江苏省南通市海安市2026-2027学年高三上学期开学数学试卷（含答案）

/江苏省南通市海安市2026-2027学年高三上学期开学数学试题一、单选题1、满足的整数的个数是（）A．4B．5C．6D．72、已知复数，则在复平面内对应的点所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3、已知集合，，则（）A．B．C．D．4、曲线在处的切线方程是（）A．B．C．D．5、函数的零点所在区间为（）A．B．C．D．6、某科技馆欲靠一面长墙规划一块面积为的矩形机器人表演区，为了保证观演效果，表演区的左、右两侧以及前方均需留出宽的观演区，则表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是（）A．B．C．D．7、已知函数，不等式的解集为（）A．B．C．D．8、设函数．若满足对任意的，都存在唯一实数使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题9、设，，表示空间中三个不同的平面，下列结论正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．，，可能交于一点10、设二次函数满足：，且，则（）A．B．C．D．11、已知定义域为的函数不恒为，，且，则（）A．B．C．D．三、填空题12、已知二项式的展开式中，的系数为24，则________．13、据行业预测，因大模型训练与推理需求激增，某AI公司用于算力基础设施的月度投资额将在9月初至11月末这三个月内实现翻倍．设该期间月度投资额的月均增长率为，则________．14、设集合，函数同时满足条件：①当时，；当时，；②，；③，则________，所有符合题设的函数的个数是________．四、解答题15、在平面凸四边形中，，，与相交于点，．

(1)若，求；

(2)若，，求．16、某学校开设了门体育类选修课和门艺术类选修课，甲同学从这门课中随机选修4门，要求每类选修课至少选修门．

(1)甲同学恰好选修门体育类选修课的概率；

(2)在已知甲同学首选门体育类选修课篮球的条件下，求甲同学剩余的三门选修课中选修艺术类选修课门数的数学期望．17、如图，在三棱柱中，为的中点，，二面角的平面角的大小为．(1)证明：平面；

