2027北师大版数学九上第一章-专题02 矩形的性质与判定（专项训练）

专题02矩形的性质与判定常考题型·精准突破题型1利用矩形的性质求角度（重）题型2利用矩形的性质求线段长（重）题型3斜边的中线等于斜边的一半（高频）题型4利用矩形的性质证明求解综合（重）题型5矩形与折叠问题（难）题型6添一条件使四边形是矩形（重）题型7根据矩形的性质与判定求解（高频）题型8根据矩形的性质与判定解决多结论问题（难）题型9与矩形的性质与判定有关的作图（高频）题型10矩形的性质与判定的综合问题（难）综合攻坚·知能拔高常考题型·精准突破◆题型1利用矩形的性质求角度1．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在矩形中，对角线、交于点．延长至点，，，则的大小是_______度．2．（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，点，分别在边，上，连接交对角线于点．若为的中点，，则_____．3．（25-26八年级下·北京·期末）如图，点E是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则_____．◆题型2利用矩形的性质求线段长4．（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且．若，则的长为________．5．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，对角线与交于点，过点作交于点，的平分线交于点，延长交于点．若矩形的周长为20，则线段的长为_____．6．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，矩形的面积是20，对角线与交于点，线段经过点且与和分别交于、点，若，则图中阴影部分的面积为_________．◆题型3斜边的中线等于斜边的一半7．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，已知点和，点是的中点，则的长为________．8．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接．若，，则的长为_______．9．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，，于点，是边的中点，若．（1）的度数为________；（2）的值为________．◆题型4利用矩形的性质证明求解综合10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形是矩形，与相交于点，点在边的延长线上，．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)若，，点在线段上，点在线段上，连接，若线段长为正整数，请直接写出的长．11．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，则菱形的面积为______．12．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）中，对角线、相交于点O，过点O作的垂线交于点P，点Q是的延长线上一点且．(1)当四边形是矩形时．①求的度数；②判断线段、和数量关系，并证明：(2)如图2，当时，若，，求的周长．◆题型5矩形与折叠问题13．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，在矩形纸片中，，．现将纸片沿对角线折叠，使点落在处，交于点．将沿翻折，使点落在内部点处，连接．(1)求线段的长；(2)若，求的度数．14．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点是射线上一点，将矩形沿直线折叠，点的对应点为点．(1)当点落在边上时，四边形的形状是_______，此时线段长为_______．(2)当点、、在同一条直线上时，求线段长．(3)当为直角时，直接写出线段的长．15．（25-26八年级下·山东临沂·期末）在矩形中，，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）．(1)【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为____________；(2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且，①求证：；②求的长．(3)【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长．◆题型6添一条件使四边形是矩形16．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件______使平行四边形ABCD是矩形．17．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，四边形的对角线，交于点，，．请添加一个条件，使它成为矩形，这个条件可以是_________．（写出一个即可）18．（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，在中，点E，F分别在边上，，与对角线相交于点O．(1)求证：；(2)请你添加一个条件：________________，使得平行四边形成为矩形．◆题型7根据矩形的性质与判定求解19．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为____________．20．（25-26八年级下·广东珠海·期末）如图，在梯形中，，，连接，．作交于点，，，则________．21．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是__________．◆题型8根据矩形的性质与判定解决多结论问题22．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点，将沿折叠，点恰好落在上点处，延长、交于点，有下列四个结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确结论的序号是__________．23．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在等腰三角形中，是底边上一动点，作交于点，交于点．