(x)的图象是连续不断的，所以f(x)在上必有零点，B错误.

由a+(4x-1)lnx≥bx,得(4x-1)lnx≥bx-a.设g(x)=(4x-1)lnx.由f(x)的单调

性可知，g(x)在(0,xo)上单调递减，在(xo,十∞)上单调

递增，当x→0时，g(x)→十∞,当x→十∞时，g(x)→

十∞,且g(1)=0,y=bx-a(b>0)的图象是一条斜率大

于0且横截距为的直线，当Vx∈(0,十∞),g(x)≥bx

—a时，由图1可知，C正确.

当a=-1时，f(x)=-1+(4x-1)lnx,则

—1n2>f(x。),其中f(x。)是f(x)的最小值，且xo∈

图2

.作出y=|f(x)|的大致图象，如图2所示，直线

y=1+1n2与该函数的图象有4个交点，则集合{xllf(x)|=1+1n2}有4个元素，其真子

集的个数为2⁴-1=15,D错误.

12.3x∈Q,√1+x³∈Q命题“Vx∈Q,√1+x³∈Q”的否定是“3x∈Q,√1+x³∈Q”.

由,得,因为,所以

得所以cosα

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因为

的虚部

14.易证1nx≤x-1(当且仅当x=1时，等号成立),e²≥x+1(当且仅当x=0时，等号

成立),所以e⁷²·e⁵=e⁷x+5y≥7x+5y+1,1n(5x+y)≤5x+y-1,则—1n(5x+y)≥-5x

-y+1,所以ex+5y—1n(5x+y)≥7x+5y+1-5x-y+1=2(x+2y+1).

又e+5y—ln(5x+y)≤2(x+2y+1),所以e⁷+5y—1n(5x+y)=2(x+2y+1),

当且仅当即时，等号成立.

15.解：

(2)f(x)=sin5x—√3cos5x5分

因为,所以f(x)的值域为[-2,2].……………9分

(3)令,………………11分

得(k∈Z),,所以曲线y=f(x)的对称中心的坐标为(k∈Z).

…………………………13分

16.解：(1)因为16⁰.75=(2⁴)0.75=2⁴×0.75=2³=8,……………2分

所以log₃(lgx)=1,则lgx=3,…………4分

所以x=10³=1000.………………………5分

(2)(方法一)因

所以,即

则,所以y关于x的函数表达式为y=—log₂(2ᵗ+1).…

………………………10分

(方法二)因,所以2ˣ=(2ˣ+1)(1—2)=2ˣ—2ˣ·2+1—2,

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即2·2=1—2,…………7分

则(2ᵗ+1)2=1,所以…………8分

则,所以y关于x的函数表达式为y=-log₂(2+1).…

……………………10分

(3)依题意可设f(x)=ax²+bx+c(a≠0).………11分

因为f(x)是偶函数，所以由f(一x)=f(x),得b=0,……………12分

所以f(f(x))=a(ax²+c)²+c=a³x⁴+2a²cx²+ac²+c=8x⁴+8x²+t,13分

所以a³=2a²c=8,ac²+c=t,……………14分

解得a=2,c=1,t=3.……………………15分

17.解：(1)f'(x)=—2(x-1)(x—a)—(x—1)²=—(x-1)(3x-2a—1),1分

令f'(x)=0,得x=1或.………2分

,即a>1时，若x∈(一∞,1),则f'(x)<0,f(x)单调递减；

若,则f'(x)>0,f(x)单调递增；

若,则f'(x)<0,f(x)单调递减………………4分

,即a=1时，f'(x)=-3(x—1)²≤0,则f(x)在R上单调递减.………5分

,即a<1时，若,则f'(x)<0,f(x)单调递减；

若,则f'(x)>0,f(x)单调递增；

若x∈(1,+∞),则f'(x)<0,f(x)单调递减.…………7分

综上，当a>1时，f(x)在(一∞,1),上单调递减，在上单调递增；

当a=1时，f(x)在R上单调递减；当a<1时，f(x)在,(1,十∞)上单调递

减，在上单调递增.……………8分

(2)由f(2)=—(2—a)=0,得a=2,………………9分

则f(x)=—(x-1)²(x-2)=—x³+4x²—5x+2,则f'(x)=-3x²+8x-5.……10分

设切线l与曲线y=f(x)相切于点(xo,yo),则yo=—x³+4x?—5x。+2,f'(x₀)=-3x?

