2027北师大版数学九上第一章-专题03 正方形的性质和判定（专项训练）

专题03正方形的性质和判定常考题型·精准突破题型1根据正方形的性质求角度（重）题型2根据正方形的性质求线段长（高频）题型3根据正方形的性质求面积（高频）题型4根据正方形的性质证明与求解（高频）题型5正方形中的折叠问题（难）题型6添一个条件使四边形是正方形（重）题型7根据正方形的性质与判定求解（高频）题型8与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）（高频）题型9正方形的性质与判定的综合问题（难）综合攻坚·知能拔高常考题型·精准突破◆题型1根据正方形的性质求角度1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，是正方形外一点，，则的度数为____________．2．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，四边形和四边形分别是菱形与正方形．若，则________．3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，，则的度数为_____．◆题型2根据正方形的性质求线段长4．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，点，分别在正方形的边和上，，，，则的长是_______，的长是_______．5．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长为_____．（保留根号）6．（25-26八年级下·河南周口·期末）若正方形的边长为4，E为边上一点，，M为线段上一点，射线交正方形的一边于点F，且，则的长为______．◆题型3根据正方形的性质求面积7．（25-26八年级下·河南漯河·期末）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则变形后四边形的面积与原正方形面积之比为_________．8．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，正方形的对角线相交于点，又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长均为2，正方形可绕点转动且始终保持点在正方形内部，则四边形的面积为_________，、和的数量关系为_________．9．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点、、、是各正方形的对角线交点，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_______．◆题型4根据正方形的性质证明与求解10．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点，是的中点，连接．(1)与之间有怎样的位置关系？请说明理由．(2)若，，求的长．11．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图1，四边形是正方形，E，F分别是边，上的点，连接，作于点H，延长交边于点G．(1)判断与的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若，连接，判断线段，，的数量关系，并说明理由：(3)在（2）的条件下，若，，则的长为．12．（25-26八年级下·甘肃白银·期末）【问题情境】(1)如图，四边形是正方形，点________是对角线上一动点，则与的数量关系为________．(2)【深入探究】如图，在正方形中，点是对角线上一动点，过点分别作，，垂足分别为、，连接．①试猜想与的数量关系．并证明你的猜想．②若，求的最小值．(3)【拓展应用】如图，延长，交于点，与交于点，点为的中点，连接，请判断的形状．并说明理由．◆题型5正方形中的折叠问题13．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，正方形的边长为，，分别是边，上的点，沿着将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，若点将分成两部分，则的长是_______．14．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图：(1)【课本再现】第一步：如图①，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平；第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，展平后连接、．根据以上操作，当点M在上时，如图②，连接，判断的形状并证明．(2)【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，_______；(3)【拓展延伸】在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点A、D重合），沿折叠纸片，如图③，使点A落在正方形内部的点M处，连接、，并延长交于点Q，连接．当Q是的中点时，请求出的长．15．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）综合实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究学习活动，具体探究过程如下．【操作判断】操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；操作二：在上取一点P，沿折叠，使点B落在矩形内部点Q处，把纸片展平，连接．(1)根据以上操作，如图①，当点Q落在上，，求的长；【迁移探究】(2)如图②，甲同学将矩形纸片换成边长为6的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照上述操作，点Q落在上，延长交于点M，则的长；【拓展应用】(3)乙同学将边长为6的正方形纸片对折，得到折痕，连接，沿折叠，B的对应点Q落在上，如图③，过P点作于点N，求的长度．◆题型6添一个条件使四边形是正方形16．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得菱形是正方形．这个条件可以是________．17．（2026·广西玉林·模拟预测）如图，在中，对角线与相交于点．小欣同学欲添加两个条件使四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是___________（只需填一种组合即可）．18．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，O是矩形对角线的交点，添加一个条件___________，使矩形成为正方形（填一个即可）．◆题型7根据正方形的性质与判定求解19．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，将矩形沿按图1的方式折叠，点的对应点落在上；再按如图2所示将所得梯形纸片沿折叠，边恰好与折痕完全重合．已知，的长为．下列结论：①；②；③四边形的面积为；④．其中一定正确的结论有______（填写序号即可）．20．（2026·河北石家庄·一模）如图，四边形是一个矩形纸片，，．E是边上一点．将沿着翻折，A点的对应点为．在翻折的过程中，当是直角三角形时，的长为________．21．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段检测）如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么_______°．◆题型8与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）22．（25-26八年级下·江西上饶·期末）如图，在正方形中，点E是边上一点，连接，请仅用无刻度的直尺完成以下作图(保留作图痕迹)．(1)在图1中，，在边上作出点F，使得；(2)在图2中，，在边上作出点H，使得23．（25-26八年级下·浙江金华·期末）已知是菱形的对角线．(1)如图1，以A为圆心，适当长度为半径作弧，交于点E，F，连接，，，．求证：四边形是菱形；(2)尺规作图：在图2中作正方形，其中M，N在上（保留作图痕迹，不写作法）(3)在（2）的条件下，已知，菱形面积为S，求正方形的面积（用含S的代数式表示）．24．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，矩形中，．

