第四章 指数函数与对数函数 单元质量测评（含解析）高中数学 人教A版（2019）必修 第一册

第四章单元质量测评eq\a\vs4\al()时间：120分钟eq\a\vs4\al()满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算2log510＋log50.25＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．2 D．42．函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)与g(x)＝－x＋a的图象大致是()3．函数f(x)＝eq\f(1,\r(（log2x）2－1))的定义域为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[2，＋∞)4．设a＝log2eq\f(1,3)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0.4)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(0.5)，则()A．c<b<a B.a<c<bC．a<b<c D.b<a<c5．函数y＝lg(4＋3x－x2)的单调递增区间为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))6．(北京高考)生物丰富度指数d＝eq\f(S－1,lnN)是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则()A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1C．Neq\o\al(2,2)＝Neq\o\al(3,1) D．Neq\o\al(3,2)＝Neq\o\al(2,1)7．碳14测年法是根据碳14的衰变程度计算出样品的大概年代的一种测量方法.2025年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的66%，已知碳14的半衰期是5730年(即每经过5730年，遗存材料的碳14含量衰减为原来的一半)．以此推算出该文物的大致年代是(参考数据：logeq\r(5730,0.5)10≈－19034.6，logeq\r(5730,0.5)66≈－34634.4)()A．公元前1600年到公元前1500年B．公元前1500年到公元前1400年C．公元前1400年到公元前1300年D．公元前1300年到公元前1200年8．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，若实数a满足f(log2a)＋f(logeq\s\do9(\f(1,2))a)－2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≤0，则a的取值范围是()A．(0，eq\r(2)] B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\r(2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．已知函数f(x)＝a－eq\f(2,2x＋1)，且f(1)＝eq\f(1,3)，则()A．a＝1B．f(x)为非奇非偶函数C．函数f(x)的值域为(－1，1)D．不等式f(3x2－1)＋f(x－3)<0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，1))10．(新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p211．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋1，x≤0，,lgx，x>0，))若存在不相等的实数a，b，c，d满足a<b<c<d且|f(a)|＝|f(b)|＝|f(c)|＝|f(d)|＝k，则下列说法正确的是()A．k∈(0，1]B．a＋b＝－2C．cd＝1D．a＋b＋c＋d的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(61,10)))三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，4)内的实数解时，取中点x1＝3，则下一个有解区间是________．13．设0≤x≤2，则函数y＝4xeq\s\up4(-\f(1,2))－3×2x＋5的值域是____________．14．函数f(x)＝1＋loga(x＋2)(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为________；若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＜eq\f(3,2)，则实数a的取值范围为________．四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分13分)计算下列各式的值：(1)eq\f(1,\r(2)－1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))eq\s\up12(－0.5)＋eq\r(4,（\r(2)－e）4)；(2)lg500＋lgeq\f(8,5)－eq\f(1,2)lg64＋50×(lg2＋lg5)2.16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝(a2－2a－2)ax是指数函数．(1)求f(x)的表达式；(2)判断F(x)＝f(x)＋eq\f(1,f（x）)的奇偶性，并加以证明；(3)解不等式：loga(1＋x)<loga(2－x)．17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(ax2－4x＋3).(1)若a＝1，求不等式f(x)≥1的解集；(2)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(3)若f(x)有最大值3，求a的值．18．(本小题满分17分)某学校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分y(单位：分)与当天锻炼时间x(单位：分钟)的函数关系．满足的条件如下：①函数是区间[0，60]上的增函数；②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；③每天运动时间为10分钟时，当天得分为2分；④每天运动时间为30分钟时，当天得分不超过5分．现有以下四个函数模型供选择：①y＝mx＋n(m>0)；②y＝mlog2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,5)＋2))＋n(m>0)；③y＝mx2＋n(m>0)；④y＝2mx＋n(m>0)．(1)请你根据条件从中选择一个合适的函数模型(不必说明理由)，并求出函数的解析式；(2)若每位学生每天得分不少于5分，求该学生每天至少需要锻炼的时间．(注：eq\r(2)≈1.414，结果精确到1)19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,x＋1)))(a＞0，且a≠1)．(1)判断函数f(x)的奇偶性并说明理由；(2)当0<a<1时，判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并利用单调性的定义证明；(3)是否存在实数a，使得当f(x)的定义域为[m，n]时，值域为[1＋logan，1＋logam]？