初二数学（北京版）正方形与旋转 - 1教案

教案教学基本信息课题正方形与旋转学科数学学段：第三学段年级初二年级教材书名：义务教育教科书出版社：北京出版社出版日期：2020年1月教学设计参与人员姓名单位设计者实施者指导者课件制作者其他参与者教学目标及教学重点、难点本节课的主要内容是正方形与旋转.借助图形的旋转变换可将题设和结论中的相关元素相对集中到某一图形或重新组合的图形之中去，为沟通题设和结论、方便解题创设有利条件.正方形是最特殊的四边形,因此在正方形中的线段证明和计算等问题上利用旋转可巧妙的拼接图形，使条件发生转化并相对集中，从而达到化难为易的目的.通过本课的学习向学生渗透分散变集中的转化思想同时让学生体会用运动的观点看问题.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入在前面，我们已经学习了正方形的知识，知道正方形具有所有特殊的平行四边形的性质，它既是中心对称图形又是轴对称图形.我们在解决问题时，如果借助旋转变换的思想则可以巧妙地将图形进行转移，进而使条件发生转化并相对集中起来，从而达到化难为易的目的.下面我们就一起来探讨借助旋转，解决正方形中的问题.让学生先对本节课的内容有一个初步的了解，带着目标去学习,做到心中有数.新课一、典例引入如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，点E落在CD的延长线上的点E′处，连接EE′，则△AEE′是______三角形.分析：题目中说到将△ABE绕点A顺时针旋转90°，因此，由旋转前、后的图形是全等的，可以知道△ABE≌△ADE′，进一步可以得出AE=AE′，∠EAE′=90°.从而可以得出△AEE′是等腰直角三角形.此题中，借助旋转我们得到了全等的三角形，进一步我们得到了，相等的线段、相等的角，从而求出了角的度数，由此可见旋转在这当中起着非常大的作用.通过引例使学生初步感受旋转的作用，提升继续往下研究的热情.例题二、精讲例题1.借助旋转求解图形的面积例如图，正方形ABCD和正方形OEFG的边长均为4，O是正方形ABCD的对角线的交点，则图中阴影部分的面积为_____________.分析：阴影部分很显然不易直接求出它的面积，因此我们可以尝试把它转化成一个易于求出其面积的规则图形.解法1：由于四边形ABCD和四边形OEFG是正方形，点O是对角线AC和BD的交点，所以由正方形的性质可以知道∠OBN=∠OCM=45°，OB=OC，∠BOC=∠NOM=90°，于是可得∠BON=∠COM.因此可以得出△NOB≌△MOC.于是可将△MOC绕点O顺时针旋转90°便可以与△NOB完全重合，因此求四边形ONCM的面积就转化成了求△OBC的面积，易得△OBC的面积为正方形ABCD的面积的为4，因此图中阴影部分的面积为4.解法2：我们也可以证出△NOC≌△MOD，从而可将△NOC绕点O逆时针旋转90°便可以与△MOD完全重合，因此求四边形ONCM的面积就转化成了求△ODC的面积，易得△ODC的面积为正方形ABCD的面积的应为4，因此图中阴影部分的面积为4.方法小结：本题中不论是方法1还是方法2都是利用题目中现有的全等从而借助旋转的方式实现了图形的转化，最终求出阴影部分图形的面积.当然我们也可以通过构造全等三角形，来为旋转提供方便.如下面的方法：解法3：如图，我们可以过点O分别作OH⊥BC于点H、OK⊥CD于点K.而后利用正方形的性质等知识，容易得出△OMK≌△ONH.从而可将△OMK绕点O顺时针旋转90°便可以与△ONH完全重合，易证四边形OHCK是一个正方形.因此求四边形ONCM的面积就转化成了求正方形OHCK的面积，不难求出正方形OHCK的面积等于4，因此图中阴影部分的面积为4.2.借助旋转求解线段间的数量关系例如图，正方形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上两点，BF平分∠EBC.