3 函数的单调性和最值说课稿2025学年北师大版2019必修第一册-北师大版2019

3函数的单调性和最值说课稿2025学年北师大版2019必修第一册-北师大版2019学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容北师大版2019必修第一册教材中的“3函数的单调性和最值”章节，主要内容包括：函数单调性的定义和性质，单调区间和单调函数的判定方法，以及函数最值的概念、求法及应用。通过本节课的学习，学生能够掌握函数单调性和最值的基本概念和计算方法，为后续学习函数图像和极限打下基础。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模核心素养。通过研究函数的单调性和最值，学生能够抽象出函数性质的本质特征，发展逻辑推理能力，学会从实际问题中抽象出数学模型，并运用数学语言进行表达和解释。此外，通过解决与单调性和最值相关的问题，学生将提升解决实际问题的能力，增强数学应用意识。教学难点与重点1.教学重点

-理解函数单调性的概念：明确单调递增和单调递减的定义，能够区分不同类型的单调性。

-掌握判定函数单调性的方法：通过导数的符号判断函数的单调区间，理解导数与函数单调性之间的关系。

-学习求函数最值的方法：理解闭区间上连续函数的最值定理，掌握利用导数求极值点的步骤。

2.教学难点

-函数单调性的直观理解：对于非初等函数，学生可能难以直观地理解其单调性。

-导数与函数单调性的关系：学生可能难以将导数的符号与函数的单调性直接对应起来。

-最值问题的求解：在多变量或复杂函数的情况下，学生可能难以找到函数的极值点，或者难以判断极值点是否为最值。

-应用实例分析：将单调性和最值的概念应用于实际问题中，学生可能难以建立数学模型并解决问题。

例如，在讲解导数与函数单调性的关系时，重点在于引导学生理解导数的正负号与函数单调区间的关系，而不是单纯记忆公式。在解决最值问题时，难点在于帮助学生识别并利用函数的对称性、周期性等特性来简化问题。通过具体的实例，如求解二次函数、幂函数和指数函数的单调性和最值，可以让学生在实践中掌握这些难点。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过系统的讲解，帮助学生理解函数单调性和最值的基本概念。

2.讨论法：组织学生讨论不同类型函数的单调性，培养分析问题和解决问题的能力。

3.案例分析法：通过具体案例，让学生在实践中理解和应用单调性和最值的知识。

教学手段：

1.多媒体演示：利用PPT展示函数图像和导数图形，直观展示函数的单调性和最值。

2.实践软件应用：使用数学软件如MATLAB或GeoGebra进行函数图像的绘制和导数的计算，增强学生的动手能力。

3.互动式教学：通过提问和回答环节，激发学生的思考，提高课堂参与度。教学过程一、导入新课

（老师）同学们，我们之前学习了函数的基本概念和性质，今天我们将进一步探讨函数的一个重要特性——单调性和最值。请大家回顾一下，什么是函数的单调性？我们如何判断一个函数是单调递增还是单调递减的？

（学生）函数的单调性是指函数在其定义域内，随着自变量的增加，函数值也相应地增加或减少的性质。我们可以通过观察函数图像或计算导数的符号来判断函数的单调性。

（老师）很好，那么我们如何更精确地判断一个函数的单调区间呢？接下来，我们将通过具体例子来学习。

二、新课讲授

1.单调性的定义和性质

（老师）首先，我们来明确函数单调性的定义。一个函数在其定义域内，如果对于任意的x1、x2，当x1<x2时，总有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），那么这个函数就称为单调递增（或单调递减）的。

