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文档简介

一、周期函数的傅里叶展开定义

傅里叶级数、傅里叶级数展开式、傅里叶系数若函数以为周期，即为第五章

傅里叶级数则可取三角函数族作为基本函数族，将展开为傅里叶级数

上式称为周期函数的傅里叶级数展开式,其中的展开系数称为傅里叶系数

三角函数族是正交的，即其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零

展开系数为收敛性？处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；(2)在每个周期内只有有限个极值点;

则级数收敛，且在连续点有：关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：狄利克雷（Dirichlet）定理若函数

满足条件：在间断点有：物理意义？一个典型的例子非正弦周期函数:矩形波展开为傅里叶级数非正弦周期函数:矩形波不同频率正弦波逐个叠加二、奇函数及偶函数的傅里叶展开定义傅里叶正弦级数、傅里叶余弦级数若周期函数

是奇函数，则由傅里叶系数的均等于零，展开式成为叫作傅里叶正弦级数。正弦级数在均为零计算公式若周期函数

是偶函数，则所有均等于零，展开式成为叫作傅里叶余弦级数．展开系数为余弦级数的导数在处为零。解：所给函数满足狄利克雷条件为第一类间断点。在间断点收敛于观察两函数图形对于定义在有限区间上的非周期函数能否进行傅里叶级数展开呢？需要采用类似于高等数学中的延拓法，使其延拓为周期函数。l-ll-l正弦级数余弦级数奇延拓:5.3周期的延拓对于定义在有限区间，例如在(0,l)上定义的函数f(x)，可以采用延拓的方法，使其成为某个周期函数F(x)l-l偶延拓:l-l解：xyO1-12-2周期为对函数做奇延拓，有XYO1-12四、

复数形式的傅里叶级数定义

复数形式的傅里叶级数取一系列复指数函数作为基本函数族，可以将周期函数展开为复数形式的傅里叶级数利用复指数函数族的正交性上式的物理意义：一个周期为2l

的函数可以分解为频率为，复振幅为

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