2026-2027年考研数学二线性代数习题解析

2026-2027年考研数学二线性代数习题解析一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确选项的字母填在题后的括号内。）1.设A为n阶矩阵，且存在正整数k，使得A^k=0矩阵，则下列命题中正确的是（）A.A一定可逆B.A一定不可逆C.A的特征值均为0D.A的伴随矩阵A为0矩阵解析：根据矩阵幂零性的定义，若存在正整数k使得A^k=0矩阵，则称A为幂零矩阵。幂零矩阵的特征值均为0，因为若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，对等式两边连续左乘A^(k-1)得到A^kx=λ^kx，由A^k=0矩阵可得λ^kx=0，由于x非零，必有λ^k=0，即λ=0。因此选项C正确。选项A错误，因为幂零矩阵不可逆；选项B正确但不是最佳答案；选项D错误，因为A为幂零矩阵时，其伴随矩阵A不一定为0矩阵。2.已知向量组α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)，α3=(1,3,λ)线性无关，则实数λ的取值范围是（）A.λ≠5B.λ≠2C.λ≠1D.λ≠3解析：向量组线性无关的充要条件是其行列式不为0。计算向量组α1,α2,α3构成的行列式：|111||123||13λ|=1×(2λ-9)-1×(λ-3)+1×(3-2)=2λ-9-λ+3+1=λ-5令λ-5≠0，得λ≠5。因此选项A正确。3.设A为n阶实对称矩阵，且A的特征值均为正数，则下列结论中不一定成立的是（）A.A一定可逆B.A的行列式大于0C.A的特征向量组一定正交D.A一定与单位矩阵合同解析：实对称矩阵的特征值均为正数，则其行列式为特征值的乘积，必大于0，故选项B成立。实对称矩阵一定可逆，因为其行列式不为0，故选项A成立。实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，但若所有特征值相同，则特征向量不一定正交，故选项C不一定成立。实对称矩阵一定与单位矩阵合同，因为可以通过正交变换对角化，且对角矩阵的对角元均为正数，故选项D成立。因此选项C不一定成立。4.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，且满足AB=BA，则下列运算中错误的是（）A.A^(-1)B=B(A^(-1))B.A^T(B^T)=B^T(A^T)C.(AB)^T=B^T(A^T)D.(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)解析：由AB=BA可得AB和BA可交换。选项A正确，因为A^(-1)A=I，所以A^(-1)B=B(A^(-1))。选项B正确，因为(A^T)B=B(A^T)与AB=BA等价。选项C正确，因为(AB)^T=B^T(A^T)。选项D错误，因为(AB)^(-1)=(BA)^(-1)=A^(-1)B^(-1)，而不是B^(-1)A^(-1)。因此选项D错误。5.设A为n阶矩阵，B为n阶可逆矩阵，且满足AB=0矩阵，则下列结论中正确的是（）A.A一定为0矩阵B.B的每一列向量都是A的解向量C.A的每一列向量都是B^(-1)的解向量D.A和B的秩之和等于n解析：由AB=0矩阵可得B的每一列向量都是A的解向量，因为若B=(β1,β2,...,βn)，则AB=0矩阵等价于Aβi=0(i=1,2,...,n)。选项B正确。选项A错误，因为A不一定为0矩阵，例如A=(1,0,0;0,1,0;0,0,0)，B=(0,0;0,0;1)，则AB=0矩阵。选项C错误，因为A的每一列向量不一定满足B^(-1)x=0。选项D错误，因为A和B的秩之和不一定等于n，例如A=(1,0;0,0)，B=(0,1;1,0)，则AB=0矩阵，但r(A)+r(B)=1+1=2<n。因此选项B正确。6.设A为n阶矩阵，其特征值为λ1,λ2,...,λn，则下列结论中错误的是（）A.A的特征值之和等于其迹B.A的特征值之积等于其行列式C.A的特征值一定在复数范围内D.A的特征值一定与其伴随矩阵的特征值相同解析：选项A正确，因为A的特征值之和λ1+λ2+...