【高考专项复习】专题01 平面向量及其应用（知识清单）

难点解读02奔驰定理与三角形的“四心”难点解读02奔驰定理与三角形的“四心”平面向量的线性运算加法运算、减法运算、数乘运算如果a=λb(λeR),则a//b,反之，如果a//6且b≠0,则一定存在唯一的实数え,使a=之b如果e,e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数，2,使a=g+元e考点01向量的有关概念2、零向量：长度为0的向量，记作0.4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行.5、相等向量：长度相等且方向相同的向量.A.充要条件B.充分不必要条件考点02平面向量的运算向量运算定义法则(或几何意义)b交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)几何意义数乘求实数λ与向量a的当>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ=0时，λa=0结合律：2(μa)=(λμ)a;第一分配律：(1)向量数量积的定义：已知两个非零向量,它们的夹角为θ,则数量叫做的数量积(或内积),记作,即规定零向量与任一向量的数量积为0,即(2)向量数量积的几何意义：数量积的长度在的方向上的投影的乘积.【注意】①数量积也等于b的长度b||与方向上的投影的乘积，这两个投影②a在b方向上的投影也可以写成,投影是一个数量，可正可负可为0,取决于θ角的范围.(3)向量数量积的性质设a,b是两个非零向量，e是单位向量，a是a与e的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：(4)向量数量积的运算律(交换律).(分配律).A.a//bB.a=bC.a⊥bD.|a-b|=21、向量共线定理：如果a=λb(λ∈R),则a1/6,反之，如果al/(1)定义：有且只有一对实数λ,2,使a=ze₁+Ze₂①已知a=(x,y),b=(x₂,y2),则a+b=(x₁+x₂,y₁+y₂),a-b=(x₁-x₂,y1-y₂).(2)向量平行坐标表示：已知a=(x,y;),B=(x₂,y2),则向量a,b(b≠共线的充要条件是xy₂-x₂Y₁=0结论几何表示模夹角的关系,解得是存在实数λ与μ,使得,且λ+μ=1.特别的，当P为线段AB如图②,设平面上O,A,B三点不共线，点D在直线AB,且AD=λAB(λ∈R),难点破解BC交于点F,且,则的最小值为()A.5【解析】BF=AF-AB,BC=AC-AB,又,故因为D,E,F三点共线，所以,故4x+y=5.难点解读02奔驰定理与三角形的“四心”②OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=①|AB|PC+|BC|PA+|CA|PB=0难点破解 CCBB∵AB=8,∴BC=4,AC=6,半周长p=9,又难点解读03极化恒等式(1)极化恒等式内容：(2)平行四边形模式：平行四边形ABCD,O是对角线交点.难点破解的取值范围是().【解析】因|OA=|OB=1,∠AOB=120°,且MN是00的一条直径， 所以MAMB=(MO+OA)(MO+OB)=|Mo²-|o4²=|Mo²-1,难点解读04平面向量的最值与范围问题难点破解AB=2,AD=1,∠DAB=60°,P是BC上一点(包含端点),则AP·BC的取值范围是()以A为原点，AD为x轴，与AD垂直方向为V轴，由∠DAB=60°, 点，点G在线段EF上.若AG=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为() (线段长度代表速度大小，单位：m/s),则该时刻的真风为()风速大小(单位：m/s)2345YYA.-6A.x=2,y=-3B.x=-2,y=3C.x=2,y=3 所以(a+b)²=1,,即a²+2a·b+b²=1;A.√5B.3则E(1,0),C(2,2),D(0,2),可得EC=(1,2),ED=(-1,2),【解析】因为a=(3,1,b=(2,2)题型04平面向量的平行与垂直问题参数.所以x·(x+1)+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A错误；对B,当a//时，则2(x+1)=x²,解得平面内任意向量，均可被唯一拆解为一组不共线基底的线性组合.解题思路：优先选取图形中现成、简洁的一对不共线向量作为基底，依托三角形则，结合图形中点、等分点、平行、共线等几何特征，对复杂嵌套向量进行分步拆分、首尾归化、反向凑形，逐步消去中间向量，将目标向量完全转化为标准基底的线性形式，完成标准化拆分变形.划重点攻略的形式，再通过向量的运算来解决.A.2B.-2【解析】AB=q+ae,BD=CD-CB=5e+4e₂-(E-4e₂)=4e₁+8e₂=4(划重点攻略求解两个非零向第一步，由坐标运算计算出这两个向量的数量积；第二步，分别求出这两个向量的模；第三步，根据公式求出这两个向量夹角的余弦值；第四步，根据两个向量夹角的范围[0,π]及其夹角的余弦值，求出两个向量的夹角. · 【答案】的夹角为()A.45°B.60°C.120°【答案】C(1)坐标结构题型，直接套用平行交叉相等、垂直数量积为0的专属公式，快速求值定参；(2)几何图形题型，依托共线向量定理、垂直向量数量积为0的性质推理判定.b=me-e₂,且a⊥b,则m=()即,解得向量拔高综合题型，主打向量与平面几何、解三角形、图形性质的融合考查.