(1)求作正方形，使得点E，G分别落在边，上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)若，，求出（1）中的长．◆题型9正方形的性质与判定的综合问题25．（25-26八年级下·陕西商洛·阶段检测）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于F，于点G，与交于点O．(1)求证：四边形是正方形；(2)若，求证：；(3)在（2）的条件下，已知，求的长．26．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在平行四边形中，，．(1)求证：平行四边形是正方形；(2)如图1，点，分别在边，上，，与相交于点．求证：；(3)如图2，在（2）的条件下，点在上，，连接，平分交于点，连接并延长交于的，若，，求线段的长．27．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）【问题情境】在正方形中，点为对角线上一点（不与、重合），连接、，过点作，交于点．(1)【猜想证明】如图所示，求证：．(2)【解决问题】如图所示，分别以，为邻边作矩形，①求证：四边形是正方形；②若，求的值．(3)【拓展提升】如图所示，点是的中点，连接交于点，若，，则正方形的边长为________．（直接填写结果）综合攻坚·知能拔高一、单选题1．（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（

）A．当时，四边形是菱形B．当平分时，四边形是菱形C．当时，四边形是矩形D．当时，四边形是正方形2．（25-26八年级下·陕西延安·期末）如图，在正方形中，对角线、交于点，点是上一点，连接，若，，则的长为（

）A． B． C． D．3．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为，则两个正方形重叠部分的面积为（

）A． B． C． D．4．（25-26八年级下·天津河东·阶段检测）数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按图位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上，如图，小明将正方形绕点逆时针旋转，当点恰好落在线段上时，此时的长为（