求证：BE=AE+CF.分析：此题是证明线段的和差的问题，那么看图中几条线段比较分散，不容易找到他们之间的和差关系，因此我们想办法将两条线段集中到一条直线上去.而四边形ABCD是正方形，AB=BC，∠ABC=90°，恰恰为旋转创造了条件.于是把△BCF绕点B逆时针旋转90°到△BAF′的位置，如图，此时AF′=CF，注意此时，并没有确定CF和AE真正的转移到一条直线上，因此要先解决A、F′、E三点共线的问题.而后再证BE=F′E即可.由于∠FBC=∠FBE=∠F′BA，所以∠F′BE=∠ABF=∠BFC=∠F′.因而BE=F′E，从而使问题得以解决.证明方法1∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°.把△BCF绕B点逆时针旋转90°，从而得到△BAF′.则△BCF≌△BAF′.∴∠ABF′=∠CBF，∠F′=∠CFB，BF=BF′，CF=AF′，∠BCF=∠BAF′.∵四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∠BAE=∠BCD=90°.∴∠CFB=∠ABF，∠BAE+∠BAF′=180°.∴点E、A、F′三点共线.∵∠ABF=∠ABE+∠EBF，∠F′BE=∠F′BA+∠ABE而∠EBF=∠CBF，∴∠ABF=∠EF′B=∠F′BE.∴BE′=E′F=AF′+AE.∴BE=AE+CF.解法2分析：刚才我们是借助旋转△BCF，从而将CF和AE转移到一起，集中到了一条直线上，进而使问题得到了解决.那么我们借助旋转△AEB，也是可以使问题得到解决的.我们可以把△BAE绕点B顺时针旋转90°，到△BCE′的位置.此时，由旋转前后的图形全等，△BAE≌△BCE′，可得AE=CE′，那么我们做到了将线段AE转移到了CE′的位置，从而将线段AE与CF的位置进行了集中.那么与前面同样的问题出现了：线段AE与CF真正的集中到一条直线上了吗？换句话说点F、C、E′三点在同一条直线上吗？目前我们还没有确定，因此，我们仍然要先解决点F、C、E′三点共线的问题.由正方形及全等三角形的性质容易得出∠BCE′+∠BCF=180°，也就得出了点F、C、E′三点共线.我们也就做到了将两条线段真正的集中到了一条直线上.接下来我们只要再证出BE′=FE′就能使问题得到解决了.结合正方形的性质，由BF平分∠EBC、△BAE≌△BCE′容易得到∠ABF=∠FBE′=∠BFC，因此BE′=FE′，最终找到了三条线段BE、AE、CF之间的数量关系.方法小结：对于线段的和差问题，我们可以借助旋转变换的思想，使分散的两条线段巧妙的转移到一起，进而解决了此类问题.值得注意的是要确保两条线段真正集中到了一条直线上（即我们要关注三点共线的问题）.3.借助旋转求解线段的长例如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，∠APB=135°，求PC的长.分析：已知的线段PA，PB和所求的PC比较分散，没有形成三角形，不能直接求出所求，那就想到可通过某种方式进行等线段的转移将分散的条件进行集中.另外四边形ABCD是正方形，AB=BC，∠ABC=90°，恰恰为旋转创造了条件.因此我们可将△BAP绕点B按顺时针方向旋转90°，得△BCE，如图，连结PE，则△BPE是等腰直角三角形.进而可求出PE的长，最终把已知线段和所求线段集中到一个直角三角形中使问题得以解决.方法1：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°.把△BAP绕B点顺时针旋转90°，从而得到△BCE.则△BAP≌△BCE，∠PBE=90°.∴∠APB=∠CEB=135°，CE=AP=1，BE=BP=2.连结PE，∴△BPE是等腰直角三角形.∴∠PEB=45°，由勾股定理可得PE=.∵∠CEB=135°，∴∠PEC=90°.∴在Rt△PEC中，由勾股定理可得PC=3.