上海杨浦区2025-2026学年高一下学期数学期末区统考试卷（含答案）

杨浦中学2025-2026学年第二学期高一年级数学期末2026.6一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．复数（i是虚数单位）在复平面上所对应的点位于第______象限．2．已知，向量，．若，则______．3．设，，则向量在方向上的投影向量的坐标为______．4．若两个单位向量，的夹角为80°，则与的夹角为______．5．已知是平面的一条斜线，则与所成角的取值范围为______（角度单位用弧度）6．已知平面向量，满足，，且，则______．7．已知函数对任意的均满足，则______．8．若幂函数在时的图像位于直线的上方，则s的取值范围是______．9．若（，i是虚数单位），则______．10．在锐角三角形△ABC中角A、B、C的对边分别为a，b，c，记，，若，则______．11．已知平面内四个点，，，满足：，，则的最小值为______．12．已知函数，向量，，是平面内三个不同的单位向量，其中向量，相互垂直，且满足，则的取值范围是______．二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．13．已知平面向量，，是非零向量，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件14．已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（）A． B．1 C． D．315．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（）A． B．3 C．4 D．516．如图，边长为2的等边△ABC的外接圆为圆O，点P为圆O上任意一点，若，则的最大值为（）A． B．2 C． D．1三、解答题（满分78分，共有5题）解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．如图，所有棱长均为1的四面体PABC中，E是PC的中点．（1）求证：AB⊥PC；（2）求直线AE与BC所成角大小．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．已知关于x的实系数一元二次方程的两个虚数根为，．（1）若（i是虚数单位），求实数p，q的值；（2）若，，求的值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．如图，四边形ABCD为正方形，点P为平面ABCD外一点，PD⊥面ABCD，E为PD中点．（1）设平面ABE与直线PC相交于点F，求证：EF∥CD；（2）若，，求直线BE与平面PAD所成角的大小．20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分．已知函数的部分图像如图所示．（1）求函数的解析式；（2）将函数图像上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图像上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像．①当时，关于x的方程恰有三个不相等的实数根，，，求实数a的取值范围及的值；②已知△ABC的三个顶点均在函数的图像上，且，，，点D在线段AB上运动，求的取值范围．21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．对于向量组，，，，（m为正整数且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“1向量”．（1）设，n为正整数，若是向量组，，的“1向量”，求实数x的取值范围；（2）设向量，n为正整数，则向量组，，，，是否存在“1向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知，，均是向量组，，的“1向量”，其中，．设在平面直角坐标系xOy中有一点列，，，，满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值．

参考答案一、填空题1.三;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．已知平面内四个点，，，满足：，，则的最小值为______．【答案】【解析】作出示意图如下：根据题意可设，则根据题意可得，

又，过作于点，则，又，所以当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．故答案为：．12．已知函数，向量，，是平面内三个不同的单位向量，其中向量，相互垂直，且满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】已知相互垂直，则，所以因为，所以，

又因为，所以即，

以的方向分别为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系，则设，则，

由且，可得,

已知，则，

所以，

因为，所以,

则，所以,

综上，的取值范围是．故答案为：．二、选择题13.A14.B15.D16.C16．如图，边长为2的等边△ABC的外接圆为圆O，点P为圆O上任意一点，若，则的最大值为（）A． B．2 C． D．1【答案】C【解析】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点，如图．设，则．因为，可设，由的边长为2，可知其外接圆的半径为，所以，则，所以，所以，所以．故选C.三、解答题17.（1）证明略（2）18.（1）（2）19.（1）证明略（2）20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分．已知函数的部分图像如图所示．（1）求函数的解析式；（2）将函数图像上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图像上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像．①当时，关于x的方程恰有三个不相等的实数根，，，求实数a的取值范围及的值；②已知△ABC的三个顶点均在函数的图像上，且，，，点D在线段AB上运动，求的取值范围．【答案】（1）（2）①，②【解析】（1）由图示得：，解得：又，所以，所以，所以．

又因为过点，所以，即，

所以，解得，

又，所以，所以（2）①图象上所有的点向右平移个单位长度，得到

将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到，当时，，

令，则令，在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，且所以时，当时，方程恰有三个不相等的实数根．

因为有三个不同的实数根且关于对称，关于对称，则

两式相加得：，即，

所以．

②设，因为，

所以，

因为所以于是有，所以即，所以的取值范围是．21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．对于向量组，，，，（m为正整数且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“1向量”．（1）设，n为正整数，若是向量组，，的“1向量”，求实数x的取值范围；（2）设向量，n为正整数，则向量组，，，，是否存在“1向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知，，均是向量组，，的“1向量”，其中，．设在平面直角坐标系xOy中有一点列，，，，满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值．【答案】（1）（2）存在（3）【解析】（1）由题意可得：，即又故，），故，解得，所以实数的取值范围为；

（2）存在＂1向量＂，且＂1向量＂为，理由如下：