+λn等于其迹tr(A)。选项B正确，因为A的特征值之积λ1λ2...λn等于其行列式|A|。选项C正确，因为实矩阵的特征值可能为复数。选项D错误，因为A的特征值与其伴随矩阵的特征值不一定相同，例如A=(1,0;0,1)，其特征值为1，而其伴随矩阵为(1,0;0,1)，特征值也为1；但若A=(1,0;0,0)，其特征值为1,0，而其伴随矩阵为(0,0;0,1)，特征值为0,0。因此选项D错误。7.设A为n阶正定矩阵，B为n阶可逆矩阵，则下列矩阵中一定为正定矩阵的是（）A.ABB.BAC.B^TABD.AB^T解析：正定矩阵的定义是其特征值全为正数且对称。选项A不一定为正定矩阵，因为AB不一定对称。选项B不一定为正定矩阵，因为BA不一定对称。选项C一定为正定矩阵，因为B^TAB的特征值与AB的特征值相同，且B^TAB对称。选项D不一定为正定矩阵，因为AB^T不一定对称。因此选项C正确。8.设A为n阶矩阵，其秩为r，则下列结论中正确的是（）A.A的任意r阶子式都不为0B.A的任意r阶子式都为0C.A存在一个r阶子式不为0，且所有r+1阶子式都为0D.A存在一个r阶子式为0，且所有r-1阶子式都为0解析：矩阵的秩r是其非零子式的最高阶数。选项A错误，因为r阶子式可能为0。选项B错误，因为至少有一个r阶子式不为0。选项C正确，因为r是A的非零子式的最高阶数，所以存在一个r阶子式不为0，且所有r+1阶子式都为0。选项D错误，因为r-1阶子式不一定都为0。因此选项C正确。9.设A为n阶矩阵，且满足A^2=A，则下列结论中正确的是（）A.A一定为0矩阵B.A一定为对角矩阵C.A的特征值只能是0或1D.A一定为实对称矩阵解析：满足A^2=A的矩阵称为幂等矩阵。选项A错误，因为A不一定为0矩阵，例如A=(1,0;0,1)。选项B错误，因为A不一定为对角矩阵，例如A=(1,0;0,1)。选项C正确，因为若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，对等式两边左乘A得到A^2x=λAx=λ^2x，由A^2=A可得λ^2x=λx，即(λ^2-λ)x=0，由于x非零，必有λ^2-λ=0，即λ=0或λ=1。选项D错误，因为A不一定为实对称矩阵，例如A=(1,1;0,1)。因此选项C正确。10.设A为n阶矩阵，其特征值互异，且满足A^2=I，则下列结论中正确的是（）A.A一定为对角矩阵B.A的特征值只能是1或-1C.A的伴随矩阵A等于AD.A的行列式等于1解析：满足A^2=I的矩阵称为对合矩阵。选项A错误，因为A不一定为对角矩阵，例如A=(0,-1;1,0)。选项B正确，因为若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，对等式两边左乘A得到A^2x=λAx=λ^2x，由A^2=I可得λ^2x=x，即(λ^2-1)x=0，由于x非零，必有λ^2-1=0，即λ=±1。选项C错误，因为A的特征值互异时，A≠A。选项D错误，因为A的行列式等于其特征值的乘积，可能为-1。因此选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.设A为n阶矩阵，且存在正整数k，使得A^k=0矩阵，则称A为______矩阵，其特征值均为______。参考答案：幂零；0解析：根据矩阵幂零性的定义，若存在正整数k使得A^k=0矩阵，则称A为幂零矩阵。幂零矩阵的特征值均为0，因为若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，对等式两边连续左乘A^(k-1)得到A^kx=λ^kx，由A^k=0矩阵可得λ^kx=0，由于x非零，必有λ^k=0，即λ=0。2.向量组α1=(1,0,0)，α2=(0,1,0)，α3=(0,0,1)线性______，其秩为______。参考答案：无关；3解析：向量组α1,α2,α3构成单位矩阵E，单位矩阵的秩为n，且其列向量线性无关。因此向量组α1,α2,α3线性无关，其秩为3。3.设A为n阶矩阵，其特征值为λ1,λ2,...,λn，则A的迹tr(A)等于______，A的行列式|A|等于______。参考答案：λ1+λ2+...+λn；λ1λ2...