江苏省连云港市灌南名校协作体2027届高三上学期9质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江苏省连云港市灌南名校协作体2027届高三上学期9质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|1−xx+3≥0}，B=xxA.x−2<x<1 B.x−3<x<2 C.x−2<x≤12.已知复数z=1−2i1+i+i，则z的虚部为A.52 B.−12 C.53.已知向量a,b满足a−b=2,2aA.12 B.22 C.4.已知定义在R上的奇函数fx满足f2−x=fx，当0≤x≤1时，fxA.−13 B.−14 C.5.已知α∈(0,π)，若sin α+cos α=−12A.−38 B.−34 C.6.记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=2C，2b=3c，则tanB=(

)A.27 B.25 C.7.已知函数f(x)=x+1x−2，g(x)=ex+ax(a∈R)，若曲线y=f(x)上存在点P，使得点P关于A.−1e B.−1 C.1e8.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)=f′(x)，已知f(2x+1)和g(x+2)都是偶函数，且g(2)=1，则k=02025g(k)的值为A.1 B.−1 C.2025 D.−2025二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知实数m，n满足m<n<0，则(

)A.12m>12n B.310.已知函数f(x)=x|x|−2，则下列说法正确的是(

)A.f(x)为奇函数

B.f(x)在(−∞,−2)上单调递增

C.关于x的方程|f(x)|=1有2个解

D.若关于x的不等式f(x)+a+2<0恰有1个整数解，则实数a的范围是0<a<111.如图，若正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M是正方体ABCD−A1B1C1D1A.平面PCD截该正方体的截面面积为5

B.若PM=22，则点M的轨迹长度为23π

C.若M为B1C1的中点，则三棱锥P−DCM的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数y=f12x+1的定义域是[2,4]，则函数g(x)=f (x)ln13.已知函数fx=−4lnx−12x2+ax14.已知fx=−x2+6x−7,x≥3log2x+1,−1<x<3，关于x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知0<α<π2，(1)求sinα(2)若−π2<β<0，cosβ16.(本小题15分)已知f(x)=12ax2(1)求f(x)的单调区间;(2)函数f(x)的图象上是否存在两点A(x1,y1)，B(x2,y2)(其中x117.(本小题15分)已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60∘，E是BC的中点，点F在棱PC(1)证明：AE⊥PD；(2)若AB=2，PA=2，且直线EF与底面ABCD所成的角为45∘，求二面角18.(本小题17分)已知椭圆C:x2a2+(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线l:y=kx+m(k,m∈R)与椭圆C相交于A，B两点，且kOA ①求证：△AOB的面积为定值; ②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形?若存在，求出点P横坐标的取值范围;若不存在，说明理由．19.(本小题17分)已知函数y=f(x)的定义域是D.对于t∈D，定义集合Sf(t)(1)若f(x)=log2x(2)对于集合A，若对任意x∈A都有−x∈A，则称A是对称集．若D是对称集，证明：“函数y=f(x)是偶函数”的充要条件是“对任意t∈D，Sf(t)(3)若函数fx的定义域为D=0,+∞，对任意x∈D，f(x)=12e2x+121.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】ABD

10.【答案】AC

11.【答案】BC

12.【答案】(2,3)

13.【答案】a<5

14.【答案】−1,2−215.【答案】解：(1)因为0<α<π2，∴π4<α+所以sin (α+π4)=1−(13(2)因为cos (β2−π4又因为−π2<β<0，所以cos β=1−sin所以cos (α−β)=cos αcos β+sin αsin β

16.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，求导得f′(x)=ax+(1−2a)−2x=(ax+1)(x−2)x，∵a>0,x>0，∴ax+1>0恒成立，令f′(x)=0，解得x=2，

所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

(2)假设存在满足条件的两点A(x1,y1),B(x2,y2)，

不妨设x2>x1>0，直线AB的斜率kAB=f(x2)−f(x1)x2−x1，

代入f(x)表达式化简得kAB=12a(x1+x2)+(1−2a)−2(lnx2−lnx1)x2−x1，

函数在x0=x1+x22处的切线斜率17.【答案】解：(1)由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60得▵ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，又BC//AD，因此AE⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE，而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，所以AE⊥PD．(2)以A为原点，AE,AD,由AB=2,PA=2，结合菱形性质得A(0,0,0)，E(3,0,0)，C(因为F在PC上，故可设PF=λPC(0<λ<1)取底面ABCD的法向量为m=因为直线EF与底面所成角为45∘，则线面角的正弦值等于向量EF与向量

所以sin4

代入EF=(3λ−所以28化简解得λ=12，即F为PC中点，点F的坐标为设平面AFC的法向量为n1由AF=32令x1=1，可得y1所以n1=1,−设平面AFE的法向量为n2由AF=32令y1=2，可得x1所以n2=0,2,−1设二面角C−AF−E的平面角为θ，因此cosθ观察图象可得二面角C−AF−E为锐二面角，故cosθ=所以二面角C−AF−E的余弦值为15

18.【答案】(1)解：由椭圆的离心率e=ca=12，则a=2c，

焦距2c=2，则c=1，a=2．

所以b2=a2−c2=3，

所以椭圆的标准方程：x24+y23=1;

(2)①证明：由x24+y23=1y=kx+m，消去y得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则△=64k2m2−4(4k2+3)(4m2−12)=48(4k2−m2+3)>0，

x1+x2=−8km3+4k2，x119.【答案】解：(1)由定义得，S(2)证明：必要性：因为y=fx是偶函数，所以任意x∈D，fx对任意t∈D，若x∈Sft，即f所以−x∈Sft，所以对任意t∈D，S充分性：若对任意t∈D，Sf因为对任意t∈D，t∈Sft，所以−t∈S又−t∈Sf−t，所以t∈由①②得，对任意t∈D，ft=f所以函数y=fx是偶函数.综上，“函数y=fx是偶函数”的充要条件是“对任意t∈D，S(3)因为对于任