2026中考数学百题-02-常考题

2026年中考数学百题精选之常考题一．选择题（共10小题）1．（2026•西湖区校级模拟）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（）A．8 B．12 C．16 D．202．（2026•西湖区校级模拟）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是（）A．（0，0） B．（2，1） C．（4，2） D．（5，0）3．（2026•浙江一模）如图，在平面直角坐标系中△AOB与△COD是位似图形，以原点O为位似中心，若CD＝3AB，B点坐标为（2，1），则点D的坐标为（）A．（4，2） B．（4，6） C．（6，3） D．（6，2）4．（2026•合肥模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，半径为5的⊙O与AC，BC分别相切于点E，F，与AB交于点M，N，则MN的长为（）A．2453 B．485 C．10-5．（2026•河东区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝3．BC＝5，把矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形CEFG且点B恰好落在AD上，连接BG交CE于点H．则BH的长为（）A．185 B．522 C．236．（2026•博兴县一模）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的关系图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（）A．当I＜0.25时，R＜880 B．I与R的函数关系式是I=200C．当R＞1000时，I＞0.22 D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.257．（2026•黄石一模）如图，在菱形ABCD中，分别以C，D为圆心，大于12CD为半径画弧，两弧分别交于点M，N，连接MN，若直线MN恰好过点A与边CD交于点E，连接BE，则下列结论错误的是A．∠BCD＝120° B．若AB＝3，则BE＝4 C．CE=12BC 8．（2026•天山区校级一模）某果干加工坊要加工780千克梨千，本次加工采用了新工艺，工效提高了30%，加工同样重量的梨干比原来就少用9h．求采用新工艺前每小时加工多少千克梨干？设采用新工艺前每小时加工x千克梨干，则下列方程正确的是（）A．780x+9=780(1+30%)x C．780x÷9=780(1+30%)x9．（2025•道外区二模）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，……，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（）A．20 B．21 C．23 D．2610．（2025•鞍山模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，点M，N分别是AD，AO的中点，连接MN，若四边形OCED的周长是16，则MN的长为（）A．1 B．2 C．4 D．8二．填空题（共5小题）11．（2026•芜湖二模）如图，已知矩形ABCD，连接BD，点P是AD上一点，且∠PBD＝∠CBD．（1）若AB＝4，BC＝6，则AP＝；（2）连接CP交BD于点Q，若CQ＝CD，则APDP=12．（2026•泗阳县校级一模）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式2025+a2+1a2的值是13．（2026•罗湖区模拟）如图，已知△OAB的一边AB平行于x轴，且反比例函数y=kx经过△OAB顶点B和OA上的一点C，若OC＝2AC且△OBC的面积为103，则k的值为14．（2026•呼图壁县一模）二次函数y＝a（x﹣h）2的图象如图所示，若A（﹣2，y1），B（﹣4，y2）是该图象上的两点，则y1y2．（填“＞”“＜”或“＝”）15．（2026•沛县一模）如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A2025B2025A2026的边长为．三．解答题（共5小题）16．（2026•芜湖二模）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）（1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号）（2）当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，保护视力的效果较好．当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）17．（2026•银川一模）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2=(x1-x2)2+(y1-y（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；（3）已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由；（4）在（3）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使PD+PF的长度最短，求出点P的坐标以及PD+PF的最短长度．18．（2026•芜湖二模）在矩形ABCD中，M为直线AB上的点（不与点B重合），连接CM，将线段CM绕点C逆时针旋转90°得到线段CN，点P为线段BM上一点，连接DN和CP，CP与DN相交于点H．（1）如图1，若CD＝CM，CP平分∠BCM，求证：△CDH∽△PCB．