λn解析：矩阵的迹是其主对角线元素之和，等于其特征值之和。矩阵的行列式等于其特征值的乘积。4.实对称矩阵的特征值一定为______，且其不同特征值对应的特征向量______。参考答案：实数；正交解析：实对称矩阵的特征值一定为实数，这是实对称矩阵的基本性质。实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交。5.设A为n阶矩阵，且满足A^T=A，则称A为______矩阵，其特征值一定为______。参考答案：对称；实数解析：满足A^T=A的矩阵称为实对称矩阵。实对称矩阵的特征值一定为实数。6.设A为n阶正定矩阵，则A的特征值______，且A的行列式______。参考答案：全为正数；大于0解析：正定矩阵的定义是其特征值全为正数且对称。正定矩阵的行列式等于其特征值的乘积，必大于0。7.设A为n阶矩阵，其秩为r，则A的非零子式的最高阶数为______，且存在一个______阶子式不为0，所有______阶子式都为0。参考答案：r；r；r+1解析：矩阵的秩r是其非零子式的最高阶数。根据秩的定义，存在一个r阶子式不为0，且所有r+1阶子式都为0。8.设A为n阶矩阵，且满足A^2=A，则称A为______矩阵，其特征值只能是______。参考答案：幂等；0或1解析：满足A^2=A的矩阵称为幂等矩阵。幂等矩阵的特征值只能是0或1。9.设A为n阶矩阵，其特征值互异，且满足A^2=I，则称A为______矩阵，其特征值只能是______。参考答案：对合；1或-1解析：满足A^2=I的矩阵称为对合矩阵。对合矩阵的特征值只能是1或-1。10.设A为n阶矩阵，且满足AB=BA，则称A和B______，此时A和B的秩之和______n。参考答案：可交换；小于或等于解析：满足AB=BA的矩阵A和B可交换。此时A和B的秩之和小于或等于n，因为r(AB)≤min{r(A),r(B)}。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将判断结果填在题后的括号内，正确的填"√"，错误的填"×"。）1.若向量组α1,α2,α3线性无关，则向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1也线性无关。（）参考答案：√解析：设k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0，整理得(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0，由于α1,α2,α3线性无关，必有k1+k3=0，k1+k2=0，k2+k3=0，解得k1=k2=k3=0，因此α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关。2.若矩阵A的特征值均为正数，则A一定为正定矩阵。（）参考答案：×解析：正定矩阵的定义是其特征值全为正数且对称。若矩阵A的特征值均为正数但不对称，则A不一定为正定矩阵。3.若矩阵A可逆，则A的特征值一定不为0。（）参考答案：√解析：若矩阵A可逆，则其行列式|A|≠0，而矩阵的行列式等于其特征值的乘积，因此A的特征值一定不为0。4.若矩阵A的特征值互异，则A一定可对角化。（）参考答案：√解析：若矩阵A的特征值互异，则A有n个线性无关的特征向量，因此A一定可对角化。5.若矩阵A与B相似，则A和B的特征值相同。（）参考答案：√解析：若矩阵A与B相似，则存在可逆矩阵P使得B=P^(-1)AP，两边左乘λI-A得到λI-B=P^(-1)(λI-A)P，即(λI-A)与(λI-B)相似，因此它们的行列式相同，即|λI-A|=|λI-B|，解得A和B的特征值相同。6.若矩阵A与B可交换，则A和B的秩之和等于n。（）参考答案：×解析：若矩阵A与B可交换，则A和B的秩之和不一定等于n，例如A=(1,0;0,0)，B=(0,1;1,0)，则AB=0矩阵，r(A)+r(B)=1+1=2<n。7.若矩阵A的特征值均为0，则A一定为0矩阵。（）参考答案：×解析：若矩阵A的特征值均为0，则A不一定为0矩阵，例如A=(1,0;0,0)，其特征值为0,0，但A不为0矩阵。8.