初二数学（北京版）一元二次方程解法-开平方法1教案

教案教学基本信息课题一元二次方程解法——开平方法学科数学学段：初中年级八年级教材书名：义务教育教科书数学八年级下册出版社：北京出版社出版日期：2015年1月教学设计参与人员姓名单位设计者实施者指导者课件制作者其他参与者教学目标及教学重点、难点1.通过对形如x2=m或（ax+c）2=m（a≠0，m≥0）一元二次方程的解法的探究，掌握开平方法解一元二次方程.2.理解开平方法解一元二次方程的理论依据，提升运算能力.3.体会通过开方达到“降次”的目的，渗透化归的数学思想方法，积累数学活动经验.教学重点：掌握开平方法解一元二次方程.教学难点：会解形如（ax+c）2=m（a≠0，m≥0）的方程.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入我们以前研究一元一次方程和分式方程时，我们按照先研究概念，然后解法，最后运用方程解决实际问题，按照这种研究问题的顺序，接下来我们一起来研究一元二次方程的解法.这是上节课同学们对列举的一元二次方程按照b、c的符号进行分类的.ax2＋bx＋c=0（a＞0）b＞0b=0b＜0c＞012y2＋3y7y2+5=0x2－2x＋6＝0c＝0x2+5x＝09a2=0x2=02x2－2x=03m2-4m=0c＜02.4m2＋6m－5=04m2＋6m－5=02a2+10a-10=02x2－3=02k2-15=03m2－3m－5=0x2-3x-10=03x2-8x-10=0如果让你求表格中方程的解，你最先选择解哪一个方程？有的同学说选择9a2=0，x2=0，7y2+5=0，2k2-15=0，2x2－3=0，这一类b=0的方程，可以根据平方根的意义进行开平方从而求出方程的解.今天我们一起来研究具有什么形式的一元二次方程可以利用开平方求出方程的解.在已有的学习经验的基础上引出本节课研究内容新课首先我们一起回忆一下什么是平方根?一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.也就是说,如果x2=a，那么x叫做a的平方根，记作x=±a你能根据平方根的意义求出下列一元二次方程的解吗？（1）x2=25（2）y2=11（3）y2=0（4）x2=-2解：（1）开平方，得x=±5所以，这个方程的解是x1=5或x2=-5（2）开平方，得y=±11所以，这个方程的解是y1=11或y2=-11（3）开平方，得y=±0所以，这个方程的解是y1=y2=0（4）因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程x2=-2无实数解.将上面的方程用表格形式整理:思考:什么形式的一元二次方程可以根据平方根的意义利用开平方求出方程的解.开平方法:方程方程解的情况方程解的表示x2=25有两个不相等的实数解x1=5或x2=-5y2=11有两个不相等的实数解y1=11或y2=-11y2=0有两个相等的实数解y1=y2=0x2=-2没有实数解无解形如x2=m(m≥0)的方程可以用开平方求出方程的解,这种解法称为开平方法.思考：方程x2=m的解有哪些情况方程x2=m的解得情况m的取值方程解的情况方程解的表示m＞0有两个不相等的实数解x1=m或x2=-mm=0有两个相等的实数解x1=x2=0m＜0没有实数解无解注：一元二次方程，有可能有解，也可能无解，有解必有两个通过根据平方根的意义，利用开平方求出具有某种形式的一元二次方程的解通过开平方运算求出一元二次方程的解，根据平方根的意义理解一元二次方程的解的情况例1：用开平方法解下列方程：（1）x2=121（2）9y2=25（3）3a2-81=0解：（1）开平方，得x=±121x=±11所以，这个方程的解是x1=11或x2=-11等式的基本性质（2）方程整理为：y2=25等式的基本性质开平方，得y=±25y=±5所以，这个方程的解是y1=+53或y2等式的基本性质（3）移项3a2=81等式的基本性质系数化1a2=27开平方，得a=±27a=±33所以，这个方程的解是a1=33，a2=-33解题步骤：（1）将方程整理成x2=m的形式（2）利用开平方法求出方程的解注：开平方后的结果要化简例2：用开平方法解下列方程：（1）（x-3）2=16（2）4（t+4）2=9（3）2（n-12）解：（1）开平方，得x-3=±16x-3=±4将x-3看成一个整体进行开平方运算x-3=4或x将x-3看成一个整体进行开平方运算由x-3=4得x=7将一个一元二次方程转化2个为一元一次方程由x-3=-4得x=-1将一个一元二次方程转化2个为一元一次方程所以这个方程的解是x1=7,x2=-1（2）方程整理得（t+4）2=开平方，得t+4=±9t+4=±332–4=3232–4=32-32–4=--32–4=-由t+4=－32得t=所以这个方程的解是t1=－52,t2=－（3）移项2（n-12）整理得（n-12）2开平方得n-1212+22n-12+12-22由n-112-由n-12=－22得所以这个方程的解是n1=1+22,n2解题步骤：（1）将方程整理成（ax+c）2=m的形式（2）利用开平方法得到两个一元一次方程（降次）（3）求这两个一元一次方程的解（4）这两个一元一次方程的解就是原方程的解开方降次二次一次练习:1.用开平方法解下列方程(1)9x2=25(2)(2x-3)2-25=-9(3)75(3x+1)2(4)x2-4x+4=9解：（1）方程两边同时除以9，得x2=25开平方，得x=±25x=±5所以方程的解是x1=53,x2=-解：（2）移项，得(2x-3)2=-9+25(2x-3)2=16开平方，得2x-3=±42x-3=4或2x-3=-4所以方程的解是x1=72,x2=-解：（3）方程整理为（3x+1）2=5开平方得3x+1=±5由3x+1=5得x=－1＋5由3x+1=－5得x=－1－5所以这个方程的解是x1=－1＋5，x2=－1－5利用完全平方公式将等号左边进行变形（4）x2-4x+4=9利用完全平方公式将等号左边进行变形方程整理得（x-2）2=9开平方得x-2=±3由x-2=3得x=5由x-2=-3得x=-1所以这个方程的解是x1=3，x2=-1分析：由ax2=b变形为x2=ba,且ab>0，所以方程有两个互为相反数的解，所以m+1与2m-4互为相反数，所以m+1+2m=1，所以x1=m+1=2，x2=-2,所以ba利用开平方法求一元二次方程的解，归纳出解题步骤使学生明确利用开平方法求一元二次方程的解时，一元二次方程的形式须转化为x2=m或（x+a）2=m才可以利用开平方法学生对例题的总结反思，进一步掌握解题方法和解题思路总结小结：本节课所学内容1.形如x2=m(m≥0)的方程可以用开平方求出方程的解,这种解法称为开平方法.2.形如x2=m的解的情况x2=mm的取值方程解的情况方程解的表示m＞0有两个不相等的实数解,且两个解互为相反数x1=m或x2=-mm=0有两个相等的实数解，且两个解都是0x1=x2=0m＜0没有实数解无解3.利用开平方法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程整理成x2=m或（ax+c）2=m（a≠0，m≥0）的形式（