吉林省长春北湖学校2026届九年级上学期第一次月考数学试卷【附答案】

/吉林省长春北湖学校2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．若代数式有意义，则x应满足的条件为（

）A． B． C． D．2．若一元二次方程的一个根为，则的值为（

）A．2 B． C．4 D．3．如图，，若，，，则的长为（

）A．8 B．6 C．4 D．94．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（

）A． B． C． D．5．如图为固定电线杆AC，在离地面高度为7米的A处引拉线AB，使拉线AB与地面BC的夹角为α，则拉线AB的长为（

）A．7sinα米 B．7cosα米 C．7tanα米 D．米6．如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是（

）A． B．C． D．7．如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE＝2：3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（）A．2 B．6 C．8 D．98．如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，、分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（

）A． B．2 C． D．二、填空题9．如果，那么．10．一元二次方程的解是．11．关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为．12．如图,中,，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于．13．如图，放在正方形网格纸的位置如图，则的值为．14．如图，在菱形中，，点、分别是边、上的点，连接，将菱形沿翻折，使点的对称点落在对角线上，给出下面四个结论：①；②若，则；③若菱形边长为4，是的中点，连接，则；④若，，则；上述结论中，正确的序号有．三、解答题15．计算题：(1)；(2)．16．解方程：(1)；(2)．17．已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．(2)若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根．18．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、M、N均在格点上，在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．(1)如图①，．(2)如图②，在线段上找一点E，使．(3)如图③，在线段上找一点F，连接，使．19．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率．20．如图，在中，，为边上的中线，于点．(1)求证：．(2)若，，求线段的长．21．小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高度．如图所示，已知建筑物的高为15米，某一时刻，他们在阳光下分别测得的影长为24米，小军的影长为米，其中四点在同一直线上，三点在同一直线上，且，．(1)线段与线段之间的位置关系为_________；(2)已知小军的身高为米，求旗杆的高．22．阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？，，当时，代数式有最小值．【直接应用】（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________；（2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？【知识迁移】（3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，当为何值时，围成的生物园的面积最大？最大面积是多少？23．【定理】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．【应用】如图①，在中，点P、Q分别是边、的中点，连结，若，则线段的长为________．【探究】如图②，在应用的条件下，点为平面上的一点（与不平行），点M为线段的中点，连结、，当时，求的长．【拓展】如图②，在探究的条件下，若，当的面积最大时，直接写出的度数．24．如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点运动．过点作交边或边于点，且点不与点、重合，点不与点重合，设线段的中点为，将截得到的小三角形绕点旋转，得到．设点的运动时间为秒．(1)的长为___________；(2)用含的代数式表示线段的长；(3)当点落在的一边上时，求的长；(4)在点运动过程中，直接写出射线平分面积时的长．

参考答案题号12345678答案BACDDCDD1．B【详解】解：由题意得：，∴，故选：B．2．A【详解】解：把代入方程可得，解得，故选：A．3．C【详解】解：∵，∴，∵，，，∴，∴．故选：C．4．D【详解】解：，移项得，配方得，即，故选：D．5．D【详解】在中，，，，，故选：D．6．C【详解】解：∵是公共角，∴再加上或都可判定，不符合题意，即A、B都不符合题意；∵是公共角，再加上，即可判定，则选项D不符合题意；选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，不能，符合题意．故选C．7．D【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OB：OE＝2：3，∴S△ABC:S△DEF=(2:3)2=4:9，∵△ABC的面积为4，∴S△DEF=9故选D．8．D【详解】解：设点，，则，∴点B的纵坐标为，∵B在上∴点B的横坐标为，，∵在矩形中，，∴，又∵,∴,∴，，，，．故选：D．9．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：．10．，【详解】解：，，，，故答案为：，．11．k＞1【详解】解：由题意得：，解得k＞1．故答案为：k＞1．12．【详解】解：由条件可知：，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：．13．/0.5【详解】解：如图，连接，由图可知，，，，∵，∴，∴，∴．故答案为：．14．①②④【详解】解：四边形是菱形，，，∴是等边三角形，，；由折叠性质可知，，，，又∵，，故①正确；，，故②正确；如图，过点M作交的延长线于点，在中，，由菱形的性质可得，，∴，是的中点，，，∴，故③错误；设，则由折叠的性质可得，；，，，解得或（舍去）；∴，故④正确；故正确的有：①②④．故答案为：①②④．15．(1)2(2)【详解】（1）解：；（2）解：．16．(1)，(2)，【详解】（1）解：或，解得或，∴原方程的解为：，；（2）解：，，，∴，∴或，∴原方程的解为：，．17．(1)见解析(2)的值为1，方程的另一个根为【详解】（1）证明：∵，∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）解：将代入方程可得：，∴，∴该方程为，∴，∴，∴的值为1，方程的另一个根为．18．(1)(2)图见详解(3)图见详解【详解】（1）解：由图可知：，，∴；故答案为；（2）解：所作图形如下：（3）解：所作图形如下：19．该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为【详解】解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，根据题意得：，解得：，（不合题意，舍去）答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为．20．(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：∵，为边上的中线，∴，∵，∴，∵，∵，∴；（2）解：∵为边上的中线，，∵，∵，，∴，即，∴．21．(1)平行(2)米【详解】（1）解：∵太阳光线是平行光线，∴，故答案为：平行；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得：，过点作交于，，同理得：，∴，∴（米），∴旗杆的高为米．22．（1）9；（2）当时，代数式有最小值，最小值为；（3）当时，围成的生物园面积最大，最大面积为50平方米【详解】解：（1）根据题意得：，故答案为：9；（2），当时，代数式有最小值，最小值为；（3）设生物园的面积为，则，当，即时，S取得最大值，最大值为50平方米．23．6；6；或【详解】解：应用：∵，点、分别是边、的中点，∴是中位线，∴，线段的长为6，故答案为：6；探究：，，点为线段的中点，点为线段的中点，∴是中位线，，，，，的长是6；拓展：如图②，作交的延长线于点，，且，当时，，当的面积最大时，，分以下两种情况讨论：如图③，点在直线的下方，设交于点，、、分别为、、的中点，∴，，，，；如图④，点在直线的上方，延长交于点，、、分别为、、的中点，∴，，，，，综上所述，的度数为或．24．(1)(2)或(3)或(4)或【详解】（1）解：∵在中，，，∴；（2）解：当点与点重合，即时，∵，∴∴，，∴此时；当点在上（不包括端点），即时，，，∴，∴∴∴，∴；当点在上（不包括端点），即时，同理可得，∴∴综上，线段的长为或．（3）解：当点落在上时，如图，同理可证明∴，又∵，∴，∴，∴，由旋转可知，∴，∴，∴，即，∴，∴；