给出下面四个结论：①四边形是平行四边形；②；③若点运动至中点，则四边形是菱形；④若，连结，则的最小值为上述结论中，正确结论的序号是___________．24．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，矩形中，点为对角线的中点，连接，点在上，，，，有下列结论：①；②；③矩形的面积为；④若为线段上的动点（不包括端点），连接、，的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是________．◆题型9与矩形的性质与判定有关的作图25．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，矩形的对角线，相交于点．(1)尺规作图：试确定点，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的前提下，若矩形的周长为，面积为，求的长．26．（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，是一正六边形，请你仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）．(1)在图1中，作一个以为边的矩形；(2)在图2中，作一个以为对角线的菱形．27．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，延长至点，使得，连接．(1)尺规作图：作边的中点，并分别连接，（不写作法，保留作图痕迹）；(2)求证：四边形是矩形；(3)若，，求菱形的面积．◆题型10矩形的性质与判定的综合问题28．（25-26八年级下·新疆喀什·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的长．29．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在中，，点是线段的中点，，，，垂足为点．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的长．30．（25-26八年级下·上海松江·期末）如图1，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，将沿翻折，点A落在点E处，直线与直线交于点F．(1)当点E落在边上时，求的长度；(2)如图2，在四边形中，G、H、I、J分别是边的中点，求证：四边形是一个矩形；(3)点P在边上运动过程中，是否存在线段与线段相等的情况？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由．综合攻坚·知能拔高一、单选题1．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，点在矩形的边的延长线上，连接，，，若，则的度数是（）A． B． C． D．2．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如下图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（

）A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形3．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，将矩形纸片沿其对角线折叠，使点落到点的位置，与交于点，若，，则图中阴影部分的周长为（

）A． B． C． D．4．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）图①是某可伸缩书架，其示意图如图②所示，连杆，连杆的交点M为，中点，N为，中点，P为，中点，Q为，中点，当的长由缩短至时，书架两侧的挡板与之间的距离（

）

A．伸长了 B．伸长了 C．伸长了 D．伸长了二、填空题5．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）已知直角三角形两边长为1和，则此直角三角形斜边上的中线长是__________．6．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在矩形中，，对角线和相交于点O，于点E．若，则矩形的面积为______．7．（黑龙江齐齐哈尔市建华区2025-2026学年度下学期期末学业考试八年级数学试题）在矩形中，，点在边上，，点在边上，若是等腰三角形，则的长为_____．8．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在一张矩形纸片中，，，点、分别在、边上，将纸片沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处．（1）__________；（2）当点与点重合时，__________．三、解答题9．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在矩形中，是对角线的中点，过点作直线交于点，交于点，连接，．(1)请你判断四边形的形状，并说明理由；(2)若，，求四边形的面积．10．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作，且，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求四边形的周长．11．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，分别为，的中点，，垂足为，点在的延长线上，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，，求四边形的面积．12．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图1，矩形的对角线、交于点．(1)若，，求的长；(2)如图2，延长至点，使，取的中点，连接、，请判断与位置关系，并说明理由；(3)如图3，点、点分别是的延长线和反向延长线上的点，且，连接、，在上取点使得，在上取点使得，、相交于点，已知，，求的值．13．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图1，矩形的对角线、相交于点，且、，连接．