河北省唐山市迁安市2026-2027学年高二上学期第1次诊断性月考数学试题（含解析）

高二年级第1次诊断性月考数学试题一、单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据直线的方向向量计算直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围求解倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，由向量是直线的一个方向向量，故直线斜率，则，故.2.设圆M的方程为，直线L的方程为，点P的坐标为，那么（）A.点P在直线L上，但不在圆M上 B.点P在圆M上，但不在直线L上C.点P既在圆M上，又在直线L上 D.点P既不在直线L上，也不在圆M上【答案】C【解析】【分析】将点P的坐标分别代入圆的方程和直线方程验算即可.【详解】由条件知：，代入圆得：，∴点P在圆上；再将点P的坐标代入直线，得：，∴点P也在直线上；故选：C.3.已知向量，，若，则（）A.1 B.-1 C.2 D.-2【答案】C【解析】【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解.【详解】由可得：，展开得：①，已知，则，，，代入①可得：，解得：.4.若直线l沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位后，回到原来位置，则直线l的斜率为A. B.一 C. D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据题意有其倾斜角的正切值为，故选B．考点：直线的平移和直线的斜率．5.与直线关于点对称的直线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果.【详解】解析：设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.故选:D.本题考查了直线关于点的对称直线问题,一般转化为点关于点的对称点问题解决,属于基础题.6.若两平行直线与之间的距离是，则（）A. B. C.12 D.14【答案】C【解析】【分析】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，即可求解.【详解】因为直线与平行，所以，即，因为直线与直线的距离为，所以，即，解得或（舍去），故．故选：C.7.在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴相切，则圆心的横坐标是（）A. B.2或 C.或10 D.【答案】C【解析】【分析】设出圆的方程，代入，得到方程，求出答案.【详解】圆与轴相切，设圆方程为，将，代入得，化简得，得，解得或10.故选：C8.已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（）A. B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】求出直线所过定点，确定曲线的形状，再利用圆的性质求出最小值.【详解】直线过定点，曲线，即表示以原点为圆心，2为半径的上半圆，点在半圆内，当且仅当时，线段的长最短，所以.9.如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以向量为基底向量，表示出，由向量模的公式求解即可.【详解】，，，.故选：A.10.已知直线过圆的圆心，则的最小值为（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】先求得圆心，根据直线过圆心，可得，代入所求，根据二次函数的性质，即可得答案.【详解】由题意得圆心为（1,1），因为直线过圆心，所以，即，所以，所以当时，的最小值为.故选：A11.在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成角的向量法求解即可.【详解】因为直三棱柱，所以底面，又底面，所以，，又因为，所以两两垂直，以为轴建立如图所示坐标系，设，则，，，，所以，，设直线与直线所成角为，则，所以直线与直线所成角的余弦值为.故选：B12.过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据圆的切线的性质，求得，得到点的轨迹方程为，令，转化为圆上的动点到定点的连线的斜率，结合直线与圆的位置关系，列出不等式，即可求解.