《智慧广场-排列问题》教案（3课时）-2026-2027学年青岛版（新教材）小学数学五年级上册

《智慧广场—排列问题》教案（3课时）-2026-2027学年青岛版（新教材）小学数学五年级上册一、学情分析学生在低年级已经学习过简单搭配问题，具备初步分类思考、简单列举的活动经验，能够借助文字、画图的方式记录简单的组合情况。五年级学生抽象思维逐步发展，但思考问题容易出现无序、重复或者遗漏的情况，区分排列与组合存在一定困难。本节课情境贴近生活，学生对于排队照相、数字组数等场景熟悉，便于开展动手探究。学生能够开展小组合作交流，但自主提炼有序排列方法、归纳排列规律，建立数学模型还需要教师持续引导。二、教材分析本节课为青岛版2026年秋季新教材五年级上册智慧广场内容，教材创设3名同学排成一行照相的生活情境，抛出核心问题：有多少种不同排法。教材引导学生通过列举、符号替代等方式开展探究，重点渗透有序思考，学习固定首位法，解决简单排列问题。本课属于综合与实践领域，是后续概率统计知识学习的基础，承载有序思考、符号化、模型思想的渗透任务。教材由3人基础排列逐步过渡到4人排列，再设置带有限制条件的变式，层层递进，引导学生在探究活动中感悟排列的本质：事物顺序变化，对应的排法就不同。三、核心素养教学目标依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》设定：1.数学眼光：能够从排队、组数等现实情境中识别排列问题，感知排列的现实意义，体会数学与生活的联系。2.数学思维：经历探究简单事物排列的全过程，掌握固定首位有序列举的方法，发展逻辑推理，养成有序、全面思考的习惯，做到不重复、不遗漏。3.数学语言：会用文字、字母、数字等符号表示排列对象，清晰表达排列思路与结果，发展符号意识。4.数学模型：能归纳简单全排列的规律，建立简单排列计数模型，会运用模型解决基础排列问题，发展模型意识。四、教学重难点教学重点：掌握固定首位有序列举的方法，探究简单事物的排列规律，能正确求出简单事物的排列总数。

教学难点：理解排列问题中“顺序”的意义，自主做到有序思考，建立排列计数模型，区分排列与组合。五、教学过程第1课时：认识排列，探究3人排队基础排列问题情境导入，引出问题师：同学们，大家平时照相的时候，几个人站成一排，调换位置，照片就不一样。今天我们走进智慧广场，一起研究排队照相中的数学问题。大家请看教材情境图：小冬、小华、小平3个同学排成一行照相。仔细观察，教材提出了一个核心问题：有多少种不同的排法？师：谁来说一说，这个问题是什么意思？

生：三个人站成一排，交换位置，算不同的排法，要把所有不一样的站法全部找出来。

师：说得很好。那大家先猜一猜，一共有多少种不同排法？

生1：3种。

生2：5种。

生3：6种。

师：大家的猜想不一样，我们不能只靠猜测，需要动手、动笔，把所有排法找出来验证猜想。请大家想一想，如果直接写名字，写起来比较麻烦，我们可以用什么办法简化记录？

生：可以用字母A、B、C分别代表小冬、小华、小平。

师：这个想法很棒，就是数学里的符号思想。我们约定：A代表小冬，B代表小华，C代表小平。现在请大家独立尝试写一写所有排列方式。【设计意图】依托教材照相情境导入，激发学生探究兴趣，鼓励学生猜想，引出探究任务，初步渗透符号表示的思路，直接对接教材例题。自主探究，展示不同写法学生独立书写，教师巡视，收集两类典型作品：无序列举、有序列举。

师：老师这里拿到两位同学的记录，我们一起来看一看。第一位同学写的：ABC、ACB、BAC、CAB。大家发现问题了吗？

生：漏了BCA、CBA，没有写全。

师：为什么会漏掉？

生：写的时候没有顺序，想到哪个写哪个，很容易写不全。

师：我们再看第二位同学写的：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。大家看一看，这里有没有重复或者漏掉？

生：没有，一共6种。

师：这位同学是按照什么顺序写出来的？请这名同学分享思路。

生：我先固定A在第一个位置，后面B和C交换，得到ABC、ACB；再固定B在第一个位置，后面A和C交换，得到BAC、BCA；最后固定C在第一个位置，后面A和B交换，得到CAB、CBA。

师：听明白了吗？这种方法叫做固定首位法，先确定第一个位置是谁，剩下两个人调换位置，依次更换首位人物，把所有情况写出来。这样思考有什么好处？

生：有顺序，不会重复，也不会漏掉。师：我们回到教材例题，教材也是推荐这种有序列举的策略。教材中先把小冬放在最左边，小华、小平交换位置，得到2种排法；把小华放在最左边，小冬、小平交换位置，得到2种排法；把小平放在最左边，小冬、小华交换位置，又得到2种排法。2+2+2=6种。