(1)求证：与互相垂直且平分；(2)如图2，若取的中点，连接交于点，求证：；(3)如图3，过点作射线分别交，的延长线于点，，连接，的面积为，求的面积．14．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）综合与实践【问题情境】在数学活动课上，老师和同学们以矩形纸片的折叠为背景开展几何探究，在矩形纸片中，，点是射线边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平如图1．【操作探究】(1)如图2，若点落在矩形内部，过点作交于，连接，请判断四边形的形状，并说明理由．(2)如图3，若点为的三等分点，点落在矩形内部，再取的中点，连接并延长交边于点，判断与的数量关系，并说明理由．(3)若，，在翻折过程中，当点落在直线上时，请直接写出的长．专题02矩形的性质与判定常考题型·精准突破题型1利用矩形的性质求角度（重）题型2利用矩形的性质求线段长（重）题型3斜边的中线等于斜边的一半（高频）题型4利用矩形的性质证明求解综合（重）题型5矩形与折叠问题（难）题型6添一条件使四边形是矩形（重）题型7根据矩形的性质与判定求解（高频）题型8根据矩形的性质与判定解决多结论问题（难）题型9与矩形的性质与判定有关的作图（高频）题型10矩形的性质与判定的综合问题（难）综合攻坚·知能拔高常考题型·精准突破◆题型1利用矩形的性质求角度1．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在矩形中，对角线、交于点．延长至点，，，则的大小是_______度．【答案】【分析】首先证明四边形是平行四边形，得到，求出，再根据矩形的性质证明，可得，即可求得答案．【详解】解：四边形是矩形，，，四边形是平行四边形，，，四边形是矩形，，，，，，．2．（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，点，分别在边，上，连接交对角线于点．若为的中点，，则_____．【答案】/度【分析】根据矩形的性质可得，得出，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，则，再根据三角形的外角的性质，即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵∴∵在中，为的中点，∴∴∴∴．3．（25-26八年级下·北京·期末）如图，点E是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则_____．【答案】【分析】根据矩形的性质得到，可知，则，根据得到，可知．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，∴．◆题型2利用矩形的性质求线段长4．（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且．若，则的长为________．【答案】2【分析】由矩形性质可得，结合可证点为中点，利用三角形中位线定理即可求解．【详解】解：四边形是矩形，，，，，，，，即点是的中点，点是边的中点，是的中位线，．5．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，对角线与交于点，过点作交于点，的平分线交于点，延长交于点．若矩形的周长为20，则线段的长为_____．【答案】5【分析】利用矩形性质、角平分线和平行线得，过作于，则为中点，则为等腰直角三角形，结合矩形周长求出的长．【详解】解：四边形是矩形，，，矩形周长，得到：，．，．设，则．，平分，．．过作于，则为中点，又为中点，为的中位线，，，，则为等腰直角三角形，．，，．6．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，矩形的面积是20，对角线与交于点，线段经过点且与和分别交于、点，若，则图中阴影部分的面积为_________．【答案】5【分析】由矩形的性质可得，，证明，得出，由此计算即可得出阴影部分的面积．【详解】解：∵四边形为矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．◆题型3斜边的中线等于斜边的一半7．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，已知点和，点是的中点，则的长为________．【答案】【分析】根据点A和点B的坐标得到的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据直角三角形的性质可得答案．【详解】解：∵点，，∴，又∵，∴，∵点是的中点，∴．8．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接．若，，则的长为_______．【答案】【分析】由菱形的性质可得，，，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【详解】解：四边形是菱形，，，，在中，，，，，．9．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，，于点，是边的中点，若．（1）的度数为________；（2）的值为________．【答案】45【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质和三角形的内角和计算；（2）根据勾股定理计算．【详解】解：（1）设，则，∵，∴，∴，∴，，∴，∵是边的中点，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴，设，则，∴，，∴．◆题型4利用矩形的性质证明求解综合10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形是矩形，与相交于点，点在边的延长线上，．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)若，，点在线段上，点在线段上，连接，若线段长为正整数，请直接写出的长．【答案】(1)证明：∵矩形，，，，．又，，，