）A．1 B．3 C． D．二、填空题5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形中，点在的延长线上，连接，，且，则的度数为__________．6．（2026·江苏南京·三模）正方形中，点O为对称中心，过点O且点E在上，点F在上，，．则____________．7．（25-26八年级下·广东肇庆·期末）如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积为________．8．（25-26八年级下·浙江金华·期末）如图，等边三角形的边长为，正方形的四个顶点分别落在的三边上，则正方形的边长为__________．三、解答题9．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，四边形为平行四边形，，，与交于点E，且E为中点．(1)求证：；(2)求证：四边形为正方形；(3)连接，，若四边形为平行四边形，直接写出的值．10．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点与交于点．(1)求证：四边形是正方形；(2)若，求证：；(3)在（2）的条件下，已知，求的长．11．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点．(1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是__________；(2)当正方形绕点旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论；(3)在正方形绕着点旋转的过程中，请直接写出的最短长度是多少．12．（25-26八年级下·广东佛山·期末）综合与实践【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题展开数学活动．【动手操作】第一步：如图①，四边形是正方形纸片，将该纸片对折，使与重合，折痕为，展开铺平，如图②；第二步：沿直线折叠，使点落在处，交于点，如图③；第三步：延长交于点，连接交于点，如图④．【解决问题】(1)线段与的数量关系是________；(2)若正方形的边长为．①求的长；②求的值．专题03正方形的性质和判定常考题型·精准突破题型1根据正方形的性质求角度（重）题型2根据正方形的性质求线段长（高频）题型3根据正方形的性质求面积（高频）题型4根据正方形的性质证明与求解（高频）题型5正方形中的折叠问题（难）题型6添一个条件使四边形是正方形（重）题型7根据正方形的性质与判定求解（高频）题型8与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）（高频）题型9正方形的性质与判定的综合问题（难）综合攻坚·知能拔高常考题型·精准突破◆题型1根据正方形的性质求角度1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，是正方形外一点，，则的度数为____________．【答案】【分析】根据正方形的性质可得，，结合已知条件证得是等边三角形，即，进而求出的度数，利用等腰三角形的性质求出，同理可得，最后利用角的和差即可解答．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴．同理可得，∴．2．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，四边形和四边形分别是菱形与正方形．若，则________．【答案】/40度【分析】根据正方形和菱形的性质：一条对角线平分一组对角，即可求解．【详解】解：连接，，在菱形和正方形中，∴平分，∴∵，∴,∴∵∴．3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，，则的度数为_____．【答案】【分析】利用直角三角形的性质求得，再求得，最后利用直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵正方形，∴，∵，∴，∵，∴，∴．◆题型2根据正方形的性质求线段长4．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，点，分别在正方形的边和上，，，，则的长是_______，的长是_______．【答案】【分析】根据勾股定理即可求解的长；添加辅助线，延长至点，使得，连接，证明与全等，由此可得，再利用角度的关系得到边的关系，可得的长度，由此可求解的长．【详解】解：在正方形中，，，∴，在中，，延长至点，使得，连接，如图，则有，在中，，∴，在与中，，∴，∴，设，则，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴．5．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长为_____．（保留根号）【答案】【分析】连接、，如图，根据正方形的性质得，，，，则，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线求的长．【详解】解：连接、，如图，四边形和四边形都是正方形，，，，，，，，在中，，是的中点，．6．（25-26八年级下·河南周口·期末）若正方形的边长为4，E为边上一点，，M为线段上一点，射线交正方形的一边于点F，且，则的长为______．【答案】或【分析】分两种情况讨论：①射线交边于点F，证明，得到，根据勾股定理求出，连接，证明四边形是矩形，根据矩形的性质求解；②射线交边于点F，证明得到，进而证明，得到，根据的面积求解即可．