【详解】如图所示，根据圆的切线的性质，可得，因为为正三角形，可得，所以，即点的轨迹方程为，令，其几何意义为圆上的动点和定点的连线的斜率，由，可得，则圆心到直线的距离为，令，即，整理得，即，解得，即的取值范围为.二、多选题（本大题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）13.给出下列命题，其中是真命题的是（）A.已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底．B.若3个空间向量满足且，则C.若空间向量满足，则是钝角．D.若空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面．【答案】AD【解析】【分析】根据空间中基底的性质，分析可判断A的正误；根据空间中向量的位置关系，分析可判断B的正误；根据数量积公式，分析可判断C的正误；根据四点共面的性质，分析可判断D的正误.【详解】选项A：假设共面，则存在实数，使得，整理得，因为是空间的一个基底，所以不共面，则，不成立，故假设错误，即不共面，所以也是空间的一个基底，故A正确；选项B：因为为空间向量，且满足，，所以与可能平行，也可能相交，无法确定，故B错误；选项C：若夹角为，，满足，但不是钝角，故C错误；选项D：因为，且，所以P，A，B，C四点共面，故D正确.14.设直线与，则（）A.当时， B.当时，C.当时，l、n间的距离为 D.坐标原点到直线n的距离的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】利用直线平行、垂直的判定判断A、B；由直线平行求参数a，再代入验证，进而应用平行线距离公式求距离，由点线距离公式和二次函数性质求原点到直线n的距离最值，即可判断C、D.【详解】A：时，，，易知，正确；B：时，，，则，故不成立，错误；C：时，，则，可得或，当时，，，两线重合，排除；所以，由A知：它们的距离，正确；D：坐标原点到直线n的距离，故时，正确.故选：ACD15.已知圆O：，则下列说法正确的有（）A.圆在点处的切线方程为B.直线与圆相切C.直线截圆所得的弦长为D.圆C：与圆外离【答案】AD【解析】【分析】对于A，利用切线过且和垂直可得切线方程；对于B，比较直线到圆心距离与圆半径大小可判断选项正误；对于C，算出直线到圆心距离，再由弦长公式可判断选项正误；比较两圆圆心距与两圆半径和大小关系可判断选项正误.【详解】对于A，易得在圆O上，且在A点处切线与垂直.，则切线斜率为，切线方程为：，故A正确；对于B，圆心到直线的距离为，该距离小于圆O半径1，故直线与圆O相交，故B错误；对于C，直线到圆心距离为，则直线截圆O所得的弦长为：，故C错误；对于D，两圆圆心距为，两圆半径和为，从而两圆外离，故D正确.16.已知圆，直线，则（）A.直线恒过定点B.当时，直线与圆相切C.存在实数，使得直线与圆相交于两点，且D.若直线与圆交于两点，则面积的最大值为【答案】AC【解析】【分析】对于A选项，将直线方程变形；对于B选项代入m的值，联立圆的方程判断有几个解即可；对于C选项，运用点到直线的距离公式，判断圆心到直线的距离是否小于半径；对于D选项，运用半径与圆心到直线的距离关系求出三角形的面积公式，再根据m的取值，再根据三角形的面积公式求出最大值.【详解】对于A选项，由得，则当时，直线方程不含且，故过定点，A选项正确；对于B选项，当，则直线方程为，联立圆的方程得，解得，有两个解，故与圆相交，B选项错误；对于C选项，圆心坐标为，圆心到直线的距离为，因为，故，解得，因此存在实数，使得直线与圆相交于两点，且，故C选项正确；对于D选项，由C选项可得，则，，则，令，则，令，为开口向下的二次函数，对称轴为，因此在上，单调递增，所以，因此没有最大值，故D选项错误.17.古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为圆，则下列结论正确的是（）A.圆的方程为B.已知点，，圆上存在点，使得C.圆上恰有一个点到直线的距离为2D.在轴上存在异于，的两个定点，，使得【答案】ACD【解析】【分析】设，根据题意运用两点间距离公式列出方程，化简得轨迹C的方程，可判断选项A；满足的点的轨迹是以为直径的圆，根据圆与圆的位置关系判断出圆和圆外离，可判断选项B；由距离公式判断直线与圆的位置关系，从而判断C；设，并由距离公式结合点P的轨迹方程，利用待定系数法解方程，从而判断D.【详解】如图：对于选项A，因为在平面直角坐标系中，，，点满足.设，则，化简可得，故选项A正确；对于选项B，若，则在以为直径的圆上.