∵点在边延长线上，，∴四边形是平行四边形；(2)，，，，【分析】（1）根据矩形的性质得，，，根据等腰三角形三线合一，得，最后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；（2）过点D作于点H，连接，利用等面积法计算出，则的长最小值等于的长，最大值等于的长．【详解】（1）略（2）解：如图，过点D作于点H，连接，，，，矩形，，，，，，，，，，由（1）知，，，四边形是平行四边形，，点在线段上，点在线段上，，即，长为正整数，的长可以为，，，，．11．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，则菱形的面积为______．【答案】(1)证明：∵四边形为矩形，∴，∴，∵垂直平分，∴，，，在和中，，∴，∴，∴，∴四边形是菱形；(2)【分析】（1）由矩形的性质可得，则，由线段垂直平分线的性质可得，，，证明，得出，从而可得，即可得证；（2）由矩形的性质可得，设，则，利用勾股定理求出，再由菱形的面积公式计算即可得出结果．【详解】（1）略（2）解：∵四边形为矩形，∴，设，则，在中，由勾股定理可得，∴，∴，∴，∴菱形的面积为．12．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）中，对角线、相交于点O，过点O作的垂线交于点P，点Q是的延长线上一点且．(1)当四边形是矩形时．①求的度数；②判断线段、和数量关系，并证明：(2)如图2，当时，若，，求的周长．【答案】(1)①；②，理由如下：如图，连接，，∵矩形，∴，，∵，∴，，过作交的延长线于，∴，∵，∴，∴，，设，而，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．(2)【分析】（1）①根据矩形的性质求解即可；②如图，连接，，过作交的延长线于，证明，，，进一步可得结论．（2）如图，连接，，过作于，作交的延长线于，则，证明，可得，，记，的交点为，证明，设，则，，再进一步求解即可．【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴；②略（2）解：如图，连接，，过作于，作交的延长线于，则，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，，记，的交点为，∵，∴，∴为等边三角形，∴，设，则，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，，同理可得：，∴，∴的周长为．◆题型5矩形与折叠问题13．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，在矩形纸片中，，．现将纸片沿对角线折叠，使点落在处，交于点．将沿翻折，使点落在内部点处，连接．(1)求线段的长；(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据矩形的性质及折叠，可知，设，用表示，在中，利用勾股定理即可求解；（2）设，根据折叠分别用表示，再利用矩形的内角是列方程即可求解．【详解】（1）解：四边形是矩形，，，．，沿矩形对角线折叠，，．．设的长为，则，，在中，，由勾股定理得，解得答：的长为．（2）解：设，沿翻折，使点落在内部点处，．由（1）可知，，．四边形是矩形，，．即解得，．答：的度数为．14．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点是射线上一点，将矩形沿直线折叠，点的对应点为点．(1)当点落在边上时，四边形的形状是_______，此时线段长为_______．(2)当点、、在同一条直线上时，求线段长．(3)当为直角时，直接写出线段的长．【答案】(1)正方形；3(2)(3)或【详解】（1）解：如图，∵四边形为矩形，∴，由折叠的性质得：，∴四边形为矩形，∵，∴四边形为正方形，∴；（2）解：如图，∵四边形为矩形，，∴，，∵，∴，由折叠的性质得：，，∴CE=AC-AE=2，，在中，，∴，解得：；（3）解：由折叠的性质得：，，设，当点F在边上时，则，∵为直角，∴，∴点D，E，F三点共线，在中，，∴，在中，，∴，解得：，即；当点F在边的延长线上时，则，∵为直角，∴，∴点D，E，F三点共线，在中，，∴，在中，，∴，解得：，即；综上所述，线段长为或．15．（25-26八年级下·山东临沂·期末）在矩形中，，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）．(1)【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为____________；(2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且，①求证：；②求的长．(3)【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长．【答案】(1)1(2)①证明：四边形是矩形，，由翻折的性质知，、，，在和中，，，；②(3)的长为或【分析】（1）由矩形的性质可得、，利用折叠的性质可得，再运用勾股定理求解即可；（2）①由矩形的性质、折叠的性质证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论；②设，则，进而得到、，再在中，利用勾股定理列方程求解即可；（3）分点Q在线段上和点Q在线段的延长线上两种情况，分别利用矩形的性质、折叠的性质、勾股定理求解即可．【详解】（1）解：四边形是矩形，，，，将沿直线翻折至的位置，，在中，，∴；（2）①略②解：，，设，则，，、，在中，，，解得：，．（3）的长为1或9

解：分两种情况讨论：情况1：当点在线段上时，如图所示：由翻折的性质知，、、、，，四边形是矩形，，，，，，；情况2：当点在线段的延长线上时，如图所示：由翻折的性质知，、、，，设，则、，，在中，，，解得：，即，综上，的长为或◆题型6添一条件使四边形是矩形16．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件______使平行四边形ABCD是矩形．【答案】（答案不唯一）【分析】根据矩形的判定方法即可解决问题【详解】解：若使平行四边形是矩形，可添加的条件是：；（对角线相等的平行四边形是矩形），等（有一个角是直角的平行四边形是矩形），（答案不唯一）．17．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，四边形的对角线，交于点，，．请添加一个条件，使它成为矩形，这个条件可以是_________．（写出一个即可）【答案】或（合理即可）【详解】解：∵，，∴四边形是平行四边形，由矩形的判定，添加或（合理即可）．18．（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，在中，点E，F分别在边上，，与对角线相交于点O．