初二下册数学-第08讲-中心对称（提高）-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下)课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第08讲-中心对称授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标理解中心对称的有关概念和性质，掌握作中心对称图形的方法；理解中心对称图形的有关概念和基本性质；掌握平行四边形是中心对称图形。授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建体系搭建知识梳理1、两个图形形成中心对称的概念及性质（1）概念：如果把一个图形绕着某一点旋转，他能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心。（2）两个图形形成中心对称的性质①成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。②关于中心对称的两个图形之间的对应线段平行且相等或在同一条直线上且相等，对应角相等。2、作成中心对称图形的一般步骤（1）作出已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于中心的对称点——连接关键点和中心，并延长一倍确定关键点的对称点。（2）把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形。3、中心对称图形把一个图形绕某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。4、中心对称图形的性质中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。考点一：中心对称例1、如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称图形，则下列判断不正确的是（）A．∠ABC=∠A′B′C′ B．∠BOC=∠B′A′CC．AB=A′B′ D．OA=OA′【解析】选B．例2、如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论：（1）点E和点F，B和D是关于中心O的对称点；（2）直线BD必经过点O；（3）四边形ABCD是中心对称图形；（4）四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；（5）△AOE与△COF成中心对称，其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．5个【解析】选D．例3、在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为（2，1）．【解析】答案为：（2，1）．例4、如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．（1）求对称中心的坐标．（2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标．【解析】（1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D1D的中点，∵D1，D的坐标分别是（0，3），（0，2），∴对称中心的坐标是（0，2.5）．（2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是：4﹣2=2，∴B，C的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），∵A1D1=2，D1的坐标是（0，3），∴A1的坐标是（0，1），∴B1，C1的坐标分别是（2，1），（2，3），综上，可得：顶点B，C，B1，C1的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），（2，1），（2，3）．考点二：中心对称图形例1、下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解析】选：C．例2、将两个大小相等的圆部分重合，其中重叠的部分（如图1中的阴影部分）我们称之为一个“花瓣”，由一个“花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形，下面是一些由“花瓣”和圆组成的图形．（1）以上5个图形中是轴对称图形的有A，B，C，D，E，是中心对称图形有A，C，E．（分别用图形的代号A、B、C、D、E填空）．（2）若“花瓣”在圆中是均匀分布的，试根据上题的结果总结“花瓣”的个数与花瓣图形的对称性（轴对称或中心对称）之间的规律．当花瓣是偶数个，则即是中心对称图形也是轴对称图形，若花瓣是奇数个，则是轴对称图形．（3）根据上面的结论，试判断下列花瓣图形的对称性：①九瓣图形是是轴对称图形；②十二瓣图形是既是轴对称图形也是中心对称图形；③十五瓣图形是是轴对称图形；④二十六瓣图形是既是轴对称图形也是中心对称图形．【解析】（1）A，B，C，D，E；A，C，E；（2）当花瓣是偶数个，则即是中心对称图形也是轴对称图形，若花瓣是奇数个，则是轴对称图形；（3）①轴对称图形；②轴对称图形也是中心对称图形；③轴对称图形；④轴对称图形也是中心对称图形．考点三：关于原点对称的点的坐标例1、已知点P1（﹣4，3）和P2（﹣4，﹣3），则P1和P2（）A．关于原点对称 B．关于y轴对称C．关于x轴对称 D．不存在对称关系【解析】选C．例2、已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（）A．a=5，b=1 B．a=﹣5，b=1 C．a=5，b=﹣1 D．a=﹣5，b=﹣1【解析】选D．例3、已知点A（2a﹣3b，﹣1）与点A′（﹣2，3a+2b）关于坐标原点对称，则5a﹣b=3．【解析】由点A（2a﹣3b，﹣1）与点A′（﹣2，3a+2b）关于坐标原点对称，得，解得，5a﹣b=5×+=3，故答案为：3．例4、当m为何值时（1）点A（2，3m）关于原点的对称点在第三象限；（2）点B（3m﹣1，0.5m+2）到x轴的距离等于它到y轴距离的一半？【解析】（1）∵点A（2，3m），∴关于原点的对称点坐标为（﹣2，﹣3m），∵在第三象限，∴﹣3m＜0，∴m＞0；（2）由题意得：①0.5m+2=（3m﹣1），解得：m=；②0.5m+2=﹣（3m﹣1），解得：m=﹣．例5、如图，△DEF是由△ABC经过某种变换后得到的图形，分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，你发现它们之间有怎样的关系？如果三角形ABC中任意一点M的坐标为（m，n），那么它在△DEF中对应点N的坐标是什么？【解析】A（1，﹣1），B（2，﹣4），C（6，﹣3），D（﹣1，1），E（﹣2，4），F（﹣6，3），A与点D，点B与点E，点C与点F的横纵坐标互为相反数关系，如果三角形ABC中任意一点M的坐标为（m，n），那么它在△DEF中对应点N的坐标是（﹣m，﹣n）．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练实战演练课堂狙击1、下列说法中错误的是（）A．成中心对称的两个图形全等B．成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分C．中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心D．中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合【解析】选：B．2、已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是（）A．AO=BO B．BO=EOC．点A关于点O的对称点是点DD．