2027年高考数学一轮复习：幂函数、指数函数、对数函数（含解析）

2027年高考数一轮学复习：幂函数、指数函数、对数函数一．选择题（共8小题）1．已知a＝log23.1，b=(−2)43A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c2．已知幂函数f（x）过点（8，4），则不等式f（x﹣2）＞f（1﹣2x）的解集为（）A．（﹣1，1） B．(−1，1C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）3．若函数y＝lg（x2﹣ax﹣2a）在区间（2，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（1，2） B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，4]4．我市为促进新能源产业发展，计划逐年加大研发资金投入，若2025年全年投入研发资金1300万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过2000万元的年份是（）（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年5．已知M（x1，y1）是函数f（x）＝4x图象上的点，N（x2，y2）是函数g（x）＝2x﹣2图象上的点，且MN∥x轴，则x2﹣x1的最小值为（）A．1 B．32 C．2 D．6．等比数列{an}的各项均为正数，且a4a6+a5＝12，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a9＝（）A．2+log35 B．18log32 C．9 D．107．已知a=log34，b=log134，c=(A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞a＞c8．已知某放射性同位素的含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）的关系式为N=N0e−145，其中N附：ln2≈0.693A．23 B．33 C．45 D．62二．多选题（共4小题）（多选）9．已知函数f（x）＝ln（x2+ax﹣a﹣4），下列说法正确的是（）A．当a＝0时，函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．当a＝0时，函数f（x）的值域为R C．函数f（x）可能有最小值 D．若函数f（x）在区间[2，+∞）内单调递增，则实数a≥﹣4（多选）10．幂函数f（x）＝（2m2+m﹣2）x﹣m﹣1，m∈N*，则下列结论正确的是（）A．m＝1 B．函数f（x）是奇函数 C．f（﹣2）＜f（3） D．函数f（x）的值域为（0，+∞）（多选）11．若a＞b＞1，则（）A．∀c∈R，ac＞bc B．∃c∈R，ac＞bc C．logab＜logba D．ab＞ba（多选）12．下列说法中，正确的有（）A．“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件 B．函数f（x）＝lg（x2﹣6x﹣7）的单调递增区间是（3，+∞） C．已知函数f（2x+1）的定义域为[−32，12]D．已知x∈（0，π），则函数y=sinx+4三．填空题（共4小题）13．幂函数f（x）＝（m2﹣3m﹣3）x2m+1在区间（0，+∞）上单调递减，则实数m＝．14．若实数x，y，z满足2+log2x＝3+log3y＝t+log5z，若x，y，z的大小关系为以下几种情况（不考虑相等情况）：x＞y＞z，x＞z＞y，z＞x＞y，z＞y＞x，则整数t的最大值为．（数据：ln215．若幂函数f（x）的图象过点（4，2），则f（25）＝．16．幂函数y=(a−1)xb2−2b−3(a，b∈N)图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，则a四．解答题（共4小题）17．（1）化简：4x（2）求值：eln218．已知正项等比数列{an}满足a1＝2，且2a1，a3，3a2成等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）若bn=log2anan19．已知函数f（x）＝loga（x2﹣2x+a）（a＞0，且a≠1）．（1）求f（x）图象经过的定点坐标；（2）若f（x）的定义域为R，求不等式f（2x﹣1）＞1的解集．20．已知幂函数f（x）的图象过点（3，9），g(x)=(1（1）求f（x）的解析式；（2）记f（x），g（x）在区间[1，2）上的值域分别为集合A，B，若x∈A是x∈B的必要条件，求实数k的取值范围．

2027年高考数一轮学复习：幂函数、指数函数、对数函数参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CABCBCCD二．多选题（共4小题）题号9101112答案ABADBCAC一．选择题（共8小题）1．已知a＝log23.1，b=(−2)43A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比较．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】C【分析】根据指数函数和对数函数的性质得出a，b，c的范围，即可得出答案．【解答】解：∵log22＜log23.1＜log24，∴1＜log23.1＜2，即a∈（1，2），∵(−2)43=2∵log151＜log1∴b＞a＞c．故选：C．【点评】本题主要考查了函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．