（学生）我明白了，单调递增意味着随着x的增加，函数值也增加；单调递减则是相反。

（老师）很好。接下来，我们来看几个性质：

（1）如果一个函数在某个区间内单调递增，那么它的导数在这个区间内恒大于0。

（2）如果一个函数在某个区间内单调递减，那么它的导数在这个区间内恒小于0。

2.单调区间的判定方法

（老师）现在，我们来学习如何判定一个函数的单调区间。首先，我们需要求出函数的导数。

（学生）求导数的方法我们之前已经学过了。

（老师）对，现在我们以一个例子来演示：

例子：判断函数f(x)=x^3-3x+2的单调区间。

（学生）首先，我们求出f(x)的导数f'(x)=3x^2-3。

（老师）很好，接下来，我们要找出导数的零点，即解方程3x^2-3=0。

（学生）解得x=-1和x=1。

（老师）现在，我们将数轴分为三个部分：x<-1，-1<x<1，x>1。我们分别在每个区间内取一个点，比如x=-2，x=0，x=2，然后计算这些点对应的导数值。

（学生）我明白了，老师会演示这个过程。

（老师）好的，我们计算得到f'(-2)=9，f'(0)=-3，f'(2)=3。由于f'(-2)>0，f'(0)<0，f'(2)>0，所以函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减。

3.函数最值的求法

（老师）接下来，我们来学习如何求函数的最值。对于闭区间上的连续函数，我们可以利用最值定理来求解。

（学生）最值定理是什么？

（老师）最值定理指出，如果一个函数在闭区间上连续，那么它在这个区间上一定存在最大值和最小值。

（学生）那我们如何求最值呢？

（老师）首先，我们需要找出函数的导数，然后找出导数的零点。这些零点可能是函数的极值点，也可能是端点。接下来，我们比较这些点对应的函数值，找出最大值和最小值。

（学生）明白了，老师会演示这个过程。

（老师）好的，我们以一个例子来演示：

例子：求函数f(x)=x^2-4x+3在闭区间[1,3]上的最值。

（学生）首先，我们求出f(x)的导数f'(x)=2x-4。

（老师）解得f'(x)=0时，x=2。这是函数的极值点。

（学生）接下来，我们比较端点1和3以及极值点2对应的函数值。

（老师）好的，计算得到f(1)=0，f(2)=-1，f(3)=0。因此，函数在闭区间[1,3]上的最大值为0，最小值为-1。

三、课堂练习

（老师）现在，请大家完成以下练习题，巩固我们今天所学的内容。

（学生）好的，老师请布置练习题。

四、课堂小结

（老师）今天我们学习了函数的单调性和最值。我们明确了单调性的定义和性质，学会了判定函数的单调区间，以及如何求闭区间上连续函数的最值。希望大家能够通过练习题进一步巩固所学知识。

（学生）谢谢老师，我们明白了。

五、布置作业

（老师）请大家完成以下作业，为下一节课做好准备。

（学生）好的，老师布置作业。

六、课堂反馈

（老师）同学们，今天的学习效果如何？有没有什么问题需要我解答？

（学生）老师，我有一个问题，关于如何判断一个函数的单调性，有时候我觉得很难直观地理解。

（老师）这是一个很好的问题。我们可以通过观察函数图像来帮助我们理解。有时候，我们可以通过绘制函数图像来直观地看出函数的单调性。当然，这需要我们具备一定的绘图技巧。如果你在绘图方面有困难，我可以帮你解答。

（学生）谢谢老师，我会尝试自己绘制函数图像。

（老师）很好，同学们，今天的课就到这里。希望大家能够通过今天的课堂学习，对函数的单调性和最值有更深入的理解。下课！学生学习效果学生学习效果

1.理解与掌握函数单调性的概念

学生能够清晰地理解函数单调性的定义，包括单调递增和单调递减的含义。他们能够识别并描述函数在其定义域内随自变量增加或减少时，函数值的变化趋势。

2.应用导数判断函数单调性

学生掌握了利用导数来判断函数单调性的方法。他们能够计算函数的导数，并分析导数的符号来确定函数的单调区间。这种能力的提升对于理解函数的局部行为至关重要。

3.掌握求函数最值的方法

学生学会了如何求闭区间上连续函数的最值。他们能够识别函数的极值点，并通过比较极值点和端点的函数值来确定最大值和最小值。这一技能对于解决实际问题非常有用。

4.提高数学建模能力

5.增强逻辑推理能力

本节课的学习要求学生进行逻辑推理，从导数的符号推断出函数的单调性，以及从函数的极值点推断出最值。这种推理能力的提升对于学生数学思维的发展具有重要意义。

6.提高解决实际问题的能力

学生通过学习如何应用单调性和最值来解决实际问题，如优化问题、最大最小值问题等。这种能力对于他们在未来遇到类似问题时能够独立思考和解决问题至关重要。

7.增强自主学习能力

学生在课堂上积极参与讨论，通过小组合作和独立思考，提高了自主学习能力。他们能够主动查找资料，解决学习中遇到的问题，这对于终身学习是非常有益的。

8.培养了良好的学习习惯

学生在本节课的学习过程中，养成了认真听讲、积极思考、认真完成作业的良好学习习惯。这些习惯将有助于他们在未来的学习中取得更好的成绩。典型例题讲解1.例题：判断函数f(x)=x^3-3x+2的单调区间。