（2）如图2，若AB＝AD，点M与点A重合，P为BM的中点，则CPDN的值是，CP与DN的位置关系是（3）如图3，若CD＝4，BC＝3，BM＝BC，且BPPM=34，探究19．（2026•瑶海区校级一模）如图1，矩形ABCD中，∠ADB＝60°，AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AD于点E，OF⊥AB于点F．（1）求OEOF（2）如图2，当旋转OE，OF，且OE⊥OF时，求OEOF（3）如图3，当DO：OB＝1：4时，过点O作OE⊥OF，OE交DA的延长线于点E，OF交AB的延长线于点F，此时OEOF20．（2026•合肥模拟）某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货价恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润＝售价﹣进价）型号进价（元/只）预售价（元/只）甲型2025乙型3540（1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？（2）在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只．

2026年中考数学百题精选之常考题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CCCDDDBBCB一．选择题（共10小题）1．（2026•西湖区校级模拟）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（）A．8 B．12 C．16 D．20【考点】切线长定理．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，即△PCD的周长为16．故选：C．【点评】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键．2．（2026•西湖区校级模拟）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是（）A．（0，0） B．（2，1） C．（4，2） D．（5，0）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】C【分析】分别连接OA、DB、EC，其所在直线交于点G（4，2），即可得到答案．【解答】解：如图，分别连接OA、DB、EC，其所在直线交于点G（4，2），则点G为所求的位似中心，故选：C．【点评】本题考查了确定位似中心，即延长对应点的连线，其交点即为位似中心，熟练掌握知识点是解题的关键．3．（2026•浙江一模）如图，在平面直角坐标系中△AOB与△COD是位似图形，以原点O为位似中心，若CD＝3AB，B点坐标为（2，1），则点D的坐标为（）A．（4，2） B．（4，6） C．（6，3） D．（6，2）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】C【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．【解答】解：∵CD＝3AB，∴△COD与△AOB的位似比为3，∵B点坐标为（2，1），∴点D的坐标为（6，3），故选：C．【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．4．（2026•合肥模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，半径为5的⊙O与AC，BC分别相切于点E，F，与AB交于点M，N，则MN的长为（）A．2453 B．485 C．10-【考点】切线的性质；勾股定理；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】根据切线的性质，正方形的性质以及相似三角形的性质可求出OP，OQ，进而求出PQ，再根据三角形的面积可求出OH，由勾股定理可求出MH，由垂径定理可得MN．【解答】解：如图，连接OM，ON，OE，OF，OE，OF分别交AB于点P，点Q，过点O作OH⊥AB于点H，则OE⊥AC，OF⊥BC，∵∠ACB＝90°，OE＝OF，∴四边形OECF是正方形，∴CE＝CF＝OE＝OF＝5，∵AC＝8，BC＝6，∴AE＝8﹣5＝3，BF＝6﹣5＝1，∵OE∥BC，OF∥AC，∴△AEP∽△ACB，△BFQ∽△BCA，∴PEBC=AE即PE6=3解得PE=94，QF∴OP＝5-94=114，∴PQ＝OP×5∵S△POQ=12OP•OQ=12PQ•OH∴OH=11在Rt△MOH中，MH=O∴MN＝2MH=12故选：D．【点评】本题考查圆周角定理、切线的性质以及勾股定理，掌握直角三角形的边角关系，圆周角定理，切线的性质以及相似三角形的性质是正确解答的前提．5．（2026•河东区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝3．BC＝5，把矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形CEFG且点B恰好落在AD上，连接BG交CE于点H．则BH的长为（）1关注公众号【学霸点睛资料】截图扫码获取微信群二维码2：QQ群：546534925打印前可删除此页A．185 B．522 C．23【考点】旋转的性质；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】作BL⊥CE于点L，由矩形的性质得CD＝AB＝3，∠D＝∠BCD＝90°，BC∥AD，则∠CLB＝∠D，∠BCL＝∠CED，由旋转得EC＝BC＝5，CG＝CD＝3，∠ECG＝∠BCD＝90°，则DE=EC2-CD2=4，可证明△LBC≌△DCE，得LC＝DE＝4，LB＝CD＝3，再证明△BHL≌△GHC，则HL＝HC=【解答】解：作BL⊥CE于点L，则∠CLB＝90°，∵四边形ABCD是矩形，AB＝3．