2026-2027学年上海市复旦大学附属复兴中学高三（上）练习数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年上海市复旦大学附属复兴中学高三（上）练习数学试卷（9月份）一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在△ABC中，已知三边a、b、c满足(a+b+c)(a+b−c)=3ab，则∠C=(

)A.30° B.60° C.120° D.150°2.已知复数z=x+yi(i为虚数单位，x，y∈R)，则“xy=0”是“z2为实数”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知点A在线段BC上(不含端点)，O是直线BC外一点，且OA=2xOB+yOC，则1A.4 B.85 C.35 4.已知函数f(x)=12−sin2ωx(ω>0)与直线y=12在[0,2π]A.[1,54) B.[1,32)二、填空题：本题共12小题，共54分。5.若集合A={x|2x+1>0}

B={x|−1<x<3}，则A∩B=______．6.曲线y=2ex在点(0,2)处的切线方程为

．7.函数f(x)=lnx−2x的单调递增区间是

．8.已知A，B，C是△ABC的三个内角，sinA=35，cosB=−12，则sinC=

9.已知sinα=13，则cos2(10.已知α、β都是锐角，sinβ=45,cos(α+β)=−211.已知a=(1,3)，向量b在向量a上的投影向量为14a，则12.函数f(x)=sin2x+3sinxcosx在区间[13.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S.若S=a2−(b−c)2，则tanA=14.设向量a，b，c满足|a|=|b|=2,〈a,b〉=2π315.已知函数f(x)=12cosωx+32sinωx(ω>0)，若f(x)在区间(π16.已知非零向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且|AB−三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知函数f(x)=23sinxcosx−2sin2x(x∈R)．

(1)写出函数f(x)在[0,π]内的严格增区间；

(2)在△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f(B)=0,BA18.(本小题14分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC=2BB1，∠ABC=90°，D为BC的中点．

(1)求证：19.(本小题14分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m=(a,3b)，n=(cosA,sinB)，且m//n．

(1)求角A的大小；

(2)若a=23，且△ABC的面积为23，求△ABC的周长；

20.(本小题18分)

已知圆C：(x+1)2+y2=8，F(1,0)关于直线l对称的点P在圆C上，直线l与线段CP交于点Q．

(1)求Q点的轨迹方程；

(2)探究直线l与Q点轨迹的关系；

(3)记△FPQ的面积为S1，△FCQ的面积为21.(本小题18分)

已知函数f(x)=(1x+a)ln(1+x)．

(1)当a=−1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)是否存在a，b，使得曲线y=f (1x)关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由；

(3)若1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】{x|−16.【答案】2x−y+2=0

7.【答案】(0,18.【答案】49.【答案】1310.【答案】211.【答案】3

12.【答案】x=π13.【答案】81514.【答案】4

15.【答案】[2016.【答案】−117.【答案】解：(1)f(x)=23sinxcosx−2sin2x

=3sin2x−(1−cos2x)=2(32sin2x+12cos2x)−1

=2sin(2x+π6)−1，

令2kπ−π2<2x+π6<2kπ+π2(k∈Z)，可得kπ−π3<x<kπ+π6(k∈Z)，

x∈[0,π]，令k=0，得0<x<π6，令k=1，得2π3<x<π，

所以函数f(x)在[0,π]内的严格增区间为18.【答案】解：(1)证明：在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ABC=90°，则直线BA，BC，BB1两两垂直，

以B为坐标原点，直线BA，BC，BB1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

令BB1=1，得B(0,0,0)，A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C1(0,2,1)，D(0,1,0)，

A1B=(−2,0,−1),AD=(−2,1,0),AC1=(−2,2,1)，

设平面ADC1的法向量为m=(x,y,z)，

则m⋅AD=−2x+y=0m⋅AC1=−2x+2y+z=0，

取x=1，得m=(1,2,−2)，

显然A1B⋅m=−2+0+2=0，

因此A1B⊥19.【答案】π3

2320.【答案】解：(1)因为圆心为C(−1,0)，半径CP=22，F(1,0)，Q在FP中垂线上，所以QF=QP，

Q在半径CP上，所以CP=CQ+QP=CQ+QF=22，

所以点Q到两定点C，F的距离和为定值22，且，大于2，

所以Q的轨迹是以C，F为焦点的椭圆，

且2a=22，2c=2，所以a=2，c=1，

所以b=1，

所以轨迹方程为x22+y2=1；

(2)设Q(x0,y0)，PF中点为H，由对称性，不妨设y0>0，

P在射线CQ上且CP=22，则CQ：y=y0x0+1(x+1),x02+2y02=2,

因为(xP+1)2+yP2=8=(x0+1)2+y02(x0+1)2(xP+1)2，

(xP+1)2=8(x0+1)2(x0+1)21.【答案】解：(1)a=−1时，f(1)=0，

f′(x)=−1x2ln(x+1)+(1x−1)1x+1，f′(1)=−ln2，

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−ln2(x−1)．

(2)f(1x)=(x+a)ln(1+1x)，由1+1x>0，得x>0或x<−1，

所以函数f(1x)的定义域为(−∞,−1)∪(0,+∞)，

若存在a，b，使得曲线y=f(1x)关于直线x=b对称，

则b=−12，即曲线y=f(1x)关于直线x=−12对称，

则f(1)=(1+a)ln2，f(−2)=(−2+a)ln12=(2−a)ln2，

所以1+a=2−a，解得a=12．

综上，a=12，b=−12．

(3)f′(x)=−1x2ln(x+1)+(1x+a)