(1)求证：；(2)请你添加一个条件：________________，使得平行四边形成为矩形．【答案】(1)证明：连接，∵，∴，∵点E，F分别在边上，，∴，∴，∴四边形为平行四边形，∵与对角线相交于点O，∴；(2)（答案不唯一）【分析】（1）证明四边形为平行四边形，即可得证；（2）根据有一个角是直角的平行四边形，添加，即可.【详解】（1）略（2）略◆题型7根据矩形的性质与判定求解19．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为____________．【答案】【分析】根据矩形的性质得到是解题的关键．根据勾股定理的逆定理可以证明为直角三角形，根据三个角都是直角的四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，时，的值最小，由此即可得出结论．【详解】解：连接，如图，∵，∴，∴为直角三角形，，∵于点E，于点F，∴，∴四边形为矩形，∴，当的值最小时，的值最小，当时，的值最小，此时，∴的最小值为，20．（25-26八年级下·广东珠海·期末）如图，在梯形中，，，连接，．作交于点，，，则________．【答案】【分析】过点作于点，在上截取，先证明四边形是矩形，勾股定理求得的长，进而根据等面积法求得，勾股定理求得，根据已知推导得出，设，则，进而在中，根据勾股定理建立方程，求得得出，根据，即可求解．【详解】解：如图，过点作于点，在上截取，∵，，∴∵∴∴∴四边形是矩形，∴在中，，，∴∵∴，在中，设，∵，∴∵，

∴∴∴又∵∴，设，则，在中，∴解得：∴∴∴.21．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是__________．【答案】3【分析】本题考查了矩形的判定与性质，利用矩形的对角线平分矩形的面积是解题的关键；作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解．【详解】解：如图，作于M，交于N；则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，∴，，∴，∴，∴，故答案为：3．◆题型8根据矩形的性质与判定解决多结论问题22．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点，将沿折叠，点恰好落在上点处，延长、交于点，有下列四个结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确结论的序号是__________．【答案】①②④【分析】根据折叠的性质可得，，结合角平分线的性质可得，从而判断①；通过证明和，得出，利用等腰三角形三线合一的性质判断②；根据边长数量关系推导，判断④；假设是等边三角形，推导角度矛盾，判断③【详解】解：四边形是矩形，，，由折叠的性质可得：，，平分，，．故①正确，符合题意在和中，在和中，点是的中点．故④正确，符合题意是等腰三角形平分．故②正确，符合题意若是等边三角形，则这与矛盾不是等边三角形．故③错误，不符合题意综上所述，正确的结论是①②④23．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在等腰三角形中，是底边上一动点，作交于点，交于点．给出下面四个结论：①四边形是平行四边形；②；③若点运动至中点，则四边形是菱形；④若，连结，则的最小值为上述结论中，正确结论的序号是___________．【答案】④【分析】根据平行四边形的判定即可知①正确；由平行四边形的性质得和，结合平行和等腰三角形的性质即可得，则，已知等腰三角形，那么，与不一定相等，则②错误；证明，由全等三角形的性质得出，结合①得出四边形是菱形，则③正确；证明平行四边形是矩形，则，根据时，最小，进而可判断④正确【详解】解：∵，，∴四边形是平行四边形，则①正确；∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∵三角形为等腰三角形，∴，∴，则，∴，∵三角形为等腰三角形，∴与不一定相等，则②错误；如图，∵点运动至中点，则,∵，，∴,,∴,∴,由（1）知四边形是平行四边形，∴四边形是菱形，则③正确；如图，连接，∵四边形是平行四边形，，∴平行四边形是矩形，∴，∵时，最小，∴此时最小，∵，∴，∵，∴，∴，则④正确．24．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，矩形中，点为对角线的中点，连接，点在上，，，，有下列结论：①；②；③矩形的面积为；④若为线段上的动点（不包括端点），连接、，的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是________．【答案】①②③【分析】根据矩形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知①正确；根据矩形的性质与角的和差关系可得②；延长，使得，连接，由题意易得，，则有，设，则有，然后根据勾股定理可得③；作点关于的对称点，连接，取的中点，连接，根据“将军饮马”问题可得④．【详解】解：四边形是矩形，，，点为对角线的中点，，故①正确；四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，故②正确；延长，使得，连接，如图所示：∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，设，则有，∴，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，∴，解得：（不符合题意，舍去），∴，∴，∴矩形的面积为，故③正确；作点关于的对称点，连接，取的中点，连接，如图所示：根据轴对称的性质可知：，，∴，∴当点三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为线段的长，由③可知：，∵为的中点，是的中点，∴是的中位线，，∴，∴，，∴在中，由勾股定理得：，∴的最小值为，故④错误；综上所述：正确的有①②③．◆题型9与矩形的性质与判定有关的作图25．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，矩形的对角线，相交于点．(1)尺规作图：试确定点，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的前提下，若矩形的周长为，面积为，求的长．