BC＝5，∴CD＝AB＝3，∠D＝∠BCD＝90°，BC∥AD，∴∠CLB＝∠D，∠BCL＝∠CED，由旋转得EC＝BC＝5，CG＝CD＝3，∠ECG＝∠BCD＝90°，∴DE=EC2-CD2=52在△LBC和△DCE中，∠CLB=∴△LBC≌△DCE（AAS），∴LC＝DE＝4，LB＝CD＝3，∴LB＝CG，在△BHL和△GHC中，∠BHL=∴△BHL≌△GHC（AAS），∴HL＝HC=12LC＝∴BH=L故选：D．【点评】此题重点考查矩形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．6．（2026•博兴县一模）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的关系图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（）A．当I＜0.25时，R＜880 B．I与R的函数关系式是I=200C．当R＞1000时，I＞0.22 D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25【考点】反比例函数的应用；一次函数与一元一次不等式．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【答案】D【分析】设I与R的函数关系式是I=UR(R＞0)，利用待定系数法求出I=220R(R＞0)，然后求出当R＝1000时，【解答】解：设I与R的函数关系式是I=U∵该图象经过点P（880，0.25），∴0.25=U∴U＝220，∴I与R的函数关系式是I=220R(R当R＝1000时，I=220∵220＞0，∴I随R增大而减小，∴当I＜0.25时，R＞880，当R＞1000时，I＜0.22，当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25，故A、C不符合题意，D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．7．（2026•黄石一模）如图，在菱形ABCD中，分别以C，D为圆心，大于12CD为半径画弧，两弧分别交于点M，N，连接MN，若直线MN恰好过点A与边CD交于点E，连接BE，则下列结论错误的是A．∠BCD＝120° B．若AB＝3，则BE＝4 C．CE=12BC 【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】利用菱形的性质、解直角三角形等知识逐项判断即可．【解答】解：连接AC．由作法得MN垂直平分CD，∴AD＝AC，CM＝DM，∠AED＝90°，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝AD，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°，即A选项的结论正确，不符合题意；当AB＝3，则CE＝DE=3∵∠D＝60°，∴AE=AD2-ED2=32∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝120°﹣30°＝90°，在Rt△ABE中，BE=AB2∵四边形ABCD是菱形，∴．BC＝CD＝2CE，即CE=12BC∵AB∥CD，AB＝2DE，∴S△ADE=1故选：B．【点评】本题考查线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质、菱形的性质等知识点，灵活运用菱形的性质和垂直平分线的性质是解答本题的关键．8．（2026•天山区校级一模）某果干加工坊要加工780千克梨千，本次加工采用了新工艺，工效提高了30%，加工同样重量的梨干比原来就少用9h．求采用新工艺前每小时加工多少千克梨干？设采用新工艺前每小时加工x千克梨干，则下列方程正确的是（）A．780x+9=780(1+30%)x C．780x÷9=780(1+30%)x【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】B【分析】根据加工同样重量的梨干比原来就少用9h，列出方程即可．【解答】解：根据题意得780x-9故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键在于熟读题意并根据题中所给的条件列出正确的方程．9．（2025•道外区二模）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，……，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（）A．20 B．21 C．23 D．26【考点】规律型：图形的变化类．【专题】规律型；运算能力．【答案】C【分析】利用规律求解．通过观察图形找到相应的规律，进行求解即可．【解答】解：第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有1+3×（4﹣1）+1＝11个菱形，……，∴第n个图案中有1+3（n﹣1）+1＝3n﹣1个菱形，∴第⑧个图案中菱形的个数为3×8﹣1＝23，故选：C．【点评】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．10．（2025•鞍山模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，点M，N分别是AD，AO的中点，连接MN，若四边形OCED的周长是16，则MN的长为（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】矩形的性质；三角形中位线定理；菱形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】B【分析】由DE∥AC，CE∥BD，推出四边形OCED是平行四边形，由矩形的性质推出OD＝OC，因此四边形OCED是菱形，由四边形OCED的周长是16，得到OD＝4，由三角形中位线定理得到MN=12OD＝【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OD=12BD，OC=∴OD＝OC，∴四边形OCED是菱形，∵四边形OCED的周长是16，∴OD=14×16∵M，N分别是AD，AO的中点，∴MN是△AOD的中位线，∴MN=12OD＝故选：B．