【详解】解：分两种情况讨论：①如图，射线交边于点F∵四边形是边长为4的正方形，∴，∵，，∴，∴．∵，∴，∴在中，．连接，∵在正方形中，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∴．②如图，射线交边于点F，∵四边形是边长为4的正方形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即．∵，，∴，∴在中，．∵，∴，∴．综上所述，的长为或．◆题型3根据正方形的性质求面积7．（25-26八年级下·河南漯河·期末）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则变形后四边形的面积与原正方形面积之比为_________．【答案】【分析】过点作于点，设，则，根据直角三角形性质求出，再结合正方形面积公式，以及菱形面积公式求解，即可解题．【详解】解：过点作于点，四边形为正方形，，变形后四边形满足为菱形，设，则，，，四边形的面积为：；正方形的面积为：；四边形的面积与原正方形面积之比为．8．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，正方形的对角线相交于点，又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长均为2，正方形可绕点转动且始终保持点在正方形内部，则四边形的面积为_________，、和的数量关系为_________．【答案】1【分析】由题可证，故两个正方形重叠部分的面积等于三角形的面积；连接，由勾股定理得到，再根据得到，，即可得出结论．【详解】∵四边形、四边形均为正方形，∴，，，，∴；在与中，，∴，∴，，，∴四边形的面积；如图，连接，∵四边形、四边形均为正方形，∴，在中，，在中，，∴，∵，，∴，即．9．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点、、、是各正方形的对角线交点，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_______．【答案】【分析】根据正方形的性质，每一个阴影部分的面积等于正方形的，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：如图连接正方形对角线，∴，，，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵正方形边长，∴正方形面积，∴，同理可知：四块阴影的面积都是，∴所有正方形重叠的部分（阴影部分）面积和．◆题型4根据正方形的性质证明与求解10．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点，是的中点，连接．(1)与之间有怎样的位置关系？请说明理由．(2)若，，求的长．【答案】(1)，理由如下：∵四边形是正方形，∴，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．(2)【分析】（1）由正方形的性质容易证明，则，由等量代换可得，因此；（2）先利用勾股定理计算出，再利用直角三角形的性质求出．【详解】（1）略（2）解：∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，在中，，由（1）可知，，∴，在中，是的中点，∴．11．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图1，四边形是正方形，E，F分别是边，上的点，连接，作于点H，延长交边于点G．(1)判断与的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若，连接，判断线段，，的数量关系，并说明理由：(3)在（2）的条件下，若，，则的长为．【答案】(1)，理由如下：∵四边形是正方形，∴，∵于点H，∴，∴，∵，∴；(2)，理由如下：如图2，作于点I，交的延长线于点L，则，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴；(3)【分析】（1）由正方形的性质得，由，得，则，再根据等角的补角相等，即可得出结论；（2）作于点I，交的延长线于点L，可证明，得，，再证明四边形是正方形，得，可推导出，因为，所以，进而可得结论；（3）作于点K，连接，由，，得，再证明四边形是矩形，得，，进而证明，得，，由，得，可求得，由勾股定理求得，，由求出，进而可求、，再结合（2）的结论即可求解．【详解】（1）略（2）略（3）解：如图3，作于点K，连接，则，∴，∵，，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，由（2）得，∴，∴．12．（25-26八年级下·甘肃白银·期末）【问题情境】(1)如图，四边形是正方形，点________是对角线上一动点，则与的数量关系为________．(2)【深入探究】如图，在正方形中，点是对角线上一动点，过点分别作，，垂足分别为、，连接．①试猜想与的数量关系．并证明你的猜想．②若，求的最小值．(3)【拓展应用】如图，延长，交于点，与交于点，点为的中点，连接，请判断的形状．并说明理由．【答案】(1)，．(2)①解：猜想．证明：四边形是正方形，，，．，，，四边形是矩形，．在和中，，，，．②的最小值为．(3)解：是直角三角形，．理由：四边形是正方形，，，，．在和中，，，．，即，，．点在的延长线上，点在上，，，是直角三角形．点是斜边的中点，，．在中，，．又点在上，与分别在直线两侧，，是直角三角形．【分析】（1）利用正方形关于对角线对称，得．（2）①由，，可知四边形为矩形，故，再结合(1)得．