【答案】(1)如图，点就是所要求作的点∵四边形为矩形，∴，，，∴，由作图可得，，∴，∴四边形是菱形；(2)【分析】（1）以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点，点就是所要求作的点；（2）由矩形的性质可得，，再由矩形的周长和面积公式并结合勾股定理计算即可得出结果．【详解】（1）略；（2）解：∵四边形是矩形，，，∵矩形的周长为14，面积为12，，，，，，∵四边形是菱形，．26．（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，是一正六边形，请你仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）．(1)在图1中，作一个以为边的矩形；(2)在图2中，作一个以为对角线的菱形．【答案】(1)解：如图，矩形为所求；(2)解：如图，菱形为所求．【分析】（1）连接，根据正六边形的性质，等边对等角，以及角的和差关系可知：，则矩形为所求；（2）连接，交于点，根据正六边形的性质，可得，均为等边三角形，可得，则菱形为所求．【详解】（1）略（2）略27．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，延长至点，使得，连接．(1)尺规作图：作边的中点，并分别连接，（不写作法，保留作图痕迹）；(2)求证：四边形是矩形；(3)若，，求菱形的面积．【答案】(1)如图所示，点F及线段，即为所求．(2)证明：在中，，点F为的中点，，．四边形是菱形，，．，又，四边形为平行四边形．，是矩形．(3)【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法作图即可；（2）证明四边形为平行四边形．再由即可证明结论成立；（3）求出．证明．作于点G．求出．，即可求出答案．【详解】（1）略（2）略（3）解：四边形是矩形，．四边形是菱形，．，．如图，作于点G．在中，．．．．◆题型10矩形的性质与判定的综合问题28．（25-26八年级下·新疆喀什·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明：∵平分，平行四边形中，，∴，且，∴，∴，∴平行四边形为菱形．又∵，，∴四边形为平行四边形．在菱形中，，∴，∴平行四边形为矩形．(2)5【分析】（1）证明四边形为平行四边形．再证明，即可证明结论成立；（2）根据矩形的性质、菱形的性质、勾股定理进行解答即可．【详解】（1）略（2）解：在矩形中，，在菱形中，，且，，∴菱形边长，∴．29．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在中，，点是线段的中点，，，，垂足为点．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明：，点是线段的中点，，，，又，四边形是平行四边形．，，平行四边形是矩形．(2)【分析】（1）先根据两组对边平行判定四边形是平行四边形，再结合，有一个角是直角的平行四边形为矩形完成证明．（2）先求出，由勾股定理算出，再借助三角形面积法，求出线段的长．【详解】（1）略（2）解：，，，，∴在中，，∵四边形是矩形，，，，即，．30．（25-26八年级下·上海松江·期末）如图1，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，将沿翻折，点A落在点E处，直线与直线交于点F．(1)当点E落在边上时，求的长度；(2)如图2，在四边形中，G、H、I、J分别是边的中点，求证：四边形是一个矩形；(3)点P在边上运动过程中，是否存在线段与线段相等的情况？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)证明：如下图，连接，由折叠可知，，∴垂直平分，即，∵G、H分别是边的中点，∴为的中位线，∴，同理可得，∴，∴四边形为平行四边形，∵G、J分别是边的中点，∴为的中位线，∴，∵，，∴，∴，∴四边形是一个矩形；(3)存在，线段的长度为或【分析】（1）首先根据矩形的性质可得，再由折叠可知，，在中，由勾股定理解得的长度，进而可得；设，则，在中，由勾股定理解得的值，即可获得答案；（2）连接，易得垂直平分，再根据三角形中位线的性质可得，进而证明四边形为平行四边形；再证明，即可证明结论；（3）分点在下方和点在上方两种情况，分别求解即可．【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，，∴，由折叠可知，，∴在中，，∴，设，则，在中，可得，∴，解得，∴；（2）略（3）解：分两种情况讨论：情况1，当点在下方时，如下图，连接，由折叠可知，，，∵，∴，又∵，∴，∴，设，则，∴，，∴，在中，可得，∴，解得，∴线段的长度为；情况2，当点在上方时，如下图，连接，由折叠可知，，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，设，则，∴，，∴，在中，可得，∴，解得，∴线段的长度为．综上所述，线段的长度为或．综合攻坚·知能拔高一、单选题1．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，点在矩形的边的延长线上，连接，，，若，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接交于点，由矩形性质得，，结合已知可得，利用等腰三角形性质求出，进而求得．【详解】解：连接交于点，∵四边形是矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．2．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如下图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（