【点评】本题考查矩形的性质，菱形的性质，三角形中位线定理，关键是由矩形的性质，推出四边形OCED是菱形，由三角形中位线定理即可求出NM的长．二．填空题（共5小题）11．（2026•芜湖二模）如图，已知矩形ABCD，连接BD，点P是AD上一点，且∠PBD＝∠CBD．（1）若AB＝4，BC＝6，则AP＝53（2）连接CP交BD于点Q，若CQ＝CD，则APDP=-1+5【考点】矩形的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【答案】（1）53（2）-1+5【分析】（1）由等角对等边得BP＝DP，设AP＝x，则BP＝DP＝6﹣x，再在Rt△ABP中，利用勾股定理求解即可；（2）根据题意可推出∠BPC＝90°，设AP＝m，DP＝n，再利用勾股定理得出m，n的关系，构建关于mn【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠PDB＝∠CBD，∵∠PBD＝∠CBD，∴∠PBD＝∠PDB，∴BP＝DP，设AP＝x，则BP＝DP＝6﹣x，在Rt△ABP中，AB2+AP2＝BP2，即42+x2＝（6﹣x）2，解得x=5则AP=5（2）∵CQ＝CD，∴∠CDQ＝∠CQD，又∵∠PBD＝∠CBD，∠CDQ+∠PDB＝∠ADC＝90°，∠CQD＝∠PQB，∴∠PBD+∠PQB＝90°，∴∠BPC＝90°，设AP＝m，DP＝n，则BC＝AD＝m+n，BP＝DP＝n，∴CP2＝CD2+DP2＝2n2﹣m2，AB2＝CD2＝BP2﹣AP2＝n2﹣m2，在Rt△BPC中，BP2+CP2＝BC2，即n2+2n2﹣m2＝（m+n）2，整理得m2+mn﹣n2＝0，即(m设mn=t，即t2+t﹣1＝解得t1=-1+∴APDP【点评】本题考查勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．12．（2026•泗阳县校级一模）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式2025+a2+1a2的值是2028【考点】一元二次方程的解；分式的加减法．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】2028．【分析】根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案．【解答】解：由题意可得a2+a﹣1＝0，即a2＝1﹣a，∴2025+=2025+(1-=2025+(1-a)=2025+a=2025+(1-a)-2a+2=2025+3(1-a)＝2025+3＝2028，故答案为：2028．【点评】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键．13．（2026•罗湖区模拟）如图，已知△OAB的一边AB平行于x轴，且反比例函数y=kx经过△OAB顶点B和OA上的一点C，若OC＝2AC且△OBC的面积为103，则k的值为8【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．【答案】8【分析】作BD⊥x轴，CE⊥x轴，AF⊥x轴，得AF∥CE，推比例线段，设点B（kn，n），推出C（3k2n，23n），再根据S△OBC＝S△OBD+S梯形BCED﹣S△COE＝S梯形BCED【解答】解：作BD⊥x轴，CE⊥x轴，AF⊥x轴，∴AF∥CE，∴CEAF∵OC＝2AC，∴CEAF设点B（kn，n∵AB∥x轴，∴A点的纵坐标为n，∴CE=23∵点C反比例函数y=k∴C（3k2n，23∵S△OBC＝S△OBD+S梯形BCED﹣S△COE＝S梯形BCED，∴12（n+23n）（3k解得k＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握这两个知识点的应用，由图形推比例线段及C点的表示方法是解题关键．14．（2026•呼图壁县一模）二次函数y＝a（x﹣h）2的图象如图所示，若A（﹣2，y1），B（﹣4，y2）是该图象上的两点，则y1＝y2．（填“＞”“＜”或“＝”）【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】＝．【分析】根据二次函数的对称性质求解即可．【解答】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，又点A（﹣2，y1），B（﹣4，y2）关于直线x＝﹣3对称，∴y1＝y2，故答案为：＝．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，能得出已知两点的对称性，并掌握二次函数的对称性是解答的关键．15．（2026•沛县一模）如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A2025B2025A2026的边长为22024．【考点】规律型：图形的变化类．【专题】规律型；运算能力．【答案】22024．【分析】利用等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，则可计算出∠A1B1O＝30°，所以A1B1＝A1A2＝OA1，利用同样的方法得到A2B2＝A2A3＝OA2，A3B3=A【解答】解：由条件可知∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，∵∠MON＝30°，∴∠A1B1O＝30°，∴A1B1＝OA1，∴A1同理可得A2∴A3B3…，∴An∵OA1＝1，∴当n＝2025时，A2025故答案为：22024．