②由，转化为求对角线上动点到定点的最小距离，即点到直线的距离．（3）先证得，再由转化角；在中利用斜边中线性质得，最后通过互余关系证．【详解】（1）解：结合图形可知，点是对角线上一动点，由于正方形是轴对称图形，点B、D关于直线对称，故．（2）①略；②解：，求的最小值即求的最小值．点在对角线上运动，当时，最小．在正方形中，对角线，且互相平分，当为与的交点时，．，，，的最小值为．（3）略◆题型5正方形中的折叠问题13．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，正方形的边长为，，分别是边，上的点，沿着将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，若点将分成两部分，则的长是_______．【答案】或【分析】根据题意，得点将分成的两部分的长为，，分或，利用勾股定理，结合方程的思想求解即可；【详解】解：正方形的边长为，，点将分成两部分，点将分成的两部分的长为，，当时，如图，连接，则，设，则根据折叠的性质，得，根据勾股定理，得，，解得；当时，如图，连接，则，设，则根据折叠的性质，得，根据勾股定理，得，，解得；故的长是或．14．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图：(1)【课本再现】第一步：如图①，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平；第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，展平后连接、．根据以上操作，当点M在上时，如图②，连接，判断的形状并证明．(2)【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，_______；(3)【拓展延伸】在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点A、D重合），沿折叠纸片，如图③，使点A落在正方形内部的点M处，连接、，并延长交于点Q，连接．当Q是的中点时，请求出的长．【答案】(1)是等边三角形，证明如下：由第一步折叠可知，垂直平分线段，∴．由第二步折叠可知，．∴，故是等边三角形．(2)(3)的长为（或）．【分析】（1）首先根据折叠的性质可得，再由是对折矩形的折痕，可知垂直平分，由此可推导，由沿折叠可知，．即可判断的形状．（2）可得，利用折叠性质得，得，由四边形内角和得知，结合平角性质得．（3）设的长为，根据折叠性质得，，证明得到，结合是中点求出、的长度，再用表示出、的长度，最后在中利用勾股定理列方程求解．【详解】（1）略．（2）解：由（1）得，∵正方形中，，∴，由折叠性质得，∴，∴，∴，∵，∴．（3）解：连接，设，∵正方形边长为，∴．∵是中点，平分正方形边长，∴，（）．∵，∴，由（2）知，，∵，∴，∴，又，∴（）．在中，由勾股定理得：，代入得，展开整理：，∴，解得．∴的长为（或）．15．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）综合实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究学习活动，具体探究过程如下．【操作判断】操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；操作二：在上取一点P，沿折叠，使点B落在矩形内部点Q处，把纸片展平，连接．(1)根据以上操作，如图①，当点Q落在上，，求的长；【迁移探究】(2)如图②，甲同学将矩形纸片换成边长为6的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照上述操作，点Q落在上，延长交于点M，则的长；【拓展应用】(3)乙同学将边长为6的正方形纸片对折，得到折痕，连接，沿折叠，B的对应点Q落在上，如图③，过P点作于点N，求的长度．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）连接，证明为等边三角形，可得，从而得到，进而得到，即可求解；（2）设，同理（1）得：，连接，根据正方形的性质以及折叠的性质可得，，再求出，可得，从而得到，证明，可得，再由，即可求解；（3）连接，根据正方形的性质以及折叠的性质可得，，根据勾股定理求出，可得，设，则，在和中，利用勾股定理可得，可求出y的值，即可求解．【详解】（1）解：如图，连接，由折叠的性质得：，，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∴，∵四边形为矩形，∴，∴，∵，∴，即，∴；（2）解：设，同理（1）得：，连接，∵四边形为正方形，且边长为6，∴，，∴，由折叠的性质得：，，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，即；（3）解：如图，连接，∵四边形为正方形，且边长为6，∴，，由折叠的性质得：，，∴，∴，设，则，在中，，在中，，∴，解得：，即∵，即，∴四边形为矩形，∴．◆题型6添一个条件使四边形是正方形16．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得菱形是正方形．这个条件可以是________．【答案】（答案不唯一）【分析】根据正方形的判定，解答即可；【详解】解：根据有一个角是直角的菱形是正方形，可以添加条件，，答案不唯一；17．（2026·广西玉林·模拟预测）如图，在中，对角线与相交于点．小欣同学欲添加两个条件使四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是___________（只需填一种组合即可）．【答案】①②或②③（填写一组即可）【分析】根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可．