浙江省新月联盟2026年8月高三年级第一次联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页浙江省新月联盟2026年8月高三年级第一次联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x|y=x−2,B=x|A.−2,3 B.[2,3) C.[2,6] D.2,+∞2.复数1−i1+5i的虚部是(

)A.−133 B.133 C.−3.若随机变量X满足X∼N(2,σ2)，且P(2<X<3)=0.3，则P(X<1)=A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.54.在△ABC中，“cosA<cosB”是“BC>A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件 D.充要条件5.有两点A，B分别在曲线y=ex与曲线y=lnx上，则ABA.1 B.2 C.3 D.46.已知f2x+1为奇函数，f(x)与g(x)的图像关于直线y=x对称，若x1+x2A.3 B.52 C.2 D.7.在棱长为8的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱AA1A.22 B.25 C.8.设向量a,b,c满足a=b=1，a⋅b=−12A.3 B.4 C.5 D.6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若2x−18=a8A.a4=−1120 B.a0=1

C.10.已知等差数列an的前n项和为Sn，下列说法正确的是(

)A.若S5=S12，则S18=0

B.S1013n+S3039n−S2026n=2S2026n11.已知曲线Γ:3(x2+2y2)2=2(x2+4y2)和椭圆Ω:x2+2y2=2，其中xA.曲线Γ存在2条对称轴

B.曲线Γ全部在椭圆Ω内

C.点P到O的最大值为63

D.对任意点P三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)在2,3间单调且存在零点，若使用二分法求零点的近似值，要求区间长度小于10−5，则需要进行二分操作的次数为

(参考数据：lo13.左轮手枪的弹仓共有6个可装填子弹的位置，每尝试击发一次后，弹仓便会顺时针转动一个子弹的位置．现有2个子弹装填在相邻的位置上，如图所示，不考虑偶然故障，则一次击发打出子弹的概率为

；若连续进行两次击发，其中第二发为空枪，则第一发也为空枪的概率是

．

14.新月联盟的标志中有一轮新月与栖息于其上的鸽子，其中新月部分可看做将圆x2+y2=4被直线y=−x+1所截得的劣弧部分绕该直线向内折叠得到的图形，如图所示．若直线y=kx−3与该图形的边缘恰有4个交点，则k的一个取值可以是

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，点A(−2p,0).若当MF⊥x轴时，△MAF的面积为5．(1)求抛物线C的方程；(2)若∠MFA+2∠MAF=π，点M的坐标．16.在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosB=2c−b(1)求角A的大小．(2)若M为▵ABC的内心，a=2，求▵MBC周长的取值范围．17.如图，四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AB//CD，AB⊥AD，侧面PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且CD=2AB=2AD=4，E为PC的中点．(1)证明：BE⊥平面PCD．(2)求二面角E−PA−B的正弦值．(3)在线段AE上是否存在点Q，使A、B、C三点在以点Q为球心的球面上？若存在，求AQAE的值；若不存在，说明理由．18.我们知道，若δ为一个分类变量，则全概率公式可以表示为P(A)=iP(Aδ=i)⋅P(δ=i).类似条件概率的定义，我们将在事件δ=i发生的前提下，随机变量X的数学期望称为条件期望，记为E(Xδ=i).运用以上知识回答下列问题：某人购买一款盲盒，其中共有n种商品(n∈N∗)(1)若n=4：(i)求P(X=4)．(ii)若该人已获得其中的三种商品，记“下一次购买抽中已有商品”为事件M，并设其还需要购买的次数为Y，证明：E(YM)=E(Y)+1，并求(2)求EX(用n表示，可使用求和符号)19.定义：已知函数f(x)，若数列an满足：对任意的n∈N∗，均有fan=n(1)若已知fx=ex，求(2)若已知g(x)=2x+x，数列bn为g(x)的“起源数列”，证明：对任意的k∈N(3)若已知hx=ex−x，数列cn，dn分别为h(x)的两个“起源数列”(n∈(i)证明：lnn≤(ii)当n≥2时，比较dn与cn的大小，并证明你的结论．1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】BCD

10.【答案】BC

11.【答案】ABD

12.【答案】17

13.【答案】13

；

；

；；14.【答案】−4/(答案为不唯一)

15.【答案】解：(1)当MF⊥x轴时，点M(p2,±p)，F(p2,0)

则|AF|=p2+2p=5p2，|MF|=p．

因为△MAF的面积为5，所以12|AF||MF|=12×5p2×p=5p24=5，解得p=2．

故抛物线C的方程为y2=4x．

(2)设M(x0,y0)，由(1)可知A(−4,0)，F(1,0)，

则tan∠MAF=y0x0+4，tan∠MFA=−y0x16.【答案】解：(1)已知2acosB=2c−b，由正弦定理得：因为C=π−A+B，故sin代入上式化简得：2cos在▵ABC中，sinB≠0，则cos又A∈(0,π)，所以A=π(2)因为M为▵ABC的内心，由(1)知A=π所以∠MCB+∠MBC=1所以∠BMC=2π设MB=x,MC=y，又a=2，即BC=2，在▵MBC中，由余弦定理得，22所以，x+y2x+y≤43又x+y>2，所以x+y∈所以▵MBC周长的取值范围为：4,4

17.【答案】解：(1)因为AB//CD，AB⊥AD，则CD⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PAD，取PD的中点F，连接AF、EF，∵AF⊂平面PAD，∴CD⊥AF，在正三角形PAD中，AF⊥PD，又CD∩PD=D，CD、PD⊂平面PCD，∴AF⊥平面PCD，

∵E是PC中点，F是PD的中点，∴EF//CD，EF=1∵AB//CD，CD=2AB，∴EF//AB，EF=AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴BE//AF，∴BE⊥平面PCD．(2)取AD的中点O，连接OP，在正三角形PAD中，OP⊥AD,AD=2,OP=∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，OP⊂平面PAD，∴OP⊥面ABCD，以O为原点，OA、AB、OP的方向分别为x、y、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则O0,0,0,A1,0,0,B1,2,0PA=设平面PAE和平面PAB的一个法向量分别为n=由n⋅PA=0n⋅AE=0由m⋅PA=0m⋅AB=0则cosm则二面角E−PA−B的正弦值为1−(3)在线段AE上不存在点Q满足条件，理由如下：假设在线段AE上存在点Q满足条件，设AQ=λ由(2)A1,0,0,E−12则x−1,y,z=λ−3由AQ=−3即在线段AE上不存在满足条件的点Q．

18.【答案】解：(1)(i)事件X=4表示前四次购买恰好抽齐四种商品，即前四次抽到的商品互不相同，所以有P(X=4)=1⋅3(ii)若M发生，只需这1次购买即可完成收集，所以E(Y|M由题意可得E(Y)=E(Y|M)P(M)+E(Y|M即E(Y)=(E(Y)+1)⋅3E(Y)=3E(Y)=3解得E(Y)=4．(2)设Xi为在已经拥有i−1种不同商品的前提下，为了抽到第i其中i=1,2,…,n，则有X=X在已拥有i−1种商品时，下一次抽中全新商品的概率记为pi因为总共有n种商品，还剩下n−(i−1)种未抽中，所以pi由(1)得E(X即E(XE(XE(XpiE(X则E(X)=i=1nE整理得E(X)=nk=1

19.【答案】解：(1)由“起源数列”的定义得fan=n，即e(2)证明：因为y=2x与y=x均为R上的增函数，故gx

由定义知gbm=m，对任意m∈任取k∈N∗，记n0=ggk.由于k结合gx单调递增，函数值相等则自变量相等，得bn0=gk，即存在正整数n0，使得(3)(i)证明：由起