【点评】本题考查了图形的变化规律：关键找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．也考查了等边三角形的性质．三．解答题（共5小题）16．（2026•芜湖二模）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）（1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号）（2）当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，保护视力的效果较好．当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】（1）支点C离桌面l的高度为（93+2）cm（2）当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了，增加了约7.9cm．【分析】（1）过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，易得四边形ABMF为矩形，那么可得MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°，所以∠MBC＝60°，利用60°的三角函数值可得CM长，加上MF长即为支点C离桌面l的高度；（2）过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H，分别得到CE与CN所成的角为30°和70°时EH的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了．【解答】解：（1）过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，∴∠CFA＝∠BMC＝∠BMF＝90°．由题意得：∠BAF＝90°，∴四边形ABMF为矩形，∴MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°．∵∠ABC＝150°，∴∠MBC＝60°．∵BC＝18cm，∴CM＝BC•sin60°＝18×32=93∴CF＝CM+MF＝（93+2）cm答：支点C离桌面l的高度为（93+2）cm（2）过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H，∴∠EHC＝90°．∵DE＝24cm，CD＝6cm，∴CE＝18cm．当∠ECH＝30°时，EH＝CE•sin30°＝18×12=9当∠ECH＝70°时，EH＝CE•sin70°≈18×0.94＝16.92（cm）；∴16.92﹣9＝7.92≈7.9（cm）∴当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了，增加了约7.9cm．【点评】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键．用到的知识点为：sinA=∠A17．（2026•银川一模）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2=(x1-x2)2+(y1-y（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；（3）已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由；（4）在（3）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使PD+PF的长度最短，求出点P的坐标以及PD+PF的最短长度．【考点】一次函数综合题．【专题】综合题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据阅读材料中的A与B的坐标，利用两点间的距离公式求出A与B的距离即可；（2）根据两点在平行于y轴的直线上，根据A与B的纵坐标求出AB的距离即可；（3）由三顶点坐标求出DE，DF，EF的长，即可判定此三角形形状；（4）找出F关于x轴的对称点F′，连接DF′，与x轴交于P点，此时PD+PF最短，设直线DF′的解析式为y＝kx+b，将D与F′的坐标代入求出k与b的值，确定出直线DF′解析式，令y＝0求出x的值，确定出P坐标，由D与F′坐标，利用两点间的距离公式求出DF′的长，即为PD+PF的最短长度．【解答】解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），∴AB=(-3-2)（2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，∴AB＝|4﹣（﹣1）|＝5；（3）△DEF为等腰三角形，理由为：∵D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），∴DE=(-2-1)2+(2-6)2=5，DF=(4-1)2则△DEF为等腰三角形；（4）做出F关于x轴的对称点F′，连接DF′，与x轴交于点P，此时DP+PF最短，设直线DF′解析式为y＝kx+b，将D（1，6），F′（4，﹣2）代入得：k+b=64k+b=-2解得：k=-∴直线DF′解析式为y=-83令y＝0，得：x=134，即P（134∵PF＝PF′，∴PD+PF＝DP+PF′＝DF′=(1-4则PD+PF的长度最短时点P的坐标为（134，0），此时PD+PF的最短长度为73【点评】此题属于一次函数综合题，待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数与x轴的交点，弄清题中材料中的距离公式是解本题的关键．18．（2026•芜湖二模）在矩形ABCD中，M为直线AB上的点（不与点B重合），连接CM，将线段CM绕点C逆时针旋转90°得到线段CN，点P为线段BM上一点，连接DN和CP，CP与DN相交于点H．