若矩阵A为正定矩阵，则A的伴随矩阵A也为正定矩阵。（）参考答案：×解析：正定矩阵的伴随矩阵A不一定为正定矩阵，例如A=(1,0;0,1)，其伴随矩阵为(1,0;0,1)，仍为正定矩阵；但若A=(1,0;0,0)，其伴随矩阵为(0,0;0,1)，特征值为0,0，不是正定矩阵。9.若矩阵A的秩为r，则A存在一个r阶子式不为0，且所有r+1阶子式都为0。（）参考答案：√解析：根据矩阵秩的定义，r是A的非零子式的最高阶数，因此存在一个r阶子式不为0，且所有r+1阶子式都为0。10.若矩阵A的特征值互异，且满足A^2=I，则A一定为对角矩阵。（）参考答案：×解析：若矩阵A的特征值互异，且满足A^2=I，则A一定可对角化，但不一定为对角矩阵，例如A=(0,-1;1,0)，其特征值为±1，且A^2=I，但A不为对角矩阵。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。请将答案写在答题卡上对应题号的位置。）1.设A为n阶矩阵，且满足A^2=I，证明A的特征值只能是1或-1。证明：设λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，对等式两边左乘A得到A^2x=λAx=λ^2x，由A^2=I可得λ^2x=x，即(λ^2-1)x=0，由于x非零，必有λ^2-1=0，即λ=±1。因此A的特征值只能是1或-1。2.设A为n阶正定矩阵，证明A的特征值全为正数。证明：根据正定矩阵的定义，A的特征值全为正数。因为若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，两边左乘x^T得到x^TAx=λx^Tx，由于A为正定矩阵，x^TAx>0，且x^Tx>0，因此λ>0。因此A的特征值全为正数。3.设A为n阶矩阵，其秩为r，证明A存在一个r阶子式不为0，且所有r+1阶子式都为0。证明：根据矩阵秩的定义，r是A的非零子式的最高阶数。因此存在一个r阶子式不为0，且所有r+1阶子式都为0。4.设A为n阶矩阵，且满足A^T=A，证明A的特征值一定为实数。证明：设λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，两边左乘x^T得到x^TAx=λx^Tx，由于A为对称矩阵，x^TAx=λx^Tx，即(λ-λ)x^Tx=0，由于x非零，必有λ=λ，因此λ为实数。因此A的特征值一定为实数。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。请将答案写在答题卡上对应题号的位置。）1.设向量组α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)，α3=(1,3,λ)线性无关，求实数λ的取值范围。解：向量组α1,α2,α3线性无关的充要条件是其行列式不为0。计算向量组α1,α2,α3构成的行列式：|111||123||13λ|=1×(2λ-9)-1×(λ-3)+1×(3-2)=2λ-9-λ+3+1=λ-5令λ-5≠0，得λ≠5。因此实数λ的取值范围是λ≠5。2.设A为3阶矩阵，且满足A^2=I，A的特征值为1，求A。解：由A^2=I可得A的特征值只能是1或-1。由于A的特征值为1，因此A的特征值为1,1,1，即A与对角矩阵I相似，因此A=I。3.设A为3阶正定矩阵，且满足A^T=A，求A的行列式。解：正定矩阵的行列式等于其特征值的乘积，且特征值全为正数。由于A为3阶正定矩阵，且满足A^T=A，因此A的特征值全为正数。设A的特征值为λ1,λ2,λ3，则|A|=λ1λ2λ3>0。4.设A为3阶矩阵，其秩为2，且满足AB=BA，求A和B的秩之和。解：由AB=BA可得r(AB)≤min{r(A),r(B)}。由于A的秩为2，因此r(AB)≤2。又由于B的秩至少为1，因此r(AB)≥1。因此r(AB)=1。根据矩阵秩的性质，r(A)+r(B)≥r(AB)+r(AB^(-1))，由于r(AB)=1，因此r(A)+r(B)≥1+1=2。因此A和B的秩之和为2。【标准答案及解析】一、单选题1.C解析：根据矩阵幂零性的定义，若存在正整数k使得A^k=0矩阵，则称A为幂零矩阵。