(2)证明：平面；

(3)求点到平面的距离．18、已知，函数．

(1)求函数的所有零点之和；

(2)证明：，；

(3)，，求的取值范围．19、已知函数的定义域和值域均为．对于，定义集合．

(1)若求；

(2)若，总有，则称是对称集．证明：“是偶函数”的充要条件是“，是对称集”；

(3)设，函数的定义域和值域均为，非空点集满足，总有，判断并证明的奇偶性．试卷答案/解析一、单选题1、【答案】C【详解】不等式x2−3x<10，即当x为整数时解集为−1,0,1,2,3,4，所以满足x2−3x2、【答案】B【详解】复数z=1+i3、【答案】A【详解】9−log95−32所以A=又B=−2,14、【答案】D【分析】使用导数的几何意义求解切线方程.【详解】当x=π4时，yy'=2+2sin2x所以切线方程为：y−π25、【答案】B【分析】根据零点存在性定理，结合函数的单调性即可计算端点处的函数值求解.【详解】由于函数y=2x且f1故零点位于14故选：B6、【答案】B【分析】根据矩形面积公式，结合基本不等式进行求解即可.【详解】如图所示：设矩形ABCD为表演区，AB=x,由题意可知：EF=所以EK=设矩形EHLK的面积为S，所以S=由xy=18⇒由基本不等式，得S=36+3即S≥72，当且仅当3×所以当x=6,y=37、【答案】C【分析】先根据函数奇偶性的定义得fx为奇函数，利用函数单调性的性质得函数fx在【详解】fx的定义域为R，因为f−x因为fx=2x−1由fx+f1−2x因为fx在R上单调递增，所以x<2x故不等式fx+f8、【答案】D【分析】由题意得fx在0,+∞上严格单调，即f′x≥0在0,+∞恒成立，或【详解】若fx满足对任意的t>0，都存在唯一实数x使得（若f(x)不严格单调，则至少存在一个t，使得除x=t外还有其他x所以fx在0,+∞所以f′所以f′x≥0在0,+∞恒成立，或f当f′x≤0在0,+∞恒成立时，即lnx所以2a≤1−xlnx−3所以g'x=所以h'x=lnx+3令h'x>0，解得x>e所以hx在0,e−3单调递减，在e当0<x<1时，hx<0，所以g′x<0所以gx在0,1单调递减，在1,+∞所以gxmin=g1当f′x≥0在0,+∞恒成立时，即lnx当x→0时，f综上所述，a∈二、多选题9、【答案】ACD【分析】利用平面平行、垂直的位置关系判定各命题真假，借助空间模型举出反例判断错误选项.【详解】对于A，由平面平行的传递性，若α∥β，β∥对于B，若α⟂β，β⟂γ，平面对于C，设平面α内存在直线l⟂β，由β∥γ得l⟂对于D，三个不同平面可以交于同一点，如空间直角坐标系中三个坐标平面交于原点，D正确.10、【答案】ABD【分析】A选项，赋值得到答案；BCD选项，设出解析式，得到b=1，c=1−a，结合2【详解】A选项，令x=1得2≤f1B选项，设fx由f−1=0f1=2故c=1−a，由2x≤f由①得ax2−x+1−即2a−12由②得−12x2+故a=12，cf′x=C选项，f′D选项，fx11、【答案】AB【分析】使用赋值法计算f1与f0，推导函数【详解】令x=1,y=0令x=y=0，则f0=f(0)令y=1，则fx+1若f(0)=0，则f(x+1)=0，即由f(0)=1，得f由fx+y=f令y=2，得f即fx+2=−所以fx的周期是4，由f(x+1)=−f(1−x)，令三、填空题12、【答案】4【详解】2x+1n令n−r=2得r=n所以Cnn−222=24，其中Cn13、【答案】1【详解】由题意得1+r3=2，所以log21+14、【答案】2240【分析】由条件①可以推出f(2)=1，f(9)=10，再结合条件②可以推出f(1)=f(2)，f【详解】∵当1<x≤5时，f(当6≤x<10时，f(又∵当任意x≤9时，f(x)≤f∴f由条件①⇒1≤f(3)≤2，1≤f(4)≤3，1≤f(5)≤4由条件②f由条件③⇒当f(5)=1时，f(6)=7，f(3)=f(4)=1，f(7),f(8)的可能取值有8,9、8,10、当f(5)=2时，f(6)=8，f(3),f(4)的可能取值有1,1、1,2、2,2，f(7),f(8)的可能取值有8,9、8,10、9,9、同理可得，当f(5)=3时函数f(x)有15个，当∴符合题设的函数f(【点睛】方法总结：根据函数的概念结合集合的相关知识推出函数f(x)易错归纳：本题的约束条件多，需要学生认真审题，读懂题目的条件，不然容易犯低级错误.四、解答题15、【答案】(1)OA(2)OD【分析】（1）结合特殊角的三角函数值，利用正弦定理即可求解；（2）设OD=m，在△ADO和△【详解】（1）依题意，在△ADO中，∠由正弦定理得，OAOD因为sin105°=所以OAOD（2）由OA=1，AC=3，得OC=2．设OD在△ADOAD在△BCOBC因为AD=BC，所以m2所以OD=16、【答案】(1)4(2)30【分析】（1）先用排除法确定满足“每类至少选修1门”的选法总数，再由分步乘法计数原理求出“1门体育、3门艺术”的选法数，最后代入古典概型公式求概率.（2）把条件转化为“从剩余体育类与艺术类课程中选足门数且至少含1门艺术”的计数问题，用排除法求出条件总选法数，再分别计数X各取值对应的选法数并求出相应概率，最后代入数学期望公式求解.【详解】（1）满足“每类至少选修1门”的选法总数为C8恰好选修1门体育类、3门艺术类的选法数为C4所以甲同学恰好选修1门体育类选修课的概率P=（2）满足“已知甲同学已选篮球，则还需从剩余3门体育类、4门艺术类共7门中选3门，且至少选1门艺术类．”的选法总数为C7依题意，X的可能取值为1，2，3．则PXPXPX所以EX17、【答案】(1)如图，连接A1C与AC1交于点由三棱柱性质得O为A1C的中点，又因为D为BC的中点，所以又因为A1B⊄平面ADC1所以A1B//(2)因为∠C1DC是二面角C1−又因为DC∩DC1=D，DC，DC又因为CC1⊂平面DC在△C1DC中，C1D由余弦定理得CC所以CD2+又因为AD∩CD=D，AD，CD⊂平面ABC(3)3【分析】（1）利用中位线的性质得到OD//（2）利用二面角的定义和线面垂直的判定定理求出AD⊥平面DCC1，进而求出AD（3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合点到平面距离的向量求法求解即可.【详解】（1）略（2）略（3）由（2）知AD⊥DC，CC1⊥如图，以D为原点，建立空间直角坐标系．而CD=BD=1，则D0,0,0，B0,1,0设Aa,0,0a所以DA⃗=a设平面ADC1的法向量为n=令z=1，得n又因为AA1⃗=0,0,3，所以点18、【答案】(1)0(2)令gx则g′x=φ′x=−sinx+则在tx在0,+∞上单调递增，则t所以φx在0,+∞上单调递增，则φ故gx在0,+∞上单调递增，有g所以∀x≥0，(3)1【分析】（1）先由f−x=−fx（2）构造函数gx（3）先由fx≤0分离参数得a≥sinxx2+cosx，令x→0+求出a的必要下界；再对导函数f′【详解】（1）依题意，函数fx的定义域为R因为f−所以fx为R若fx0=0又f0=0，故函数（2）略（3）依题意，ax≥sinx2+cosx．因为所以∀x≥0，a≥当a≥13令t=2+cosx，则故f′x≤0所以fx在0,+∞上递减，故f所以a的取值范围是1319、【答案】(1)M(2)必要性：∀m∈M因为fx是偶函数，则f−m所以Mt充分性：∀x0∈由fx0≥fx所以−x0∈记f−由f