2026年高考冲刺押题数学卷02

2026年高考冲刺押题数学卷02主题知识模块题目序号题目类别模块分值主考点关联考点数学思想考教衔接预备知识集合1单选5集合的交运算函数函数8单选5抽象函数的性质原函数与及其导函数的奇偶性的关系化归转化导数10多选28利用导数研究函数的单调性复合函数零点，充分必要条件函数方程人教A版选择第一册P89例413填空切线方程利用导数研究函数的单调性与最值函数方程人教A版第一册P82T1118解答利用导数研究函数的单调性与最值三角恒等变换函数方程三角5单选16三角恒等变换人教A版必修第一册P255T169多选三角函数的图像和性质数形结合人教A版必修第一册P241T514填空正弦定理圆的内接四边形、直线与圆的位置关系数形结合数列12填空22等差数列19解答数列的单调性与通项公式分类讨论几何与代数向量3单选5投影向量人教A版必修第二册P20T3复数2单选5复数的四则运算立体几何6单选218直三棱柱的外接球空间点到直线的距离15解答线面垂直，线面角化归转化解析几何7单选26椭圆的离心率直线与圆的位置关系数形结合11多选轨迹方程三角形的面积函数方程16解答双曲线三角形的面积数形结合概率统计统计4单选5频率分布直方图人教A版必修第二册P202例3概率17解答15离散型随机变量的分布列与期望相互独立事件人教A版选择性必修第三册P46讲解第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，，则（

）A． B．C． D．2．若复数满足，则（

）A． B． C． D．3．已知非零向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（

）A． B． C．2 D．44．某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度(单位:厘米)，将测量数据分成6组，整理得到如图所示的频率分布直方图.如果要让90%的产品长度不超过厘米，根据直方图估计，下列最接近的数是（

）A．93.5 B．94.1C．94.7 D．95.55．已知角满足，，则（

）A． B． C． D．6．已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（

）A． B． C． D．7．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知函数，的定义域为，是的导数，且，，若为偶函数，则（

）A．80 B．75 C．70 D．65二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，下列说法正确的是（

）A．B．函数的图象关于点中心对称C．将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象D．函数在区间上单调递增10．已知函数，定义域为，则下列结论正确的是（

）A．若且，则B．已知且，则“”是“”的充分条件C．方程有4个不同的实数解D．若，则11．双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美.双纽线的图形轮廓像“”，是许多艺术家设计作品的主要几何元素.已知在平面直角坐标系中，，满足的动点的轨迹为曲线.则下列结论正确的是（

）A．曲线既是中心对称又是轴对称图形B．曲线上满足的点有2个C．D．曲线上存在四个不同的点，使曲线在该点处切线的斜率为0第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知数列是等差数列，且其前项和为.若，则.13．若直线为曲线的一条切线，则的最大值为.14．克罗狄·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师，托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为:圆的内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两组对边长的乘积之和.已知四边形是圆的内接四边形，且，若，则（1）圆的半径是，（2）四边形面积的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（本小题满分13分）如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且，.(1)当时，求证：平面；(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值.16．（本小题满分15分）已知双曲线：（，）的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上，当时，.(1)求的离心率；(2)已知，，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若，求的面积.17．（本小题满分15分）已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：红色外观蓝色外观棕色内饰128米色内饰23(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到红色外观的模型，事件为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件和事件是否独立；(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望．18．（本小题满分17分）已知函数.(1)当时，判断函数的单调性；(2)对任意的时，恒成立，求实数的取值范围；(3)记，若，且，求证：.（参考公式：）19．（本小题满分17分）已知数列的前n项和为，若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”．记，称数列为的“余项数列”．(1)若的前四项依次为，试判断是否为“X数列”，并说明理由；(2)若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；(3)已知的正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明．答案解析第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【考查点】交集的概念及运算【解析】则故选：C.2．若复数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【考查点】复数的除法运算【解析】由，则，即，故选A.3．已知非零向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【考查点】数量积的坐标表示、求投影向量【解析】向量在方向上的投影向量为，所以，解得.故选：A.4．某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度(单位:厘米)，将测量数据分成6组，整理得到如图所示的频率分布直方图.如果要让90%的产品长度不超过厘米，根据直方图估计，下列最接近的数是（