（1）如图1，若CD＝CM，CP平分∠BCM，求证：△CDH∽△PCB．（2）如图2，若AB＝AD，点M与点A重合，P为BM的中点，则CPDN的值是12，CP与DN的位置关系是CP⊥DN（3）如图3，若CD＝4，BC＝3，BM＝BC，且BPPM=34，探究【考点】相似形综合题．【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）12，CP⊥DN（3）CPDN【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义得到∠PCN＝∠DCH，然后根据三线合一得到∠CHD＝90°＝∠B，进而得到∠DCH＝∠CPB，证明相似即可；（2）先得到四边形ABCD是正方形，然后证明△DCE≌△NBE，△CBP≌△NBE，根据全等三角形的性质解答即可；（3）根据矩形的性质得到△BNE∽△CDE，即可得到BECE=ENDE=【解答】（1）证明：∵CN是由CM绕点C逆时针旋转90°得到的，∴∠MCN＝∠MCP+∠PCN＝90°，CM＝CN．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BCD＝∠DCH+∠BCP＝90°．∴∠MCP+∠PCN＝∠DCH+∠BCP．∵CP平分∠BCM，∴∠MCP＝∠BCP．∴∠PCN＝∠DCH，∴CH平分∠DCN．∵CD＝CM，∴CD＝CN，∴△DCN是等腰三角形．∴CH⊥DN．∴∠CHD＝90°＝∠B．∵AB∥CD，∴∠DCH＝∠CPB．∴△CDH∽△PCB；（2）解：记BC与DN的交点为点E，∵ABCD是矩形，AD＝AB，∴ABCD是正方形，∴∠CAB＝45°，∠ABC＝90°，AB＝CD＝BC，∵将线段CM绕点C逆时针旋转90°得到线段CN，∴∠ACN＝90°，CA＝CN，∴∠CNA＝∠CAN＝45°，∴AB＝BN＝CD，∵AB∥CD，∴∠DCB＝∠CBN，∠CDN＝∠DNB，在△DCE和△NBE中，∠DCE=∴△DCE≌△NBE（ASA），∴DE＝NE，CE＝BE，又∵点P是AB的中点，∴BP=1又∵∠CBP＝∠CBN＝90°，∴△CBP≌△NBE（SAS），∴CP=NE=DE=12DN，∠DNB＝∴∠DNA+∠CPN＝∠BCP+∠CPN＝90°，∴∠PHN＝90°，∴CPDN=12，故答案为：12；CP⊥DN（3）解：CPDN∵BM＝BC，∴△MBC为等腰直角三角形．如图3，记BC与DN交于点E，∵线段CM绕点C逆时针旋转90°得到线段CN，∴M，B，N三点共线，BC垂直平分MN．∴BN＝BM＝BC＝3．∵DC∥AN，∴∠CDE＝∠DNB，∠DCE＝∠CBN，∴△BNE∽△CDE，∴BECE又∵BPPM∴BE＝BP．由（2）可得△BNE≌△BCP．∴EN＝CP．∴CPDN∵△BNE≌△BCP，∴∠CPB＝∠NEB．∵∠NEB+∠BNE＝90°，∴∠CPB+∠BNE＝90°．∴∠PHN＝90°．∴CP⊥DN．【点评】本题属于相似形综合题，主要考查矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．19．（2026•瑶海区校级一模）如图1，矩形ABCD中，∠ADB＝60°，AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AD于点E，OF⊥AB于点F．（1）求OEOF（2）如图2，当旋转OE，OF，且OE⊥OF时，求OEOF（3）如图3，当DO：OB＝1：4时，过点O作OE⊥OF，OE交DA的延长线于点E，OF交AB的延长线于点F，此时OEOF【考点】相似形综合题．【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．【答案】（1）3；（2）3；（3）34【分析】（1）根据矩形的性质得到∠DAB＝90°，DO＝BO，求得tan∠ADB＝tan60°=ABAD=3，根据三角形中位线定理得到OE=12AB，（2）过O作OM⊥AD于M，ON⊥AB于N，根据矩形的性质得到∠MON＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；（3）过O作OM⊥AD于M，ON⊥AB于N，得到∠OMD＝∠DAB＝90°，根据相似三角形的性质得到ON=45AD，根据矩形的性质得到∠MON＝【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，DO＝BO，∵∠ADB＝60°，∴tan∠ADB＝tan60°=AB∵OE⊥AD于点E，OF⊥AB于点F，∴OE∥AB，OF∥AD，∴AE＝DE，AF＝BF，∴OE，OF是△ABD的中位线，∴OE=12AB，OF=∴OEOF（2）过O作OM⊥AD于M，ON⊥AB于N，∴∠OMA＝∠MAN＝∠ONA＝90°，∴四边形AMON是矩形，∴∠MON＝90°，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠MOE＝∠NOF，∵∠OME＝∠ONF＝90°，∴△OME∽△ONF，∴OEOF由（1）知，OMON∴OEOF（3）OEOF的值的变化，OE证明：过O作OM⊥AD于M，ON⊥AB于N，∴∠OMD＝∠DAB＝90°，∴OM∥AB，∴△DOM∽△DBA，∴OMAB∵DO：OB＝1：4，∴OMAB∴OM=15∵∠ONF＝∠DAB＝90°，∴ON∥AD，∴△OBN∽△DBA，∴ONAD∴ON=45∵∠OMA＝∠MAN＝∠ONA＝90°，∴四边形AMON是矩形，∴∠MON＝90°，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠MOE＝∠NOF，∵∠OME＝∠ONF＝90°，∴△OME∽△ONF，∴OEOF∵AD=3AB∴OEOF【点评】本题是相似形的综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．20．