2．已知幂函数f（x）过点（8，4），则不等式f（x﹣2）＞f（1﹣2x）的解集为（）A．（﹣1，1） B．(−1，1C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】求幂函数的解析式；由幂函数的单调性求解参数．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】A【分析】结合幂函数定义及性质即可求解．【解答】解：设f（x）＝xα，则8α＝4，所以α=23，f（x）由f（x﹣2）＞f（1﹣2x）可得|x﹣2|＞|1﹣2x|，解得﹣1＜x＜1．故选：A．【点评】本题主要考查了幂函数定义及性质的应用，属于基础题．3．若函数y＝lg（x2﹣ax﹣2a）在区间（2，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（1，2） B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，4]【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】结合复合函数但单调性即可求解．【解答】解：因为函数y＝lgx在（0，+∞）上单调递增，y＝x2﹣ax﹣2a在[a2，+∞)若y＝lg（x2﹣ax﹣2a）在区间（2，+∞）上是单调函数，所以a2≤2，且4﹣2a﹣2所以a≤1．故选：B．【点评】本题主要考查了复合函数单调性的应用，属于基础题．4．我市为促进新能源产业发展，计划逐年加大研发资金投入，若2025年全年投入研发资金1300万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过2000万元的年份是（）（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年【考点】对数的运算性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】C【分析】可设x年后研发资金为y，则得到y＝1300•1.12x，然后得到不等式1300•1.12x＞2000，然后根据对数的运算即可得出x的值，进而得解．【解答】解：设x年后研发资金为y，则y＝1300•1.12x，由1300•1.12x＞2000，得1.12所以xlg1.12＞（1+lg2）﹣（1+lg1.3），所以0.05x＞0.3﹣0.11，解得x＞3.8，取x＝4，4年后是2029年．故选：C．【点评】本题考查了指数型增长模型，对数的运算性质，是基础题．5．已知M（x1，y1）是函数f（x）＝4x图象上的点，N（x2，y2）是函数g（x）＝2x﹣2图象上的点，且MN∥x轴，则x2﹣x1的最小值为（）A．1 B．32 C．2 D．【考点】指数函数的图象．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】由已知结合指数与对数转化及基本不等式即可求解．【解答】解：由题可知，4x1=则x=log当且仅当2x1=故选：B．【点评】本题主要考查了指数与对数的转化及基本不等式的应用，属于基础题．6．等比数列{an}的各项均为正数，且a4a6+a5＝12，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a9＝（）A．2+log35 B．18log32 C．9 D．10【考点】对数的运算性质；等比数列的性质．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】C【分析】结合对数运算性质及等比数列的性质即可求解．【解答】解：等比数列{an}的各项均为正数，且a4a6+a5＝12，由题意得，a4a6+则log故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的性质及对数运算性质，属于基础题．7．已知a=log34，b=log134，c=(A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞a＞c【考点】对数值大小的比较．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】C【分析】结合函数单调性即可比较a，b，c的大小．【解答】解：因为a＝log34＞1，b＝log134＜﹣1，c=(1故a＞c＞b．故选：C．【点评】本题主要考查了函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．8．已知某放射性同位素的含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）的关系式为N=N0e−145，其中N附：ln2≈0.693A．23 B．33 C．45 D．62【考点】对数的运算性质．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】D【分析】结合对数运算性质即可求解．【解答】解：由题意得N=14N则lne−t解得t＝90ln2≈62．故选：D．【点评】本题主要考查了对数运算性质，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知函数f（x）＝ln（x2+ax﹣a﹣4），下列说法正确的是（）A．当a＝0时，函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．当a＝0时，函数f（x）的值域为R C．函数f（x）可能有最小值 D．