）A．93.5 B．94.1C．94.7 D．95.5【答案】C【考查点】频率分布直方图【解析】观察频率分布直方图，得，则，，所以，与最接近的数为，故选：C5．已知角满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【考查点】三角恒等换变换【解析】因为，所以由题知所以，，故选D.【一题多解】由三角函数积化和差公式，得：所以，即：，所以：，故选：D.6．已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【考查点】多面体与球体内切外接问题、线面垂直证明线线垂直【解析】过点作于点，连接，因为三棱柱为直三棱柱，平面，又平面，，，，平面，且，平面，平面，，易知，，，，，则，设外接圆圆心为，外接圆圆心为，则，即，且三棱柱外接球球心为中点，则外接球半径，表面积为，故选.【规律方法】空间几何体的外接球问题的策略解【跟踪训练1】7．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【考查点】椭圆的离心率，直线与圆的位置关系【解析】椭圆的焦点在轴上，，直线，与椭圆都相切，，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆，为椭圆上任意两个动点，动点满足为锐角，点在圆外，又动点在直线上，直线与圆相离，，解得：，又，；椭圆离心率，，.故选：B.【规律方法】求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.8．已知函数，的定义域为，是的导数，且，，若为偶函数，则（

）A．80 B．75 C．70 D．65【答案】B【考查点】抽象函数，函数奇偶性，周期性，简单复合函数的导数【解题指导】偶函数的定义→→→→→→求和【解析】因为为偶函数，则，求导可得，因为，，则，可得，且，则，可得，即，可得，可知8为的一个周期，且，对于，，令，可得，，可得，所以.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，下列说法正确的是（

）A．B．函数的图象关于点中心对称C．将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象D．函数在区间上单调递增【答案】AB【考查点】正弦（型）函数性质【解析】对于A，的周期，所以A正确；对于B，因为，所以函数的图象关于点中心对称，故B正确；对于C，将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，故C错误；对于D中，因为，所以，所以在上不单调，故D错误.故选：AB.10．已知函数，定义域为，则下列结论正确的是（

）A．若且，则B．已知且，则“”是“”的充分条件C．方程有4个不同的实数解D．若，则【答案】BCD【考查点】函数与方程的综合应用，用导数判断或证明已知函数的单调性【解析】由函数的定义域为，且，所以的单调递增区间，对于A，令，得，所以A错误;对于B，由已知得，充分性得证，所以B正确;对于C，当时，，当时，，所以有两个零点，且，所以方程与分别有两个实数解，故方程有4个不同的实数解，故C正确;对于D中，由，即，令，可得，所以在为单调递减函数，所以，即，因为，可得，所以，得，所以，故D正确.故选：BCD.11．双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美.双纽线的图形轮廓像“”，是许多艺术家设计作品的主要几何元素.已知在平面直角坐标系中，，满足的动点的轨迹为曲线.则下列结论正确的是（

）A．曲线既是中心对称又是轴对称图形B．曲线上满足的点有2个C．D．曲线上存在四个不同的点，使曲线在该点处切线的斜率为0【答案】ACD【考查点】由方程研究曲线的性质、求平面轨迹方程【解题指导】→两点间距离公式→判断A由→点只有1个→判断B曲线方程→→判断C；由图象观察判断C，也可由导数的意义求出.【详解】对于A，设点坐标为则曲线，故正确；对于，若，则，这样的点只有1个，即为原点，故错误；对于C，由得，整理得，，所以，故C正确；对于D，从双纽线的图形上，可以观察有四个点处切线的斜率为0，另外，由得，则，令或0，经计算曲线在原点处的切线方程为，故D正确.故选：ACD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知数列是等差数列，且其前项和为.若，则.【答案】1【考查点】等差数列通项公式，等差数列的性质【解析】由得，，解得，即，解得，所以.13．若直线为曲线的一条切线，则的最大值为.【答案】/【考查点】导数的几何意义，由导数求函数的最值【解析】设，则，设切点为，则，则切线方程为，整理可得，所以，解得，所以，所以，设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，取得最大值，所以的最大值为.14．克罗狄·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师，托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为:圆的内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两组对边长的乘积之和.已知四边形是圆的内接四边形，且，若，则（1）圆的半径是，（2）四边形面积的取值范围是.【答案】2【考查点】正弦定理求外接圆半径，三角形面积公式及其应用【解题指导】→→→→，→分析可知点A在劣弧或上→与的夹角→求面积.【详解】由托勒密定理，得．因为，所以．设圆的半径为，由正弦定理，得．又，所以．因为，所以，因为，所以，所以，所以，则，故．因为，可知点到直线的距离，可知直线为以为圆心，半径为1的圆的切线，在中，可知，结合圆的性质可知点在优弧上，取，则；取，则；取，则；取，则；可知点A在劣弧或上，且与的夹角，所以四边形面积.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（本小题满分13分）如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且，.(1)当时，求证：平面；(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值.【考查点】线面垂直，线面角【解】（1）取的中点，连接，因为三棱柱为直棱柱，且为正三角形，…………………1分以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，