（2026•合肥模拟）某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货价恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润＝售价﹣进价）型号进价（元/只）预售价（元/只）甲型2025乙型3540（1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？（2）在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只．【考点】一元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）购进甲种型号的节能灯60只，购进乙种型号的节能灯40只；（2）乙型节能灯按预售价售出的数量是10只．【分析】（1）设该商店购进甲种型号的节能灯x只，则可以购进乙种型号的节能灯（100﹣x）只，根据“购进100只节能灯的进货款恰好为2600元”列方程，解方程即可求解；（2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只，由两种节能灯共获利380元列方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）设该商店购进甲种型号的节能灯x只，则可以购进乙种型号的节能灯（100﹣x）只，由题意可得：20x+35（100﹣x）＝2600，解得：x＝60，100﹣60＝40（只），答：该商店购进甲种型号的节能灯60只，购进乙种型号的节能灯40只；（2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只，由题意得60×（25﹣20）+（40﹣35）y+（40﹣y）×（40×90%﹣35）＝380，解得：y＝10，答：乙型节能灯按预售价售出的数量是10只．【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．

考点卡片1．规律型：图形的变化类图形的变化类的规律题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．2．分式的加减法（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．说明：①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．3．一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②（5）行程问题（路程＝速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．3．列：根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．4．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．5．由实际问题抽象出分式方程由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．6．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．7．一次函数与一元一次不等式（1）一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（-bk，当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞-bk，不等式kx+b＜0的解为：x当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜-bk，不等式kx+b＜0的解为：x8．一次函数综合题（1）一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．（2）一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．（3）用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．9．反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|10．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．11．反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．12．二次函数的图象（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移|b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac-b13．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-b2a，①抛物线是关于对称轴x=-②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x14．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE15．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．16．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．17．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．18．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．19．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D