点D在BO的延长线上【解析】选D3、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解析】选B．4、如图，直线l与⊙O相交于点A、B，点A的坐标为（4，3），则点B的坐标为（）A．（﹣4，3） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，4） D．（﹣3，﹣4）【解析】选：B．5、在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（2，1）【解析】选：A．6、如图，△ABC和△AB′C′成中心对称，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=，则BB′的长为4．【解析】在直角△ABC中，∠B=30°，BC=，∴AB=2AC=2∴BB′=2AB=4．故答案为：4；7、已知点A（2a+3b，﹣2）和点B（8，3a+2b）关于原点对称，则a+b=﹣．【解析】由题意得：，则5a+5b=﹣6，a+b=﹣．故答案为：﹣．8、在14×9的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，△ABC与△A′B′C′的位置如图所示；（1）请说明△ABC与△A′B′C′的位置关系；（2）若点C的坐标为（0，0），则点B′的坐标为（7，﹣2）；（3）求线段CC′的长．【解析】（1）△ABC与△A′B′C′成中心对称；（2）根据点C的坐标为（0，0），则点B′的坐标为：（7，﹣2）；（3）线段CC′的长为：=2．9、如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC=4，BC=6，（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．【解析】（1）所画图形如下所示：△ADE就是所作的图形．（2）由（1）知：△ADE≌△BDC，则CD=DE，AE=BC，∴AE﹣AC＜2CD＜AE+AC，即BC﹣AC＜2CD＜BC+AC，∴2＜2CD＜10，解得：1＜CD＜5．10、在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C．（1）若A点的坐标为（1，2），请你在给出的坐标系中画出△ABC．设AB与y轴的交点为D，则=；（2）若点A的坐标为（a，b）（ab≠0），则△ABC的形状为直角三角形．【解析】（1）∵A点的坐标为（1，2），点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C，∴B点坐标为（﹣1，2），C点坐标为（﹣1，﹣2），连AB，BC，AC，AB交y轴于D点，如图，D点坐标为（0，2），∴S△ADO=OD•AD=×2×1=1，S△ABC=BC•AB=×4×2=4，∴=；（2）点A的坐标为（a，b）（ab≠0），则B点坐标为（﹣a，b），C点坐标为（﹣a，﹣b），AB∥x轴，BC∥y轴，AB=2|a|，BC=2|b|，∴△ABC的形状为直角三角形．故答案为：；直角三角形．课后反击1、下列描述中心对称的特征的语句中，其中正确的是（）A．成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心B．成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分D．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分【解析】选D．2、下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解析】选A．3、如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，若AB=3，BC=4，那么阴影部分的面积为（）A．4 B．12 C．6 D．3【解析】选：D．4、平面直角坐标系中点P（﹣3，2）关于原点对称的坐标是（）A．（3，﹣2） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）【解析】点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2）．故选：A．5、在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，4），那么下列说法正确的是（）A．点A与点B（﹣3，﹣4）关于y轴对称B．点A与点C（3，﹣4）关于x轴对称C．点A与点C（4，﹣3）关于原点对称D．点A与点F（﹣4，3）关于第二象限的平分线对称【解析】选：D．6、如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形，又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标为（1，3），则点M和点N的坐标分别为M（﹣1，﹣3），N（1，﹣3）．【解析】∵点M与点A关于原点对称，∴M（﹣1，﹣3），∵点N与点A关于x轴对称，∴N（1，﹣3）．故答案为：（﹣1，﹣3），（1，﹣3）．7、点A（a﹣1，4）关于原点的对称点是点B（3，﹣2b﹣2），则a=﹣2，b=1．【解析】根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，∴a﹣1+3=0，4﹣2b﹣2=0，即：a=﹣2且b=1，故答案为：﹣2，1．8、已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．（1）求证：AC=CD；（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，∴△ABM≌△ACM，∴AB=AC，又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，∴△ABE≌△DCE，∴AB=CD，∴AC=CD；（2）解：∠F=∠MCD．理由：由（1）可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，∴∠F=∠CPM﹣∠PMF=α﹣β，∠MCD=∠CDE﹣∠DMC=α﹣β，∴∠F=∠MCD．9、（1）已知点A（2a，﹣4）和点B（﹣5，b）关于原点对称，求a+b的值．（2）若点P（﹣3﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点是第一象限的点，求整数a的值．【解析】（1）由点A（2a，﹣4）和点B（﹣5，b）关于原点对称，得．解得．a+b=+4=；（2）由点P（﹣3﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点是第一象限的点，得点P（﹣3﹣2a，2a﹣4）在第三象限．由第三象限的点点的横坐标、纵坐标都是负数，得．解不等式①得a＞﹣；解不等式②，得a＜2．即不等式组的解集是﹣＜a＜2，整数a的值为﹣1，0，1．直击中考直击中考1、【2014•南充】如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC与E、F两点，则阴影部分的面积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠EDB=∠OBF，DO=BO，在△EDO和△FBO中，，∴△DEO≌△BFO（ASA），∴S△DEO=S△BFO，阴影面积=三角形BOC面积=×2×2=1．故选：A．2、【2016•丹阳市】如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法：①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1；③OA=OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个