幂零矩阵的特征值均为0，因为若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，对等式两边连续左乘A^(k-1)得到A^kx=λ^kx，由A^k=0矩阵可得λ^kx=0，由于x非零，必有λ^k=0，即λ=0。因此选项C正确。选项A错误，因为幂零矩阵不可逆；选项B正确但不是最佳答案；选项D错误，因为A为幂零矩阵时，其伴随矩阵A不一定为0矩阵。2.A解析：向量组线性无关的充要条件是其行列式不为0。计算向量组α1,α2,α3构成的行列式：|111||123||13λ|=1×(2λ-9)-1×(λ-3)+1×(3-2)=2λ-9-λ+3+1=λ-5令λ-5≠0，得λ≠5。因此选项A正确。3.D解析：实对称矩阵的特征值均为正数，则其行列式为特征值的乘积，必大于0，故选项B成立。实对称矩阵一定可逆，因为其行列式不为0，故选项A成立。实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，但若所有特征值相同，则特征向量不一定正交，故选项C不一定成立。实对称矩阵一定与单位矩阵合同，因为可以通过正交变换对角化，且对角矩阵的对角元均为正数，故选项D成立。因此选项D不一定成立。4.D解析：由AB=BA可得AB和BA可交换。选项A正确，因为A^(-1)A=I，所以A^(-1)B=B(A^(-1))。选项B正确，因为(A^T)B=B(A^T)与AB=BA等价。选项C正确，因为(AB)^T=B^T(A^T)。选项D错误，因为(AB)^(-1)=(BA)^(-1)=A^(-1)B^(-1)，而不是B^(-1)A^(-1)。因此选项D错误。5.B解析：由AB=0矩阵可得B的每一列向量都是A的解向量，因为若B=(β1,β2,...,βn)，则AB=0矩阵等价于Aβi=0(i=1,2,...,n)。选项B正确。选项A错误，因为A不一定为0矩阵，例如A=(1,0,0;0,1,0;0,0,0)，B=(0,0;0,0;1)，则AB=0矩阵。选项C错误，因为A的每一列向量不一定满足B^(-1)x=0。选项D错误，因为A和B的秩之和不一定等于n，例如A=(1,0;0,0)，B=(0,1;1,0)，则AB=0矩阵，但r(A)+r(B)=1+1=2<n。因此选项B正确。6.D解析：实对称矩阵的特征值均为正数，则其行列式为特征值的乘积，必大于0，故选项B成立。实对称矩阵一定可逆，因为其行列式不为0，故选项A成立。实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，但若所有特征值相同，则特征向量不一定正交，故选项C不一定成立。实对称矩阵一定与单位矩阵合同，因为可以通过正交变换对角化，且对角矩阵的对角元均为正数，故选项D成立。因此选项D不一定成立。7.C解析：正定矩阵的定义是其特征值全为正数且对称。选项A不一定为正定矩阵，因为AB不一定对称。选项B不一定为正定矩阵，因为BA不一定对称。选项C一定为正定矩阵，因为B^TAB的特征值与AB的特征值相同，且B^TAB对称。选项D不一定为正定矩阵，因为AB^T不一定对称。因此选项C正确。8.C解析：矩阵的秩r是其非零子式的最高阶数。选项A错误，因为r阶子式可能为0。选项B错误，因为至少有一个r阶子式不为0。选项C正确，因为r是A的非零子式的最高阶数，所以存在一个r阶子式不为0，且所有r+1阶子式都为0。选项D错误，因为r-1阶子式不一定都为0。因此选项C正确。9.C解析：满足A^2=A的矩阵称为幂等矩阵。选项A错误，因为A不一定为0矩阵，例如A=(1,0;0,1)。选项B错误，因为A不一定为对角矩阵，例如A=(1,0;0,1)。选项C正确，因为若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，对等式两边左乘A得到A^2x=λAx=λ^2x，由A^2=A可得λ^2x=λx，即(λ^2-λ)x=0，由于x非零，必有λ^2-λ=0，即λ=0或λ=1。选项D错误，因为A不一定为实对称矩阵，例如A=(1,1;0,1)。因此选项C正确。10.B解析：满足A^2=I的矩阵称为对合矩阵。选项A错误，因为A不一定为对角矩阵，例如A=(0,-1;1,0)。