概率基础及其统计 1

随机事件与概率《概率论与数理统计》同济大学数学科学学院

01目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式目录/Contents1.1随机事件及其运算一、随机试验二、样本空间三、随机事件四、随机事件间的关系和运算一、随机试验随机现象——在个别试验中呈现不确定的结果,而在大量重复试验中结果呈现某种规律性的现象.这种规律性称为统计规律性.概率论是一门研究随机现象及其统计规律的学科.为了研究随机现象的统计规律性,就要对客观事物进行观察,这个过程叫做试验.概率论所讨论的试验称为随机试验,它具有以下三个特点:在相同的条件下试验可以重复进行;01OPTION02OPTION03OPTION每次试验的结果不止一个,但是试验之前可以明确;每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.一、随机试验例1抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；随机试验的例子54321抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；某快餐店一天内接到的订单量；航班起飞延误的时间；一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。二、样本空间全体样本点的集合称为样本空间,记为,也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成的集合,集合中的元素就是样本点.样本空间可以是有限集,可数集,一个区间（或若干区间的并集）.一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为

二、样本空间在前面的例子中:抛掷一枚均匀硬币的样本空间某快餐店一天内接到的订单量的样本空间航班起飞延误时间的样本空间01OPTION02OPTION03OPTION｛H、T｝=｛正面朝上、反面朝上｝这些在一次试验中可能出现，也可能不出现的一类结果称为随机事件，简称为事件.从集合的角度:一个随机试验所对应的样本空间的子集称为一个随机事件.用大写字母等来表示随机事件.三、随机事件同济大学数学科学学院&人民邮电出版社仅含一个样本点的随机事件称为基本事件.三、随机事件在事件的定义中，注意以下几个概念：每次试验中一定发生的事件称为必然事件.包含所有的样本点,因此每次试验中必有中的一个样本点出现,故是必然事件.每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件.空集中不包含任何样本点,因此是不可能事件.01OPTION任一随机事件A是样本空间的一个子集。02OPTION03OPTION当试验的结果属于该子集时，就说事件A发生了。相反地，如果试验结果不属于该子集，就说事件A没有发生。04OPTION05OPTION同济大学数学科学学院&人民邮电出版社三、随机事件例

3抛掷一枚均匀的骰子的样本空间为同济大学数学科学学院&人民邮电出版社（1）事件的包含1、随机事件之间的关系四、随机事件之间的关系与运算若事件

的发生必然导致事件的发生,则称事件包含在事件中.记作

.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社记作.1、随机事件之间的关系（2）事件的相等若事件的发生必然导致事件的发生,且事件的发生必然导致事件的发生,则称事件与事件相等。如果事件与不可能同时发生，即没有相同的样本点，则称事件与互不相容（互斥）.（3）互不相容事件同济大学数学科学学院&人民邮电出版社2、随机事件之间的运算（1）事件的并事件或至少有一个发生时,称事件与事件的并事件发生,记为.（2）事件的交（积）事件及事件同时发生时,称事件与事件的交事件发生,记为.事件的并事件的交同济大学数学科学学院&人民邮电出版社2、随机事件之间的运算（3）事件的差（4）对立事件事件发生且事件不发生,称事件与事件的差事件发生,记为.事件称为事件的对立事件（逆、余）,记为.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社2、随机事件之间的运算123同济大学数学科学学院&人民邮电出版社3、事件的运算性质①交换律②结合律③分配律④对偶律同济大学数学科学学院&人民邮电出版社3、事件的运算性质例4用事件的运算关系式表示下列事件，则：1234567同济大学数学科学学院&人民邮电出版社目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式公理1非负性

公理2规范性1.2概率的定义及其性质

给定一个随机试验,为相应的样本空间,对每一个事件,规定一个实数与之对应,且满足如下公理：有公理3可列可加性即对任意一列两两互不相容事件则称为事件的概率.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社由概率的三条公理，可以推导出概率的一些性质.性质1性质2有限可加性1.2概率的定义及其性质性质1性质4性质3性质2设为两两互不相容事件,则有性质4若则性质3对任意事件有同济大学数学科学学院&人民邮电出版社性质5（减法公式）

设为任意两个事件,则性质6（加法公式）

设为任意两个事件,则1.2概率的定义及其性质该公式可以推广到多个事件上.三个事件的加法公式为:同济大学数学科学学院&人民邮电出版社由性质６的加法公式Ｐ(Ａ∪Ｂ)＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)－Ｐ(ＡＢ)及已知条件，可得０.５＝０.2＋０.４－Ｐ(ＡＢ)。由此解得Ｐ(ＡＢ)＝０.１.再由性质５的减法公式得1.2概率的定义及其性质例2