）A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形【答案】D【分析】根据矩形的判定逐一分析即可．【详解】解：A选项，∵平行四边形，，∴平行四边形是矩形，选项正确，不符合题意；B选项，∵平行四边形，，∴平行四边形是矩形，B选项正确，不符合题意；C选项，平行四边形中，，，∵，∴，∴平行四边形是矩形，C选项正确，不符合题意；选项，当时，平行四边形是菱形，不一定是矩形，结论错误，D选项符合题意．3．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，将矩形纸片沿其对角线折叠，使点落到点的位置，与交于点，若，，则图中阴影部分的周长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据折叠性质和矩形性质，将阴影部分周长转化为矩形周长计算解题．【详解】∵四边形为矩形，∴，，由翻折可得，∴阴影部分的周长为．4．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）图①是某可伸缩书架，其示意图如图②所示，连杆，连杆的交点M为，中点，N为，中点，P为，中点，Q为，中点，当的长由缩短至时，书架两侧的挡板与之间的距离（

）

A．伸长了 B．伸长了 C．伸长了 D．伸长了【答案】B【详解】解：连接，，，

∵点M为，中点，，∴四边形是矩形，∴，，当时，；当时，；∴当的长由缩短至时，与之间的距离的长度伸长，同理，当的长由缩短至时，，，各伸长，∴当的长由缩短至时，书架两侧的挡板与之间的距离．二、填空题5．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）已知直角三角形两边长为1和，则此直角三角形斜边上的中线长是__________．【答案】或1/1或【分析】本题需分类讨论，分已知两边均为直角边和较长边为斜边两种情况，利用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．【详解】解：分两种情况讨论：情况1：当和均为直角边时，由勾股定理得，斜边长为，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，斜边上的中线长为；情况2：当为斜边，为直角边时，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，斜边上的中线长为．综上所述，此直角三角形斜边上的中线长是或．6．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在矩形中，，对角线和相交于点O，于点E．若，则矩形的面积为______．【答案】【分析】根据矩形的性质得出对角线互相平分且相等，结合已知线段比例关系推导出为的中点，利用线段垂直平分线的性质证得，进而判定为等边三角形，求出对角线的长，再利用勾股定理求出的长，最后计算矩形面积即可．【详解】解：四边形是矩形，，，，设，则，，，，，，垂直平分，，，，是等边三角形，，，在中，由勾股定理得：，矩形的面积．7．（黑龙江齐齐哈尔市建华区2025-2026学年度下学期期末学业考试八年级数学试题）在矩形中，，点在边上，，点在边上，若是等腰三角形，则的长为_____．【答案】或或【分析】画出图形，根据矩形及等腰三角形的性质分三种情况进行讨论解答．【详解】解：在矩形中，，，①当时，如图，过点E作于点F，则，四边形是矩形，∴，，．，．②当时，如图，，，．③当时，如图，过点P作于点G，设，则四边形是矩形，∴，，，在中，由勾股定理可得，解得．综上可知的长为或或．8．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在一张矩形纸片中，，，点、分别在、边上，将纸片沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处．（1）__________；（2）当点与点重合时，__________．【答案】【分析】（1）由折叠的性质和矩形的性质即可求出答案；（2）在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得，过点作于点M，则得到，由勾股定理即可求出答案．【详解】解：（1）由折叠的性质可知，四边形与关于直线对称，∴∵四边形是矩形，∴∴，（2）当点和点重合时，即点落在点A处，由折叠的性质可知，，设，则，∴，在中，由勾股定理可得，，即，解得，即，设，则，∴，在中，由勾股定理可得，，即，解得，即，过点作于点M，∵四边形是矩形，∴四边形是矩形，∴∴，在中，三、解答题9．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在矩形中，是对角线的中点，过点作直线交于点，交于点，连接，．(1)请你判断四边形的形状，并说明理由；(2)若，，求四边形的面积．【答案】(1)解：四边形是菱形．理由如下：四边形是矩形，，，．是的中点，，，，四边形是平行四边形．，平行四边形是菱形．(2)【分析】（1）根据矩形的性质得到，则可得到，；证明，得到，则可证明四边形是平行四边形，进而可证明平行四边形是菱形．（2）根据菱形的性质，勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，进而求出的长，再根据菱形的面积公式求解即可．【详解】（1）略（2）解：∵四边形是菱形，∴，又，，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴．10．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作，且，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求四边形的周长．【答案】(1)证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵在菱形中，对角线、相交于点，∴，即，∴平行四边形是矩形；(2)14【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质推出，据此可证明四边形是矩形；（2）利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据矩形的周长公式求解即可．【详解】（1）略（2）解：∵在菱形中，对角线、相交于点，∴，即，，∴，∵四边形是矩形，∴四边形的周长．11．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，分别为，的中点，，垂足为，点在的延长线上，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，，求四边形的面积．【答案】(1)证明：∵，分别为，的中点，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形．(2)【分析】（1）根据三角形中位线的性质得出，根据可证明四边形是平行四边形，根据即可证明四边形是矩形；（2）根据中点的定义及