【详解】解：当选择①；②时，∵四边形是平行四边形，，∴四边形是菱形，∵，∴菱形是正方形；当选择②；③时，∵四边形是平行四边形，当，∴四边形是菱形，∵，∴菱形是正方形；当选择①；③，由于四边形是平行四边形，若或，均只能得到四边形是菱形，不能证明其为正方形，故不符合题意；∴选择①②或②③均可以．18．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，O是矩形对角线的交点，添加一个条件___________，使矩形成为正方形（填一个即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查的是正方形的判定．有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形，再根据正方形的判定方法分析即可．【详解】解：根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，可添加：；根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”，可添加：；故答案为：（答案不唯一）◆题型7根据正方形的性质与判定求解19．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，将矩形沿按图1的方式折叠，点的对应点落在上；再按如图2所示将所得梯形纸片沿折叠，边恰好与折痕完全重合．已知，的长为．下列结论：①；②；③四边形的面积为；④．其中一定正确的结论有______（填写序号即可）．【答案】①②④【分析】先利用矩形和第一次折叠的性质，求出的度数；再结合第二次折叠的性质，得到，从而判断；利用折叠性质和角度关系得到是等腰直角三角形，进而判断②、④；设，根据和求出的值，再利用折叠性质和勾股定理求出、的长度，最后用割补法计算四边形的面积，即可判断．【详解】解：由矩形知，，，，由第一次折叠知，，，，∴，四边形是矩形，∵，矩形是正方形，∴，由第二次折叠知，与重合，，，故①正确；由第二次折叠知，落在上的点，，，，由①得，则，∴，又，是等腰直角三角形，，，②正确，∴，④正确；设，则，由①知，，，，，，解得，，，∴，③错误．20．（2026·河北石家庄·一模）如图，四边形是一个矩形纸片，，．E是边上一点．将沿着翻折，A点的对应点为．在翻折的过程中，当是直角三角形时，的长为________．【答案】或【分析】分三种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求的长．【详解】解：①如图，若，∴，∵，∴四边形是矩形，∵将沿着翻折，∴，∴四边形是正方形，∴，∴，∴；②如图，若，∵将沿着翻折，∴，，，∵，∴点，点，点三点共线，∵，∴．③若，∵，∴点不可能落在直线上，∴不存在，综上所述：或．21．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段检测）如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么_______°．【答案】或或【分析】由是四边形的美丽线，可以得出是等腰三角形，从图，图，两种情况运用等边三角形的性质和判定，正方形的性质和判定和角的直角三角形的性质就可以求出的度数．【详解】解：是四边形的美丽线，是等腰三角形．，如图，当时，，，是正三角形，．，，，．如图，当时，．，四边形是正方形，；如图，当时，过点作于点，过点作于点，如图3所示，，，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，综上，的度数为或或．故答案为：或或．◆题型8与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）22．（25-26八年级下·江西上饶·期末）如图，在正方形中，点E是边上一点，连接，请仅用无刻度的直尺完成以下作图(保留作图痕迹)．(1)在图1中，，在边上作出点F，使得；(2)在图2中，，在边上作出点H，使得【答案】(1)如图1，点F即为所求；(2)如图2，点H即为所求．(作法不唯一)【分析】（1）连接、，交于点O，连接并延长，交于点F，则点F即为所求；（2）设与交于点G，连接并延长，交于点H，则点H即为所求．【详解】（1）证明：连接，∵四边形为正方形，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∴；（2）解：∵，∴，∵正方形中，，，∴垂直平分，∴，∴，∴，∵正方形中，，，∴，∴，∵正方形中，，∴，∴，∵，∴．23．（25-26八年级下·浙江金华·期末）已知是菱形的对角线．(1)如图1，以A为圆心，适当长度为半径作弧，交于点E，F，连接，，，．求证：四边形是菱形；(2)尺规作图：在图2中作正方形，其中M，N在上（保留作图痕迹，不写作法）(3)在（2）的条件下，已知，菱形面积为S，求正方形的面积（用含S的代数式表示）．【答案】(1)证明：连接，如图所示：∵四边形为菱形，∴，，根据作图可知：，∴，∴四边形为平行四边形，∵，∴四边形是菱形；(2)连接，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点、，连接、、、，则四边形即为所求．(3)【分析】（1）连接，证明菱形的判定解题；（2）连接，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点、，连接、、、，则四边形即为所求；（3）设，用含的式子表示出菱形的面积和正方形的面积，进而求解．【详解】（1）略（2）略（3）解：如图，设，∵四边形是菱形，∴，平分，，∵，∴是等边三角形，，∴，∴，∴，∴，∴，即，∵四边形为正方形，∴，∴，∴．24．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，矩形中，．