方法2：刚才我们是借助旋转△BAP，从而最终将已知线段和未知线段集中到一个直角三角形中使问题得以解决的.当然我们也可以借助旋转△BCP最终将已知线段和未知线段集中到一个直角三角形中使问题得以解决.方法小结：本题通过旋转变换，将已知线段和未知线段巧妙集中起来，构成直角三角形，从而达到了化难为易的目的.回顾两个例题，都是借助旋转变换的思想将分散的条件进行了相对的集中.一个是将两条线段集中在一条直线上，一个是将三条线段集中到一个直角三角形中进而解决问题.那么问题来了:是不是每个题都能借助旋转来解决问题?不是这样的，那观察我们的两个例题的条件又有怎样的共同的特点？可以看到两个题的已知图形都是正方形，而正方形则为旋转的实施提供了必要的条件：那就是：有公共端点的等线段.正因为正方形有了这样的前提条件，才使得旋转得以实现.看来正方形的作用也是不容忽视的.旋转帮我们解决正方形中的问题，而正方形又为旋转提供前提条件，二者是相辅相成的关系.另外，当我们设法利用旋转将两条线段转移到一条直线上时，要关注三点是否共线的问题.练习如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外做正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=，求BC的长.分析：要求BC的长，若直接研究BC为边的△BOC或BC为边的△ACB，会发现只有一条已知边OC的长或只有一条已知边AC的长，而已知线段AC的长与△BOC关系也不明确，所以不足以在现有的三角形中直接求出BC的长.因而想到此题需将已知线段和待求线段集中，通过图形的重组使它们集中在可解的直角三角形中.那么如何实现线段的转移呢？题目中给了四边形ABCD是正方形，由正方形的性质可知AO=BO，∠AOB=90°，恰恰为旋转创造了条件.方法1：如图我们可将△AOC绕点O按逆时针方向旋转90°，得△BOF，利用正方形的性质四边形内角和等知识，而恰好可得点C、B、F是三点共线的，于是我们就做到了把已知和所求集中到了一个可解的等腰直角三角形中，进而可求出BC的长.方法2：如图当然我们也可以借助旋转△BCO最终将已知线段和未知线段集中到一个可解的等腰直角三角形中去，最终使问题得以解决.方法小结：刚才这个题目依旧借助旋转实现了分散条件的转移，从而使已知线段和待求线段集中到一个可解三角形中得解.不同的是由于题目的背景的不同，正方形提供了对角线互相垂直且相等的性质作为旋转的条件.致使旋转中心由原来的正方形的顶点上转移到了正方形的对角线的交点上.在正方形的背景下求图形的面积，体会旋转的作用.通过此题，让同学感受到，不论哪种方法都是借助旋转的方式帮助我们实现了图形的转移与拼接进，而将不易求面积的图形转化为易求面积的图形.通过此题让学生了解当题目条件较为分散时，处理线段之间的和差问题的办法.让同学逐步感受借助旋转的思想来使条件进行转移、重组，从而找到解决问题的办法.在这当中除了体会旋转的作用外，更不能忽视正方形的性质为旋转提供的条件.与此同时，让学生感受解题的方法的不唯一.当题目条件较为分散时，了解处理求线段的长的办法，同时让同学进一步感受借助旋转的思想来使条件进行转移、重组，使已知线段和待求线段坐落在一个可解的三角形中，从而找到解决问题的办法.感受旋转方向可以顺时针也可以逆时针.借助小结使得对旋转变换的思想解决正方形的问题认识的更加深刻.通过练习加深对旋转的理解，对旋转的作用的理解，提升借助旋转解决问题的能力.体会用运动的观点来看问题，体会分散变集中的转化思想.另外在借助旋转处理问题时常会涉及到证三点共线的问题，这更是提醒我们的孩子每个细节都不能忽视，培养了学生的严谨的处事的态度.总结1.知识上通过今天的学习我们了解到：借助旋转可以帮助我们解决线段间的数量关系；借助旋转可以帮助我们解决线段的长的问题；借助旋转可以帮助我们解决图形面积的问题.2.注意：(1)借助旋转进行图形的重组时，常要考证三点共线的问题.(2)