因为中点，直径，所以圆的半径，则圆的方程为，设圆的半径为，则，圆心距，则圆和圆外离，即圆上不存在点，使得，故B错误；对于选项C，圆心到直线的距离为，则该直线与圆相离，因为，也就是圆上恰有一个点到直线距离等于（离直线最近那一点），故C正确；对于选项D，假设存在这样的点，可设，可得，两边平方并整理：，由P的轨迹方程为，可得，解得或（舍去），即存在，故D正确.三、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）18.已知点，直线，光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为________．【答案】【解析】【详解】设点关于直线对称点为则点在反射光线的延长线上，所在直线与垂直，反射光线所在直线方程为即19.已知两圆的方程：，：，则它们的公切线的条数为________．【答案】【解析】【分析】先把两圆一般方程配方求出圆心、半径，计算圆心距，对比圆心距与两半径和、差的大小，判断两圆位置为相交，再利用位置关系对应公切线数量的结论，得到公切线有条.【详解】圆的圆心坐标为，半径，圆的圆心坐标为，半径，圆心距，，，因为，所以圆和圆相交，根据两圆位置关系与公切线条数的对应规则，相交的两圆共有条公切线．20.已知点，，直线经过点，若，位于直线的两侧，则直线斜率的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】当直线斜率存在时，写出直线的点斜式方程，利用两点在直线两侧时代入直线一般式左端的乘积小于0列不等式求解斜率范围；再单独检验斜率不存在的情况，求解得到斜率范围.【详解】当直线斜率存在时，设直线的斜率为，由直线过点，可得直线的点斜式方程为，即，根据二元一次不等式表示平面区域的性质，若两点在直线两侧，则两点代入直线一般式左端的取值符号相反，即乘积小于0，因此有，化简得，即，解得，当直线斜率不存在时，直线方程为，此时、均在直线左侧，属于同侧，不符合题意，舍去，故直线斜率的取值范围为.21.过点作圆的切线，则的方程为_____【答案】或【解析】【分析】求出圆心及半径，再按直线是否垂直于轴分类求出切线方程.【详解】圆的圆心，半径，当切线的斜率不存在时，圆心到直线的距离为1，则的方程可以为，当切线斜率存在时，设其方程为，即，则，解得，的方程为，所以所求方程为或.故答案为：或22.已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______.【答案】【解析】【分析】设中点坐标，利用中点公式将圆上动点的坐标用中点坐标表示出来，再代入圆的方程，化简即得轨迹方程．【详解】设在圆上运动，则：①,设的中点，由中点坐标公式：，解得，将代入①：得化简得：即：因此线段中点的轨迹方程为：．23.如图，在棱长为2的正方体中，已知点，分别为直线，上的动点，给出下面四个结论：①异面直线，所成的角为；②点到平面的距离为定值；③若为中点，则点到距离为；④的最小值为则其中所有正确结论的序号是________．【答案】①②④【解析】【分析】连接，，先确定即为异面直线，所成的角，求解可判断选项①；利用线面平行的判定定理证明平面，即可判断选项②；利用等面积法求解点到的距离，即可判断选项③；利用异面直线间的公垂线距离最短，建立合适的空间直角坐标系，利用异面直线间的距离公式求解，即可判断选项④．【详解】解：①连接，，由正方体的几何性质可得，，所以异面直线，所成的角即为与所成的角即，因为为等边三角形，所以，故选项①正确；因为，且平面，平面，所以平面，则直线上的点到平面的距离相等，所以点到平面的距离为定值，故选项②正确；连接，，因为，，，所以，故为直角三角形，设点到距离为，由等面积法可得，，即，解得，所以若为中点，则点到距离为，故选项③错误；以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，，，2，，，0，，，0，，由三垂线定理可得，，，故向量是异面直线与的法向量，又，所以直线，公垂线的长度为，因为异面直线间的公垂线距离最短，所以的最小值为，故选项④正确．故答案为：①②④．四、解答题24.已知圆C的圆心在直线x+y﹣2＝0上，且经过点A（4，0），B（2，2）．（1）求圆C的方程；（2）若直线l过点P（3，4）与圆交于M，N两点，且弦长，求直线l的方程．【答案】（1）（2）x﹣3＝0或15x﹣8y﹣13＝0【解析】【分析】（1）求得圆心和半径，由此求得圆的方程.（2）根据直线的斜率存在和不存在进行分类讨论，结合弦长来求得直线的方程.【小问1详解】由题意可得：，AB中点坐标为M（3，1），则直线AB的垂直平分线方程为y﹣1＝x﹣3，与直线x+y﹣2