(1)求作正方形，使得点E，G分别落在边，上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)若，，求出（1）中的长．【答案】(1)如图，四边形即为所求作的正方形，

(2)【分析】（1）作的中垂线交于点，交于点，以为直径画圆，交于点，即可得到正方形；（2）连接，由（1）知垂直平分，则，在中，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）解：由作图可知，，，∵矩形，∴，∴，，∴，∴，由作图可知，，即，∴四边形为矩形，∵，∴四边形为正方形；（2）解：连接，

∵，，∴垂直平分，∴，在中，，，由勾股定理得，解得．◆题型9正方形的性质与判定的综合问题25．（25-26八年级下·陕西商洛·阶段检测）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于F，于点G，与交于点O．(1)求证：四边形是正方形；(2)若，求证：；(3)在（2）的条件下，已知，求的长．【答案】(1)证明：∵矩形，∴．∵，∴，∴四边形是矩形．∵平分，∴，∵矩形中，，∴，∴，∴，∴四边形是正方形；(2)证明：∵，而由（1）得，∴，∵平分，∴．在和中，，∴，∴；(3)【分析】（1）根据角平分线的定义证得，根据正方形的判定即可证得结论；（2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论；（3）连接，证明，设，则，可得为等腰直角三角形，，则，即可求解．【详解】（1）略；（2）略；（3）解：连接，∵四边形是正方形，∴，，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，设，∴，∵，，∴为等腰直角三角形，，∴由勾股定理得：，∴，解得：，∴．26．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在平行四边形中，，．(1)求证：平行四边形是正方形；(2)如图1，点，分别在边，上，，与相交于点．求证：；(3)如图2，在（2）的条件下，点在上，，连接，平分交于点，连接并延长交于的，若，，求线段的长．【答案】(1)证明：四边形是平行四边形，，，，平行四边形是矩形，，

平行四边形是正方形；(2)证明：在正方形中，，

，，，，，；(3)【分析】（1）根据平行四边形的性质可证，根据可证四边形是正方形；（2）根据正方形的性质可证，根据全等三角形的性质可证；（3）作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形和勾股定理求出线段的长度即可．【详解】（1）略（2）略（3）解：如下图所示，过点作交延长线于，连接，，，平分，，，，，，为等腰直角三角形，

，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，，延长到点，使，在和中，，，，，，，在和中，，，，，，．设，

则，，，可得：，解得：（不符合题意，舍去），，

，，，，，，，过点作于，，，，在和中，，，，，，，

．27．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）【问题情境】在正方形中，点为对角线上一点（不与、重合），连接、，过点作，交于点．(1)【猜想证明】如图所示，求证：．(2)【解决问题】如图所示，分别以，为邻边作矩形，①求证：四边形是正方形；②若，求的值．(3)【拓展提升】如图所示，点是的中点，连接交于点，若，，则正方形的边长为________．（直接填写结果）【答案】(1)证明：∵四边形是正方形，，，

又，．(2)证明：①如图，，，，

∵四边形是正方形，，，，

，，，，

，，∵四边形是矩形，∴四边形是正方形．

②(3)【分析】（1）利用正方形的性质以及“边角边”即可证明结论；（2）①先根据全等三角形的性质、正方形的性质得到，利用等角对等边可得，即；然后根据邻边相等的矩形是正方形即可证明结论；②先利用正方形的性质证明可得，利用勾股定理以及线段的和差可得；进而得到，即，然后整理即可解答；（3）如图，先说明是的中位线，即；利用全等三角形的性质、平行线的性质、等角对等边可得，即；再在中利用勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）略（2）①：略；②如图，，∵四边形是正方形，，，，即，，，在中，，又∵，，，．（3）解：如图，，，，点是的中点，点是的中点，，是的中位线，；，，，，，，，，在中，由勾股定理得即，，．综合攻坚·知能拔高一、单选题1．（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（

