2025-2026学年四川省绵阳市科学城一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年四川省绵阳市科学城一中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知点M(0,3)，点NA.30° B.60° C.120°2.某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，其中5种系列产品的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是(

)

A.2022年甲系列产品收入比2020年的多

B.2022年乙和丙系列产品收入之和比2020年的企业年总收入还多

C.2022年丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的13

D.2022年戊系列产品收入是2020年戊系列产品收入的23.从抛物线y2=2x上一点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，若△MA.12 B.1 C.32 4.在空间中，“经过点P(x0,y0,z0)，法向量为e=(A,B,C)的平面的方程(即平面上任意一点的坐标(A.−23 B.23 5.某居委会从5名志愿者中随机选出3名参加周末的社区服务工作，则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率为(

)A.25 B.12 C.356.三棱柱ABC−A1B1C1中，所有棱长都相等，A.36 B.66 C.7.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为A.y=±2x B.y=±8.数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点F1发出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点F2，且在P点处的切线垂直于法线(即∠F1PF2的平分线).已知椭圆C：x2a2+y2A.154 B.34 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知双曲线C的方程为x29−yA.双曲线C的实轴长为6 B.双曲线C的渐近线方程为y=±34x

C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为4 10.已知圆C：(x−2)2+y2=1，点P是直线l：x−y=0上一动点，过点PA.圆C上恰有两个点到直线l的距离为12

B.切线长|PA|的最小值为2

C.直线AB恒过定点(3211.已知正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，以A为坐标原点，AB，AA.点B到平面B1CD1的距离为233

B.BB1在A1C上的投影向量是(−13,−13,13

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知双曲线M过点P(2,3)，且与双曲线N：x213.如图所示，用一束与平面α成60°角的平行光线照射球O，在平面α上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的离心率为

．

14.已知抛物线y=4x2的焦点为F，A，B是抛物线上两点，若|AB|=2，则线段AB四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某中学参加知识竞赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取800名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)请补全频率分布直方图并估计这800名学生的平均成绩；

(16.(本小题15分)

已知圆C的圆心坐标为(2,1)，与直线x−y+1=0交于A，B两点，且|AB|=22．

(1)求过点P(4,4)17.(本小题15分)

甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮答对的概率为34，乙每轮答对的概率为23.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．

(1)求两人在两轮比赛中都答对的概率；

(2)求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率；18.(本小题17分)

已知椭圆C的离心率为12，左、右焦点分别为F1(−1,0)，F2(1,0)．

(1)求C的方程；

(2)已知点M19.(本小题17分)

在平面四边形ABCD中，AB=AC=CD=1，∠ADC=30°，∠DAB=120°，将△ACD沿AC翻折至△ACP，其中1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】AC10.【答案】AC11.【答案】BC12.【答案】y213.【答案】1214.【答案】151615.【答案】解：(1)成绩落在[70,80)的频率为1−(0.15+0.30+0.10+0.05)=0.40，

补全的频率分布直方图如图：

这800名学生的平均成绩约为：

55×0.15+65×0.30+75×0.40+85×0.10+95×0.05=71；

(2)五组数据的频率分别为0.15，0.30，0.40，0.10，0.05，

0.15+0.30=0.45<0.60，而0.15+0.30+0.40=0.85>0.60，

所以这800名学生的成绩的第60百分位数位于[70,80)，

所以70+0.60−0.450.04=73.75，

所以这800名学生的成绩的第60百分位数为73.75；

(3)抽取的40名学生中，成绩在[80,90)内的有40×0.1=4(人)，分别记为a1，a2，a3，a4，

成绩在[90,100]内的有40×0.05=2(人)，分别记为b1，b16.【答案】解：(1)因为圆C的圆心坐标为(2,1)，与直线x−y+1=0交于A，B两点，且|AB|=22，

所以作出示意图如下：

设圆心到直线x−y+1=0的距离为d，

则d=|2−1+1|12+(−1)2=2，

由弦长定理得|AB|=2r2−2=22，解得r2=4，即r=2，

所以圆的方程为(x−2)2+(y−1)17.【答案】解：(1)根据题意，甲每轮答对的概率为34，

乙每轮答对的概率为23，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，

则两人在两轮比赛中都答对的概率为P=34×23×34×23=14；

(2)设事件A表示“甲第一轮答对”，事件B表示“乙第一轮答对”，事件C表示“甲第二轮答对”，

事件D表示“乙第二轮答对”，事件E表示“两人在两轮活动中至少答对3道题”，

则E=ABCD∪A−BCD∪AB−CD∪ABC−D∪ABCD−，

∴两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率为：

P(E)=P(ABCD)+P(A−BCD)+P18.【答案】解：(1)因为椭圆左、右焦点分别为F1(−1,0)，F得a=2，则b2=3(2)由M0(1,4)，F1(−所以线段F1M0联立垂直平分线方程和椭圆方程：x24+y23=所以直线与椭圆相切，即线段F1M0的垂直平分线与C(3)设当y0=0时，F此时x0−12=±当y0≠0时，

F联立y得3x即3因为线段F1M的垂直平分线与故Δ=即3x则y0所以y0即y0则y0因为x02+y0而5,0，故点M的轨迹是圆，该圆的方程为x2+y2−

19.【答案】解：(1)(i)证明：∵AC=CD=1，∠CAD=∠ADC=30°，∠BAD=120°，

∴∠BAC=90°，AB⊥AC，翻折后同样有AB⊥AC，

又AB⊥PC，PC∩AC=C，PC、AC⊂平面PCA，