师：大家一起数一数，每固定1个人在首位，剩余2人可以产生几种排法？

生：2种。

师：一共有几个人可以放在首位？

生：3个人。

师：所以总排数怎么计算？

生：3×2=6种。【设计意图】对比无序列举与有序列举，凸显固定首位法的优势，结合教材原文讲解例题，由文字名字过渡到字母符号，完成从具体人物到符号抽象的转化，初步感知排列的计算逻辑。巩固辨析，理解排列的“顺序”师：我们继续思考，为什么调换两个人位置，就是一种新排法？

生：因为照相，位置不同，照片就不一样，顺序改变，排法就改变。

师：非常关键。排列问题，讲究顺序。顺序不同，结果不同。我们来做一个小练习：用数字1、2、3组成没有重复数字的三位数，一共有多少个？大家用今天学到的固定首位法写一写。

生独立完成，汇报：固定1在百位，123、132；固定2在百位，213、231；固定3在百位，312、321，一共6个。

师：对比照相问题和组数问题，大家发现共同点是什么？

生：都是3个事物，顺序变化，结果变化，都用固定首位法，总数都是3×2=6。师：我们一起梳理，3个对象全排列，固定第一位，剩下2个可以交换，每一个首位对应2种，3个首位，3×2=6种。

【设计意图】借助组数变式，巩固固定首位法，强化对排列核心特征“顺序不同，结果不同”的理解，初步感知排列模型。第2课时：拓展探究4人排列，归纳排列规律复习回顾师：上一节课我们学习了3人排队照相的排列问题，谁回顾一下，解决这类问题，我们用的是什么方法？要注意什么？

生：固定首位法，有序列举，做到不重复、不遗漏。3个人排队，一共3×2=6种排法。

师：很好。如果人数增加，变成4个人排队，又会有多少种不同排法？这就是本节课要继续研究的内容，教材把这个问题作为例题延伸，我们一起来探究。【设计意图】复习旧知，自然过渡到4人排列，承接教材递进式编排思路。探究4人全排列问题师：4名同学排成一行照相，一共有多少种不同排法？我们继续用字母A、B、C、D代表4名同学。大家想一想，如果固定A排在第一个位置，剩下B、C、D三个人，这三个人排列，有多少种排法？

生：上节课学过，3个人排列，3×2=6种。

师：没错。A固定在第一位，后面3人可以产生6种排法。那如果我们更换首位，固定B排在第一位，剩下A、C、D三个人，又有多少种排法？

生：也是6种。

师：同理，固定C在第一位，剩余3人排列，6种；固定D在第一位，剩余3人排列，6种。

师：一共有几个人可以放在第一位？

生：4个人。

师：每一个首位对应的排法是6种，那总排法怎么列式？

生：4×6=24种。

师：那6又是怎么来的？

生：3×2=6。

师：所以连起来写成4×3×2=24种。

师：我们梳理这个推理过程。4个事物全排列，第一步确定首位，有4种选择；选定首位后，第二个位置，只剩下3个对象，有3种选择；确定前两个之后，第三个位置剩下2个对象，2种选择；最后一个位置只剩1个对象。所以总排法：4×3×2=24。

师：大家对比3人排列和4人排列算式：3人：3×2=6；4人：4×3×2=24。观察算式，找找规律。小组内交流。小组交流后汇报。

生：有几个物体，就从这个数开始依次往下乘，一直乘到2。3个人，从3开始乘，3×2；4个人，从4开始乘，4×3×2。

师：总结得非常到位。几个不同事物进行全排列，求排法总数，可以从事物的数量开始，依次乘比它小1的数，一直乘到2。这就是简单全排列的计数规律。【设计意图】依托教材延伸问题，由3人迁移到4人，借助固定首位的思路，引导学生自主推理，逐步脱离全部列举，归纳排列乘法模型，发展逻辑推理能力。对比区分，辨别排列与组合师：现在我们来辨析一组题目，大家仔细读题，对比两个问题。

问题1：从A、B、C三名同学中选出2人，排成一行照相，有多少种排法？

问题2：从A、B、C三名同学中选出2人参加座谈会，有多少种选法？师：请大家先独立思考，写出结果。

生汇报：第一题，选两人排队，AB、BA、AC、CA、BC、CB，一共6种。第二题，选两个人开会，AB和BA是同一组，AC和CA同一组，BC和CB同一组，只有3种。