若函数f（x）在区间[2，+∞）内单调递增，则实数a≥﹣4【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性；求对数型复合函数的定义域；求对数型复合函数的值域．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】AB【分析】结合对数函数及二次函数的性质及复合函数性质检验各选项即可求解．【解答】解：设g（x）＝x2+ax﹣a﹣4，则f（x）＝lng（x），g（x）＞0，选项A：a＝0时，g（x）＝x2﹣4，令x2﹣4＞0⟹x＜﹣2或x＞2，A正确；选项B：a＝0时g（x）＝x2﹣4∈（0，+∞），y＝lnt在t＞0时值域为R，故f（x）值域为R，B正确；选项C：g（x）＝x2+ax﹣a﹣4开口向上，Δ＝a2+4（a+4）＝a2+4a+16＝（a+2）2+12＞0，g（x）＝0恒有两个不同实根，g（x）在定义域内取值范围是（0，+∞），lnt在t＞0无下界，f（x）＝lng（x）不存在最小值，C错误；选项D：举反例，当a＝﹣4时，g（2）＝﹣4＜0，不满足定义域，D错误．故选：AB．【点评】本题主要考查了对数函数，二次函数的复合函数性质的应用，属于中档题．（多选）10．幂函数f（x）＝（2m2+m﹣2）x﹣m﹣1，m∈N*，则下列结论正确的是（）A．m＝1 B．函数f（x）是奇函数 C．f（﹣2）＜f（3） D．函数f（x）的值域为（0，+∞）【考点】求幂函数的解析式．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】AD【分析】由题意，结合幂函数的概念，可求得m＝1，代入函数解析式，根据幂函数的图像性质，逐项判断即可．【解答】解：幂函数f（x）＝（2m2+m﹣2）x﹣m﹣1，m∈N*，对于A选项，由幂函数定义可知，2m2+m﹣2＝1，解得m＝1（m=−32舍），故对于B选项，当m＝1时，f(x)=x且满足f(x)=1x2=f(−x)，所以函数f（对于C选项，由f(x)=1x2可知，f(−2)=所以f（﹣2）＞f（3），故C错误；对于D选项，函数f(x)=1x2故选：AD．【点评】本题主要考查幂函数的性质应用，考查计算能力，属于中档题．（多选）11．若a＞b＞1，则（）A．∀c∈R，ac＞bc B．∃c∈R，ac＞bc C．logab＜logba D．ab＞ba【考点】对数值大小的比较．【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．【答案】BC【分析】结合不等式的性质检验各选项即可求解．【解答】解：当c＝0时，A错误；当c＞0时，B成立；当a＞b＞1时，logab＜1＜logba，C正确；当a＝4，b＝2时，D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．（多选）12．下列说法中，正确的有（）A．“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件 B．函数f（x）＝lg（x2﹣6x﹣7）的单调递增区间是（3，+∞） C．已知函数f（2x+1）的定义域为[−32，12]D．已知x∈（0，π），则函数y=sinx+4【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性；充分不必要条件的判断．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；简易逻辑；不等式；数学运算．【答案】AC【分析】选项A，x2＞1的解为x＞1或x＜﹣1，利用充分条件和必要条件的定义得解；选项B，先求出函数的定义域，再利用还原法，设t＝x2﹣6x﹣7，利用二次函数的图象得到t的单调性，由y＝lgt为R上的单调递增函数，利用复合函数得到f（x）的单调性，从而得解；选项C，由f（2x+1）的定义域为[−32，12]，求出f（x）的定义域，从而得到f（x﹣1）中的x﹣1的范围，从中解出x的范围，从而得解；选项D，由x∈（0，π）得到0＜sinx≤1，利用基本不等式得到y≥4，经过验证等号不成立设t＝sinx，0＜t≤1则y=sinx+4sinx转化为【解答】解：选项A，x2＞1⇔x＞1或x＜﹣1，由“x＞1”可以得到“x2＞1”，但“x2＞1”不一定得到“x＞1”，故“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件，A正确；选项B，x2﹣6x﹣7＞0⇔x＞7或x＜﹣1，设t＝x2﹣6x﹣7，对称轴为x＝3，∴t在（7，+∞）上是单调递增函数，在（﹣∞，﹣1）上是单调递减函数，∴f（x）＝lg（x2﹣6x﹣7）在（7，+∞）上是单调递增函数，在（﹣∞，﹣1）上是单调递减函数，B错误；选项C，∵f（2x+1）的定义域为[−3∴f（2x+1）中的x的范围为[−32，12∴f（x）中的x∈[﹣2，2]，∴f（x）的定义域为[﹣2，2]，∴f（x﹣1）中的x﹣1∈[﹣2，2]，解得x∈[﹣1，3]，∴f（x﹣1）的定义域为[﹣1，3]，C正确；选项D，∵x∈（0，π），∴0＜sinx≤1，∴y=sinx+4当且仅当sinx=4sinx时，即sin∵0＜sinx≤1，∴等号取不到，设t＝sinx，0＜t≤1则y=sinx+4sinx转化为由对勾函数可得在0＜t≤1范围内y=t+4∴t＝1时，y=t+4t取最小值5，故选：AC．【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，复合函数单调性的应用，函数定义域的求解，基本不等式求解最值，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．幂函数f（x）＝（m2﹣3m﹣3）x2m+1在区间（0，+∞）上单调递减，则实数m＝﹣1．