核心解题逻辑为“几何条件向量化、向量运算几何化”,精准挖掘图形中中点、比例等分、平行垂直、三角形四心等隐藏几何条件，快速转化为向量等式、数量积关系；通过向量运算判定、面积求解等问题，最终将向量代数结果反向还原为几何结论，形成完整解题闭环. 又因为,所以所以所以,所以【解析】(1)由题意知又(2)由题意知所以1、相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.2、共线向量即平行向量，它们均与起点无关.3、相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向4、向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函5、非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量，因此单位向量与a方向相同.6、向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能.但向量的模是非负实数，可以比较大小.7、在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小向量是否也满足条件.【典例1】设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()【典例2】(2026·广东深圳·模拟预测)(多选)下列说法正确的是()A.若a和方向相同，且|al>同，则a>bC.零向量长度为0,方向是任意的首先根据图形结构建立合适的平面直角坐标系，精准求解各点坐标，换算出对应向量坐标；其次熟练套用向量加减、数乘的坐标运算公式，快速化简向量表达式；依托坐标公式完成模长求解、夹角余弦计算、平行与垂直判定.坐标运算通用性极强，可规避几何法思路卡解决向量综合题、动态最值题的保底解题方法.【典例1】(2026·甘肃·模拟预测)设向量a=(-1,2),b=(A.3λ+2μ=1B.22+3μ=1技法点拨03平面向量数量积的求解方法1、定义法求平面向量的数量积(1)方法依据：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即(2)适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角.(1)方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量级的运算律和定义求解.(2)适用范围：直接利用定义法求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基采用“基底法”求解.3、坐标法求平面向量的数量积(1)方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，(2)适用范围：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有(或隐含)正交基底，优面直角坐标系，使用坐标法求数量积.1、定义法：利用,把向量的模的运算转化为数量积运算；2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；3、几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.A.B.1又因此5|=1.2a-3b在向量b上的投影向量为()【解析】 辨易混易错认为方向固定，忽略单位向量仅限定模长、方向不唯一的特点.辨析：如果a、b是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量c,有且只有一对实数λ,2,使c=λa+Zb。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件.C.2e+e₂和e-e₂D.2e+e₂和e+2e₂A.e₁=(0,0),e₂=(1,1)B.e₁=(-1,2),e₂=(1,-2)C.e=(-1,2),e₂=(-2,4)D.e辨易混易错辨析：对于a=(x₁,y),b=(x₂,y₂),a//b⇔x₁V₂-x₂y₁=0,若是使用,容易忽略0这个解.考生解题过程中要注意等价条件的完备性.【典例1】(2026-湖北·三模)已知向量a=(1,-1),b=(0,2),若a+b与2a-kb平行，则实数k=【答案】-2【解析】已知向量a=(1,-1),b=(0,2),则a+b=(1,1),的运算时不可约公因式.【解析】若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,【典例2】(多选)关于平面向量a,b,C,下列说法不正确的是()A.(a-b)·(a+b)=a²-b²B.(a+b)·c=a·c+b·cC.若a·b=a·c,且a≠0,则b=cD.【解析】因为d=(-2,m),,所以A.-5B.-1C.1【解析】因为a=(-1,2),b=(1,-3),所以xa+yb=x(-1,2)+y(1,-3)=(-x+y,2x-3y),.若AB·AC=λGE·GF,则λ=()A.3B.6基底的是()A.e+2e2,e₁+3e₂B.2e-e,e₂C.e₁+e₂,e₁-e₂