师：为什么同样是选出两个人，两道题结果不一样？

生：照相排队有顺序，交换位置就是不同排法；开会选两个人，没有顺序，交换两个人不算新的选法。

师：说得非常精准。这就是排列和组合最大区别：排列要看顺序，顺序不同结果不同；组合不看顺序，调换对象不算新情况。我们本节课研究的是排列问题，重点关注顺序。

师：回到教材，教材在智慧广场的自主练习部分，设置了类似辨析习题，就是帮助大家分清排列、组合。解决问题第一步，先要判断题目是否和顺序有关。【设计意图】设置对比辨析题，突破学生容易混淆排列、组合的难点，紧扣教材练习设计思路，帮助学生抓住排列本质特征。基础练习巩固师：我们完成教材自主练习基础题：用数字2、5、7组成没有重复数字的三位数，一共多少个？

生：3×2=6个。分别是257、275、527、572、725、752。

师：再一题：4名同学接力赛跑，安排4个人依次跑，一共有多少种不同出发顺序？

生：4×3×2=24种。【设计意图】使用教材配套习题，巩固排列模型，强化有序思考。第3课时：有限制条件的排列问题，模型综合运用（一）复习导入师：前两节课，我们学习了简单全排列，谁再来说一说简单全排列的规律？

生：n个不同物体全排列，排法总数，从n开始依次相乘，乘到2。3人：3×2，4人：4×3×2。

师：我们之前研究的，都是没有任何限制条件，所有人、所有数字都可以放在任意位置。但是生活中很多排列，会给出特殊要求，限制某个对象不能放在某个位置，或者必须放在某个位置。这就是本节课，教材拓展探究的内容，带限制条件的排列问题。【设计意图】复习无限制全排列，引出本节课新的探究方向，衔接教材变式问题。（二）探究例题变式：有限制条件排列师：请看教材拓展问题：小冬、小华、小平3人排队照相，如果小冬不能站在最左边，一共有多少种不同排法？大家先想一想，这个题目和第一节课3人排队原题有什么不一样？

生：原题没有限制，现在规定小冬不能站最左边。

师：遇到有特殊限制的排列题，我们解题的策略要调整，优先考虑有要求的位置或者人物。这里最左边这个位置有限制，小冬不能站。那谁可以站在最左边？

生：小华、小平两个人。

师：第一种情况，小华站在最左边。剩下小冬、小平两个人排后面两个位置，有几种排法？

生：小华、小冬、小平；小华、小平、小冬，2种。

师：第二种情况，小平站在最左边。剩下小冬、小华两个人排后面，几种排法？

生：小平、小冬、小华；小平、小华、小冬，2种。

师：小冬不能站最左边，所以最左边只有两种选择，每种选择后面2种排法，一共多少种？

生：2×2=4种。

师：我们把全部排法写出来验证：BAC、BCA、CAB、CBA，一共4种，没有问题。大家思考，这类带限制条件的排列，解题关键点是什么？

生：先处理有限制的位置或者人物，先排特殊位置，再排剩下普通位置。师：我们再看数字组数变式题：用数字0、2、4组成没有重复数字的三位数，一共多少个？大家想一想，这里的限制条件藏在哪里？

生：三位数的百位不能是0，0不能放在最高位。

师：很好，这是组数常见限制。优先安排百位，百位可以选2或者4，两种选择。如果百位选2，剩下0和4，十位个位排列：204、240；如果百位选4，剩下0和2，十位个位排列：402、420。一共几种？

生：2×2=4种。

师：大家尝试列举，看看有没有重复遗漏。

生列举核对。

师：我们总结，遇到有特殊限制的排列，解题顺序：先找特殊位置、特殊元素，优先安排；特殊位置安排完成，剩下元素按照普通全排列方法计算。【设计意图】选取教材拓展变式，学习有限制条件排列的解题策略，建立“优先处理特殊位置”的思考模型，巩固有序列举与乘法推理两种方法。（三）小组合作，综合探究师：题目：A、B、C、D四名同学排队照相，如果A必须站在第二个位置，一共有多少种排法？小组讨论。

小组汇报：A位置固定在第二个，不需要再安排A。剩下B、C、D三个人，安排第1、3、4三个位置，3个人排列，3×2=6种。

师：思路很清晰，有元素位置固定，直接固定这个元素，只排列剩下对象。我们写出其中一部分验证：BACD、BADC、CABD、CADB……一共6种。师：我们对比三道带限制的排列题目：第一种，某人不能在某个位置；第二种，0不能放在最高位；第三种，某人位置必须固定。共同的策略都是优先处理特殊要求。【设计意图】小组合作探究固定元素位置题型，进一步完善有限制排列解题模型，训练学生综合推理能力。（四）教材自主练习综合题训练师：完成教材自主练习综合题：四名同学排成一排拍照，其中小明不能排在最右侧