）A．当时，四边形是菱形B．当平分时，四边形是菱形C．当时，四边形是矩形D．当时，四边形是正方形【答案】D【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理对各选项逐一判断即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，选项A，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴当时，四边形是菱形，选项A结论正确，不符合题意；选项B，当平分时，可得，又∵平行四边形中，∴，∴，∴，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故四边形是菱形，选项B结论正确，不符合题意；选项C，有一个内角是直角的平行四边形是矩形，∴当时，四边形是矩形，选项C结论正确，不符合题意；选项D，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，∴当时，四边形是矩形，不一定是正方形，选项D结论错误，符合题意．2．（25-26八年级下·陕西延安·期末）如图，在正方形中，对角线、交于点，点是上一点，连接，若，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正方形的性质可得，，，，则，，然后通过勾股定理和线段的和与差即可求解．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，，，∴，，∴，∴，∴．3．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为，则两个正方形重叠部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设与交于点，与交于点，根据题意可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积．【详解】解：如图，设与交于点，与交于点，正方形、正方形，，，，，在和中，，，，则两个正方形重叠部分的面积为．4．（25-26八年级下·天津河东·阶段检测）数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按图位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上，如图，小明将正方形绕点逆时针旋转，当点恰好落在线段上时，此时的长为（

）A．1 B．3 C． D．【答案】B【分析】连接，交于点，由正方形性质得到相关线段长及角度，再由全等三角形的判定与性质得到，在中，由勾股定理得到，数形结合表示出，代入线段长度计算即可．【详解】解：连接，交于点，如图所示：在正方形中，，，则，，，在正方形中，，，，，，在和中，，，，在中，，，则由勾股定理可得，．二、填空题5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形中，点在的延长线上，连接，，且，则的度数为__________．【答案】【分析】根据正方形的性质得出，利用等边对等角及三角形外角的性质求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可求解．【详解】解：∵四边形是正方形∴，∵∴∵是的外角∴∴在中，．6．（2026·江苏南京·三模）正方形中，点O为对称中心，过点O且点E在上，点F在上，，．则____________．【答案】【分析】根据正方形的性质及中心对称性得出，从而求出正方形的边长及的长，过点作的垂线构造直角三角形，利用勾股定理计算的长．【详解】解：如图，连接，过点作于点，四边形是正方形，点为对称中心点与点关于点对称，在和中四边形是正方形，，四边形是矩形在中，由勾股定理得．7．（25-26八年级下·广东肇庆·期末）如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积为________．【答案】【分析】连接，根据正方形的性质推出，进而推出，即得出阴影部分的面积等于的面积，即大正方形面积的一半．【详解】解：如图，连接，四边形和右侧四边形均为正方形，、分别为正方形的对角线，，，，大正方形的面积为，，即阴影部分的面积为．8．（25-26八年级下·浙江金华·期末）如图，等边三角形的边长为，正方形的四个顶点分别落在的三边上，则正方形的边长为__________．【答案】【分析】根据等边三角形和正方形的性质，找出全等三角形，再根据直角三角形的性质和勾股定理建立方程，即可求解正方形的边长．【详解】∵为等边三角形且边长为，，∵四边形为正方形，，，∴在和中，，∴，，设，，，在中，，，∵，即，解得，．三、解答题9．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，四边形为平行四边形，，，与交于点E，且E为中点．(1)求证：；(2)求证：四边形为正方形；(3)连接，，若四边形为平行四边形，直接写出的值．【答案】(1)证明：∵四边形为平行四边形，∴点