解答：首先，求出f(x)的导数f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，解得x=-1和x=1。将数轴分为三个部分：x<-1，-1<x<1，x>1。取x=-2，x=0，x=2，分别计算f'(-2)=9，f'(0)=-3，f'(2)=3。因此，f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减。

2.例题：求函数f(x)=x^2-4x+3在闭区间[1,3]上的最值。

解答：求出f(x)的导数f'(x)=2x-4。令f'(x)=0，解得x=2。计算f(1)=0，f(2)=-1，f(3)=0。因此，f(x)在闭区间[1,3]上的最大值为0，最小值为-1。

3.例题：求函数f(x)=e^x-x在区间(0,1)上的最小值。

解答：求出f(x)的导数f'(x)=e^x-1。令f'(x)=0，解得x=0。计算f(0)=1，f(1)=e-1。由于f'(x)在(0,1)上恒大于0，所以f(x)在(0,1)上单调递增。因此，f(x)在区间(0,1)上的最小值为f(0)=1。

4.例题：求函数f(x)=ln(x)-x^2在区间(1,e)上的最大值。

解答：求出f(x)的导数f'(x)=1/x-2x。令f'(x)=0，解得x=1/2。计算f(1)=0，f(e)=1-e^2。由于f'(x)在(1,e)上恒小于0，所以f(x)在(1,e)上单调递减。因此，f(x)在区间(1,e)上的最大值为f(1)=0。

5.例题：求函数f(x)=x^3-6x^2+9x-1在区间[0,3]上的最值。

解答：求出f(x)的导数f'(x)=3x^2-12x+9。令f'(x)=0，解得x=1和x=3。计算f(0)=-1，f(1)=3，f(3)=-1。由于f'(x)在[0,1]上恒大于0，在[1,3]上恒小于0，所以f(x)在x=1处取得局部最大值3。因此，f(x)在区间[0,3]上的最大值为3，最小值为-1。教学反思与总结今天这节课，我们学习了函数的单调性和最值。我觉得整体上，同学们的表现还是挺不错的，大家都能积极参与到课堂讨论中来，对于单调性和最值的概念也有了更深入的理解。

在教学过程中，我尝试通过实例和练习来帮助学生理解这些抽象的概念。我发现，通过具体的例子，同学们更容易把握函数单调性和最值的判断方法。比如，在讲解函数f(x)=x^3-3x+2的单调区间时，我用了数轴和导数来辅助讲解，这样同学们就能更直观地看到函数的变化趋势。

当然，我也发现了一些问题。比如，在讲解函数最值时，有些同学对于如何确定极值点感到困惑。这可能是因为他们对导数的理解还不够深入，或者是对极值点的判断还不够熟练。因此，我打算在接下来的教学中，加强对导数概念和极值点判断的复习和练习。

在情感态度方面，同学们表现出了对数学学习的热情和好奇心，这是非常宝贵的。我也注意到，在讨论环节，同学们能够积极发表自己的看法，这表明他们已经具备了基本的数学思维和表达能力。

未来的教学中，我会继续探索更有效的教学方法，比如通过小组合作、项目式学习等方式，让学生在解决问题的过程中学习知识。同时，我也会加强对学生个体差异的关注，确保每个学生都能在课堂上有所收获。总之，这节课让我收获颇丰，也让我对未来教学充满了期待。内容逻辑关系①函数单调性的定义

-定义：函数在其定义域内，随着自变量的增加，函数值也相应地增加或减少的性质。

-关键词：单调递增、单调递减、自变量增加、函数值增加或减少。

②判定函数单调性的方法

-导数法：通过计算