选项B正确，因为若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，对等式两边左乘A得到A^2x=λAx=λ^2x，由A^2=I可得λ^2x=x，即(λ^2-1)x=0，由于x非零，必有λ^2-1=0，即λ=±1。选项C错误，因为A的特征值互异时，A≠A。选项D错误，因为A的行列式等于其特征值的乘积，可能为-1。因此选项B正确。二、填空题1.幂零；0解析：根据矩阵幂零性的定义，若存在正整数k使得A^k=0矩阵，则称A为幂零矩阵。幂零矩阵的特征值均为0，因为若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，对等式两边连续左乘A^(k-1)得到A^kx=λ^kx，由A^k=0矩阵可得λ^kx=0，由于x非零，必有λ^k=0，即λ=0。2.无关；3解析：向量组α1,α2,α3构成单位矩阵E，单位矩阵的秩为n，且其列向量线性无关。因此向量组α1,α2,α3线性无关，其秩为3。3.λ1+λ2+...+λn；λ1λ2...λn解析：矩阵的迹是其主对角线元素之和，等于其特征值之和。矩阵的行列式等于其特征值的乘积。4.实数；正交解析：实对称矩阵的特征值一定为实数，这是实对称矩阵的基本性质。实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交。5.对称；实数解析：满足A^T=A的矩阵称为实对称矩阵。实对称矩阵的特征值一定为实数。6.全为正数；大于0解析：正定矩阵的定义是其特征值全为正数且对称。正定矩阵的行列式等于其特征值的乘积，必大于0。7.r；r；r+1解析：矩阵的秩r是其非零子式的最高阶数。根据秩的定义，存在一个r阶子式不为0，且所有r+1阶子式都为0。8.幂等；0或1解析：满足A^2=A的矩阵称为幂等矩阵。幂等矩阵的特征值只能是0或1。9.对合；1或-1解析：满足A^2=I的矩阵称为对合矩阵。对合矩阵的特征值只能是1或-1。10.可交换；小于或等于解析：满足AB=BA的矩阵A和B可交换。此时A和B的秩之和小于或等于n，因为r(AB)≤min{r(A),r(B)}。三、判断题1.√解析：设k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0，整理得(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0，由于α1,α2,α3线性无关，必有k1+k3=0，k1+k2=0，k2+k3=0，解得k1=k2=k3=0，因此α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关。2.×解析：正定矩阵的定义是其特征值全为正数且对称。若矩阵A的特征值均为正数但不对称，则A不一定为正定矩阵。3.√解析：若矩阵A可逆，则其行列式|A|≠0，而矩阵的行列式等于其特征值的乘积，因此A的特征值一定不为0。4.√解析：若矩阵A的特征值互异，则A有n个线性无关的特征向量，因此A一定可对角化。5.√解析：若矩阵A与B相似，则存在可逆矩阵P使得B=P^(-1)AP，两边左乘λI-A得到λI-B=P^(-1)(λI-A)P，即(λI-A)与(λI-B)相似，因此它们的行列式相同，即|λI-A|=|λI-B|，解得A和B的特征值相同。6.×解析：若矩阵A与B可交换，则A和B的秩之和不一定等于n，例如A=(1,0;0,0)，B=(0,1;1,0)，则AB=0矩阵，r(A)+r(B)=1+1=2<n。7.×解析：若矩阵A的特征值均为0，则A不一定为0矩阵，例如A=(1,0;0,0)，其特征值为0,0，但A不为0矩阵。8.×解析：正定矩阵的伴随矩阵A不一定为正定矩阵，例如A=(1,0;0,1)，其伴随矩阵为(1,0;0,1)，仍为正定矩阵；但若A=(1,0;0,0)，其伴随矩阵为(0,0;0,1)，特征值为0,0，不是正定矩阵。9.√解析：根据矩阵秩的定义，r是A的非零子式的最高阶数，因此存在一个r阶子式不为0，且所有r+1阶子式都为0。10.×解析：若矩阵A的特征值互异，且满足A^2=I，则A一定可对角化，但不一定为对角矩阵，例如A=(0,-1;1,0)，其特征值为±1，且A^2=I，但A不为对角矩阵。