解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

则，至少发生一个的概率是多少？1.2概率的定义及其性质例3已知三个随机事件满足同济大学数学科学学院&人民邮电出版社解1.2概率的定义及其性质例

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解1.2概率的定义及其性质例

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目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式目录/Contents1.3等可能概型一、古典概型二、几何概型随机事件发生的可能性的大小常用区间中的数值加以刻划.这个数值称为概率,记为规定:一、古典概型古典概型的基本思路:随机试验的样本空间只有有限个样本点；每次试验中各个样本点发生的可能性相等.AB记为样本点总数,为事件所包含的样本点个数，则事件的概率为解而总取法数（即样本点总数）为一、古典概型例（抽奖问题）某公司年会抽奖,共有张奖券,其中只有一张有奖.每位员工可抽取一张.求第位员工中奖的概率（）.不放回情形中，第个员工抽到有奖券意味着前个员工均没有抽到,相应的取法个数为同济大学数学科学学院&人民邮电出版社这个结果和次序无关.因此,所求概率为一、古典概型同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、几何概型是古典概型的推广,保留每个样本点发生的等可能性，样本空间放宽为无穷不可列个样本点，一般地，设样本空间是某个区域（直线、平面或空间）.则事件的概率为这里分别表示长度、面积或体积.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、几何概型例3碰面问题甲、乙两人约定在中午的12时到13时在学校咖啡屋碰面，并约定先到者等候另一人10分钟，过时即可离去.求两人能碰面的概率.解设甲到达咖啡屋的时间为,乙到达时间为，则,两人能碰面的事件所对应的区域为右图中带形区域所求概率为同济大学数学科学学院&人民邮电出版社目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式目录/Contents1.4条件概率与事件的相互独立性一、条件概率二、事件的相互独立性一、条件概率定义1给定一个随机试验,是它的样本空间,任意两个事件,其中,称为已知事件发生的条件下事件发生的条件概率.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社条件概率也满足概率的公理化定义的三条基本性质,即:（1）公理1非负性（2）公理2规范性（3）公理3对可列无限个两两不相容事件可列可加性一、条件概率同济大学数学科学学院&人民邮电出版社相仿可以得到如下性质:以及等类似七条性质.一、条件概率同济大学数学科学学院&人民邮电出版社变形后有由条件概率公式:当（或）时,有或或上式称为概率的乘法公式.一、条件概率乘法公式可推广到多个事件上去,例如,三个事件的乘法公式为同济大学数学科学学院&人民邮电出版社注意：相互独立与互不相容有何区别?二、事件的相互独立性称两个事件是相互独立的,如果上式等价于独立性的直观意义是一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率.独立性往往蕴含在事物的内部.

当时.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社不难计算可见二、事件的相互独立性例5抛掷两枚均匀硬币2次,则:事件与是独立的.解即事件与是独立的.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社也相互独立.即有相应可列出其它等式.定义2若事件独立，则二、事件的相互独立性同济大学数学科学学院&人民邮电出版社解二、事件的相互独立性例

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三个等式都成立.定义3称事件组是两两独立的,如果有二、事件的相互独立性同济大学数学科学学院&人民邮电出版社四个等式都成立.二、事件的相互独立性定义4称事件组是相互独立的,如果有同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、事件的相互独立性独立性的定义可推广到个事件上去.特别地,当事件相互独立时,有同济大学数学科学学院&人民邮电出版社一个产品或一个元件、一个系统的可靠性可以用可靠度来刻划.所谓可靠度指的是产品能正常工作的概率.以下讨论中,假定一个系统中的各个元件能否正常工作是相互独立的.二、事件的相互独立性例7系统可靠性问题同济大学数学科学学院&人民邮电出版社两个基本模型:（1）串联系统二、事件的相互独立性元件的可靠度为,则系统的可靠度为设一个系统由个元件串联而成,第个（2）并联系统设一个系统由个元件并联而成,第个元件的可靠度为,则系统的可靠度为同济大学数学科学学院&人民邮电出版社解二、事件的相互独立性例

同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

解二、事件的相互独立性例

（A）0.1（B）0.2（C）0.3（D）0.4同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

解二、事件的相互独立性例同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式

设为随机试验,为相应的样本空间,为事件组,若满足（1）（2）则称该事件组为完备事件组.完备事件组同济大学数学科学学院&人民邮电出版社定理1全概率公式全概率公式与贝叶斯公式同济大学数学科学学院&人民邮电出版社定理2贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式当时,贝叶斯公式是已知“结果”，推断该“结果”由某“原因”发生的概率。原因A1原因A2原因An结果B……同济大学数学科学学院&人民邮电出版社求（1）取到白球的概率；（2）已知取到的是白球，则这个白球属于第二个箱子的的概率。全概率公式与贝叶斯公式例有三只箱子：第一个箱子中有四个黑球和一个白球；第二个箱子中有三个黑球和三个白球；第三个箱子中有三个黑球和五个白球。任取一箱,再从中任取一个球.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社且又全概率公式与贝叶斯公式解以分别表示取到的是第个箱子，表示取到的是白球,则事件组构成一个完备事件组.所以,由全概率公式得再由贝叶斯公式得同济大学数学科学学院&人民邮电出版社全概率公式与贝叶斯公式例2