专题02空间向量基底的综合运用(7大题型专练)(原卷版)

专题02空间向量基底的综合运用（题型突破·举一反三）题型一：空间向量基底概念辨析题型二：基底表示空间向量题型三：基底法求向量模长题型四：基底法求异面直线夹角及余弦值题型五：基底法证明共线、共面问题题型六：基底法证明空间平行、垂直关系题型七：基底法求线面角、二面角空间向量基底解题核心：选定一组不共面的三个向量作为基底，将所有相关向量统一用基底线性表示，转化代数运算求解。第一步合理选基底：优先选取从同一点出发、长度与夹角已知的三条棱向量，避免共面向量，简化夹角与模长计算；若存在垂直关系，优先选两两垂直向量，数量积直接简化为0。第二步线性分解向量：利用向量加减、数乘法则，把线段、法向量、动点向量全部拆解为基底的组合式，设出系数建立关系式。第三步三类核心运算：1.数量积，用于求线线、线面夹角、距离、垂直证明；2.向量共线/共面判定，通过基底系数比例判断平行、四点共面；3.设参求解动点，结合等式对应系数相等列方程求参数。第四步规范证算结论：证垂直只需数量积为0；求角取夹角余弦绝对值；求距离转化向量模长。全程无需建系，适合无垂直、不规则几何体，避开坐标系找点难点，步骤统一，思路清晰。题型一：空间向量基底概念辨析【典例1】（2026·高二·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【变式1-1】（2026·高二·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（）A． B． C． D．【变式1-2】（2026·高一·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（

）A．， B．， C．， D．，【变式1-3】（2026·高二·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（

）A． B．C． D．题型二：基底表示空间向量【典例2】（2026·高二·贵州遵义·阶段检测）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A． B．C． D．【变式2-1】（2026·高二·湖南长沙·期末）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（

）A． B．C． D．【变式2-2】（2026·高二·四川泸州·期末）如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（

）A． B．C． D．【变式2-3】（2026·高二·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（

）

A．1 B．2 C． D．题型三：基底法求向量模长【典例3】（2026·高二·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________．【变式3-1】（2026·高二·江苏淮安·阶段检测）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且，则对角线长为_____【变式3-2】（2026·高二·重庆荣昌·阶段检测）在平行六面体中，长度均为2，两两夹角均为，则对角线的长度为______；【变式3-3】（2026·高二·云南·阶段检测）如图，在棱长均为1的平行六面体中，，则______.

题型四：基底法求异面直线夹角及余弦值【典例4】（2026·高二·四川遂宁·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设．(1)用表示，并求；(2)求与的夹角．【变式4-1】（2026·高二·山东青岛·期中）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，、分别在线段和上，且，．(1)证明：、、、四点共面；(2)为的中点，求直线与所成角的余弦值．【变式4-2】（2026·高二·广西河池·阶段检测）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若．(1)求的值；(2)求．【变式4-3】（2026·广东广州·二模）如图1，在矩形ABCD中，于于，将沿AC翻折至，使得，连接，如图2．(1)求三棱锥的体积；(2)求直线与直线AC所成角的余弦值．题型五：基底法证明共线、共面问题【典例5】如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、.设点、、、分别为、、、的重心.试用向量方法证明、、、四点共面【变式5-1】（2026·高二·江苏镇江·期末）如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点.(1)求线段的长；(2)若，，求证：，，，四点共面.【变式5-2】A是所在平面外一点，G是的重心，M、E分别是BD、AG的中点，点F在线段AM上，，判断三点C、E、F是否共线．【变式5-3】（3．1空间向量及其运算）如图，在四面体中，点、、分别是棱、、的中点，点、、分别是棱、、的中点，点是线段的中点．试判断下列各组中的三点是否共线：

(1)、、；(2)、、．题型六：基底法证明空间平行、垂直关系【典例6】（2026·高二·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且(1)求证：(2)当的值为多少时，平面？请给出证明.【变式6-1】（2026·高二·山西太原·期中）如图，三棱柱各棱的棱长都是1，若，点，分别是的中点，记．(1)用向量表示向量，并求的模长；(2)用向量方法证明：．【变式6-2】（2026·高二·山西晋中·期中）如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.

(1)求的长；(2)证明：.【变式6-3】中，，，，D是的中点，E是的中点，F是的中点．如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得．证明：；题型七：基底法求线面角、二面角【典例7】（2026·高三·云南玉溪·阶段检测）如图所示，三棱柱中，所有棱长均为2，，，分别在，上（不包括两端），．(1)求证：平面；(2)设与平面所成角为，求的取值范围．【变式7-1】（2026·高三·江苏镇江·开学考试）在如图所示的平行六面体中，，．