+8x₀—5,…………………11分

所以l的方程为y-yo=f'(x。)(x-x。),

将点(0,2)的坐标代入，得2—yo=f'(x₀)(-xo),……12分

【高三数学·参考答案第4页(共7页)】·27-32C·

则2—(-x³+4x?—5x。+2)=(-3x2+8x。—5)(一xo),即2x?(x。—2)=0,解得xo=0

或xo=2.……………13分

当xo=0时，k₁=f'(0)=-5;当xo=2时，k₁=f'(2)=-1.…………14分

故l的斜率为一5或—1.………15分

18.(1)证明：易知在[0,1]上单调递减，在(1,十∞)上单调递增，……………1分

所以g(x)在(0,1)上有最小值，且最小值为g(1)=2.…………………2分

因为2>1,所以g(x)为俏函数.…………3分

当a∈N*,且a≥2时，g(x)在(0,a)上的最小值为2,且2≤a,所以g(x)的俏值只能为1,

故g(x)的俏值唯一.………………4分

(2)解：h(x-2)是俏函数.………5分

理由如下：

将h(x)的图象向右平移两个单位长度，得到h(x—2)的图象.…………6分

因为h(x)在[-2,-1]上先减后增，所以h(x-2)在[0,1]上先减后增.………………7分

又h(x)的值域为(1,4),所以h(x-2)在(0,1)上有最小值，且最小值大于1,………8分

所以h(x)是俏函数，且h(x)的一个俏值为1.…………9分

(3)解：令,则4ˣ-²+4²-x=(2ˣ-²+2²-z)²—2=t²-2,……………10分

则f(x)=2—t²+6t+8=—t²+6t+10=p(t),则p(t)=—(t-3)²+19(t≥2),

所以当t=3时，p(t)取得最大值19,故f(x)的最大值为19.…………11分

由,得,则

因为p(t)在(2,3)上单调递增，在[3,十∞]上单调递减在(一∞,2)上单

调递减，在[2,十∞]上单调递增，…………12分

所以由复合函数的单调性可知f(x)上单调递增，

+∞)上单调递减………………………13分

因为f(4-x)=-42-x—4ˣ-²+6(2²⁻x+2ˣ-2)+8=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=

2对称，

所以f(x)上单调递增，上单调递减.……

……………………14分

因为f(2)=18.

所以f(x)在(0,1)上无最小值，在(0,2)上无最小值，在(0,3)上无最小值，在[0,4]上有最小

【高三数学·参考答案第5页(共7页)】·27-32C·

值，且最小值为f(4),……………………16分

f(x)在(0,a)(a≥5)上有最小值，但最小值都小于a,故f(x)的俏值为4.………17分

【注】第(3)问中，未得到f(x)的图象关于直线x=2对称，但正确判断了f(x)在(一∞,2)

上的单调区间，不扣分.另外，第(3)问还可以这样解答：

令p(x)=2ˣ-²+2²×,p(4-x)=2²-x+2*-²=p(x),所以p(x)的图象关于直线x=2对

称，当x≥2时，p'(x)=(2x-²—2²-x)ln2≥0,当且仅当x=2时，等号成立，所以p(x)在

[2,+∞]上单调递增，在(一∞,2)上单调递减.…………10分

令t=2ˣ⁻²+2²⁻*≥2,则t²=4²-²+42-+2,则4ˣ⁻²+4²-x=t²-2,则φ(t)=2—t²+6t+8=

一(t—3)²+19,则φ(t)在(一∞,3)上单调递增，在(3,十∞)上单调递减，

所以f(x)max=φ(3)=19.…………………12分

当x∈[0,1]时，,此时φ(t)在上无最小值，所以f(x)在[0,1]上无最

小值.…………………13分

当x∈[0,2]或x∈[0,3]时,此时φ(t)在上无最小值，所以f(x)在(0,

2]上无最小值，在(0,3)上无最小值.……………………14分

当x∈[0,4]时,此时φ(t)在上有最小值，且最小值为

,则f(x)在[0,4]上有最小值，且最小值大于4.……………15分

当x∈[0,a](a≥5)时，t∈[2,2a-²+2²-],2a⁻²+2²-a>8,此时f(x)的最小值为φ(2a-²+

2²-a)<φ(8)<0<a.………………16分

综上，f(x)的俏值为4.……………………17分

19.(1)证明：设,则……1分

当x<0时，g'(x)<0,当x>0时，g'(x)>0,