【考点】由幂函数的单调性求解参数．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】﹣1．【分析】先根据幂函数的定义求出m的可能取值，再结合幂函数在（0，+∞）上的单调递减性质筛选出符合条件的m．【解答】解：根据幂函数的定义可得m2﹣3m﹣3＝1，解得m＝4或m＝﹣1；幂函数f（x）＝xα在（0，+∞）上单调递减的充要条件是指数α＜0，即2m+1＜0，当m＝4时，2m+1＝9＞0，此时f（x）＝x9在（0，+∞）上单调递增，不符合题意，舍去；当m＝﹣1时，2m+1＝﹣1＜0，此时f（x）＝x﹣1在（0，+∞）上单调递减，符合题意，综上，实数m＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了幂函数定义及性质的应用，属于基础题．14．若实数x，y，z满足2+log2x＝3+log3y＝t+log5z，若x，y，z的大小关系为以下几种情况（不考虑相等情况）：x＞y＞z，x＞z＞y，z＞x＞y，z＞y＞x，则整数t的最大值为3．（数据：ln2【考点】对数的运算性质．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】3．【分析】设2+log2x＝3+log3y＝t+log5z＝m，则x＝2m﹣2，y＝3m﹣3，z＝5m﹣t，进而得到由2m﹣2＝3m﹣3，解得m=3ln3−2ln2ln3−ln2，由3m﹣3＝5m﹣t解得m=tln5−3ln3ln5−ln3，则【解答】解：设2+log2x＝3+log3y＝t+log5z＝m，所以x＝2m﹣2，y＝3m﹣3，z＝5m﹣t，由2m﹣2＝3m﹣3，3m﹣3＝5m﹣t，得m=3ln3−2ln2ln3−ln2，结合指数函数图象，可得x＞y＞z，x＞z＞y，z＞x＞y，z＞y＞x，则tln5−3ln3ln5−ln3解得t＜3ln3ln5−2ln2ln5−ln2ln3整数t的最大值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了对数运算性质的应用，属于中档题．15．若幂函数f（x）的图象过点（4，2），则f（25）＝5．【考点】幂函数的概念．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】5．【分析】根据幂函数过点列式求解幂函数解析式，代入求值即可．【解答】解：由f（x）＝xα过（4，2），所以f(4)=4所以f(x)=x12故答案为：5．【点评】本题主要考查了幂函数解析式的求解，属于基础题．16．幂函数y=(a−1)xb2−2b−3(a，b∈N)图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，则a【考点】由幂函数的单调性求解参数；幂函数的特征及辨识．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】3．【分析】根据幂函数的定义与性质，得出a﹣1＝1，b2﹣2b﹣3＜0且为偶数，再根据取值范围，求出a和b的值，再求和．【解答】解：∵幂函数y=(a−1)xb2−2b−3（a，b∈∴b2﹣2b﹣3＜0，且b2﹣2b﹣3为偶数，b∈N，且a﹣1＝1．解得﹣1＜b＜3，b＝0，1，2，且a＝2，只有b＝1时满足b2﹣2b﹣3＝﹣4为偶数，∴b＝1．故a+b＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了幂函数的图象及性质，是基础题．四．解答题（共4小题）17．（1）化简：4x（2）求值：eln2【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值；对数运算求值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】（1）2x（2）25【分析】（1）利用指数幂的运算性质求解；（2）利用对数的运算性质求解．【解答】解：（1）4x（2）e=2+(＝2+1+32+2−＝2+1+9+2−=25【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质和对数的运算性质，属于基础题．18．已知正项等比数列{an}满足a1＝2，且2a1，a3，3a2成等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）若bn=log2anan【考点】对数的运算性质；等差数列与等比数列的综合．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】（1）an（2）2−n+2【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q（q＞0），根据等差中项建立关于公比的方程，解方程即可得公比，再根据通项公式求解即可；（2）结合（1）得bn【解答】解：（1）正项等比数列{an}满足a1＝2，且2a1，a3，3a2成等差数列，设等比数列{an}的公比为q（q＞0）．则2a1+3a2＝2a3．因为a1＝2，所以2×2+3×2q＝2×2q2，整理得2q2﹣3q﹣2＝（q﹣2）（2q+1）＝0，解得q＝2或q=−1因为q＞0，所以q＝2，故{an}的通项公式为an（2）若bn则bn记数列{n2n}的前n项和为P因为12所以两式相减得12所以Pn因为数列{2n﹣1}的前n项和为(1+2n−1)n2所以数列{bn}的前n项和Sn【点评】本题考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．已知函数f（x）＝loga（x2﹣2x+a）（a＞0，且a≠1）．（1）求f（x）图象