根据已知条件得、、、、，……3分当时，，则，所以，，，所以，，…………………5分所以，，又，、平面，所以平面.…………………7分（2）第一步：确定点和向量的坐标易知，则，当时，点，，，…………………9分第二步：平面的法向量设平面的法向量为，则，取，可得，…………………11分第三步：求直线与平面所成的角正弦值所以，故当时，求直线与平面所成角的正弦值为.…………………13分16．（本小题满分15分）已知双曲线：（，）的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上，当时，.(1)求的离心率；(2)已知，，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若，求的面积.【考查点】双曲线的离心率，直线与双曲线的位置关系，面积问题【解】（1）设，将代入双曲线方程得，此时，所以，即，，则，所以（负值舍去），故的离心率为2.（2）第一步：求双曲线渐近线方程因为，由（1）知，双曲线方程为：，渐近线方程为，第二步：根据求点坐标设，则，所以，第三步：求又在双曲线上，所以，整理得：，由渐近线方程为得，第四步：求的面积所以的面积为.17．（本小题满分15分）已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：红色外观蓝色外观棕色内饰128米色内饰23(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到红色外观的模型，事件为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件和事件是否独立；(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望．【考查点】离散型随机变量分布列及均值，条件概率，独立事件的判断【解】（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰个，米色内饰个，则对应的概率，……2分若小明取到棕色内饰，分红色外观个，蓝色外观个，则对应的概率．……4分取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有个，即，则，…………………6分，，即事件和事件不独立．……8分（2）第一步：写出随机变量由题意知，，，……9分第二步：外观和内饰不同情况的概率则外观和内饰均为同色的概率，外观和内饰都异色的概率，仅外观或仅内饰同色的概率，，……11分第三步：随机变量的概率，，，……12分第四步：随机变量的分布列则的分布列为：150300600……14分第五步：随机变量的数学期望则（元）．……15分18．（本小题满分17分）已知函数.(1)当时，判断函数的单调性；(2)对任意的时，恒成立，求实数的取值范围；(3)记，若，且，求证：.（参考公式：）【考查点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题【解题指导】（1）对求导→→→求求解（2）构造函数→对求导→→→分和两种情况讨论求解；（3）→→令→→→求解.【详解】（1）当时，，则，……………1分令，则，令，得到，…………2分当时，，即在区间上单调递减，当时，，即在区间上单调递增，………4分所以，则，所以在上单调递增.……5分（2）第一步：函数求导因为，所以，………6分第二步：构造函数求导，并分析单调性设，则，令，则，所以在区间上单调递增，即在区间为增函数，故，………8分第三步：对分类讨论，并分析单调性当时，，此时在区间单调递增，故，符合题意；当时，，且在为增函数，故存在满足，则在递减，所以当时，，不符合题意，………10分第四步：得出结论综上所述，实数的取值范围为.………11分（3）第一步：函数求导，………12分第二步：根据变形由，得，所以，两边同除以，得，所以，………13分第三步：根据化简令，得，得，因为，所以，…15分第四步：证明因为，又，易知，所以，又，所以，故，得.………17分【规律方法】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离