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．第四章单元质量测评eq\a\vs4\al()时间：120分钟eq\a\vs4\al()满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算2log510＋log50.25＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．2 D．4答案：C解析：原式＝log5102＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝2.故选C.2．函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)与g(x)＝－x＋a的图象大致是()答案：A解析：∵g(x)＝－x＋a是R上的减函数，∴排除C，D；由A，B的图象知，a＞1，∴g(0)＝a＞1.故选A.3．函数f(x)＝eq\f(1,\r(（log2x）2－1))的定义域为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[2，＋∞)答案：C解析：要使函数f(x)有意义，需使(log2x)2－1>0，即(log2x)2>1，∴log2x>1或log2x<－1，解得x>2或0<x<eq\f(1,2).故选C.4．设a＝log2eq\f(1,3)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0.4)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(0.5)，则()A．c<b<a B.a<c<bC．a<b<c D.b<a<c答案：B解析：∵y＝log2x是增函数，∴a＝log2eq\f(1,3)<log21＝0，∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)是减函数，y＝x0.5在(0，＋∞)上是增函数，∴b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0.4)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0.5)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(0.5)＝c>0，∴a<c<b.故选B.5．函数y＝lg(4＋3x－x2)的单调递增区间为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))答案：D解析：由真数大于0，得4＋3x－x2>0，即x2－3x－4<0，解得－1<x<4，所以函数的定义域为(－1，4)．令u＝4＋3x－x2，则y＝lgu．因为u＝4＋3x－x2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(25,4)，且图象的对称轴为直线x＝eq\f(3,2)∈(－1，4)，所以函数u在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))上单调递减．又因为y＝lgu是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以y＝lg(4＋3x－x2)的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2))).故选D.6．(北京高考)生物丰富度指数d＝eq\f(S－1,lnN)是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则()A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1C．Neq\o\al(2,2)＝Neq\o\al(3,1) D．Neq\o\al(3,2)＝Neq\o\al(2,1)答案：D解析：由题意，得eq\f(S－1,lnN1)＝2.1，eq\f(S－1,lnN2)＝3.15，则2.1lnN1＝3.15lnN2，即2lnN1＝3lnN2，所以Neq\o\al(3,2)＝Neq\o\al(2,1).故选D.7．碳14测年法是根据碳14的衰变程度计算出样品的大概年代的一种测量方法.2025年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的66%，已知碳14的半衰期是5730年(即每经过5730年，遗存材料的碳14含量衰减为原来的一半)．以此推算出该文物的大致年代是(参考数据：logeq\r(5730,0.5)10≈－19034.6，logeq\r(5730,0.5)66≈－34634.4)()A．公元前1600年到公元前1500年B．公元前1500年到公元前1400年C．公元前1400年到公元前1300年D．公元前1300年到公元前1200年答案：B解析：设经过了x年，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(x,5730))＝0.66，即(eq\r(5730,0.5))x＝0.66，x＝logeq\s\up-7(5730\r(0.5))0.66＝logeq\s\up-7(5730\r(0.5))66－logeq\s\up-7(5730\r(0.5))100＝logeq\s\up-7(5730\r(0.5))66－2logeq\s\up-7(5730\r(0.5))10≈2×19034.6－34634.4＝3434.8，2025－3434.8＝－1409.8.故选B.8．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，若实数a满足f(log2a)＋f(logeq\s\do9(\f(1,2))a)－2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≤0，则a的取值范围是()A．(0，eq\r(2)] B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\r(2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))答案：C解析：f(log2a)＋f(logeq\s\do9(\f(1,2))a)－2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≤0，即f(log2a)＋f(－log2a)≤2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－log2a)＝f(log2a)，即2f(log2a)≤2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，又f(x)在[0，＋∞)上为增函数，所以|log2a|≤eq\f(1,2)，解得eq\f(\r(2),2)≤a≤eq\r(2).故选C.二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．已知函数f(x)＝a－eq\f(2,2x＋1)，且f(1)＝eq\f(1,3)，则()A．a＝1B．f(x)为非奇非偶函数C．函数f(x)的值域为(－1，1)D．不等式f(3x2－1)＋f(x－3)<0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，1))答案：ACD解析：f(1)＝a－eq\f(2,2＋1)＝eq\f(1,3)，解得a＝1，A正确；f(x)＝1－eq\f(2,2x＋1)＝eq\f(2x－1,2x＋1)，∵f(－x)＝eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝eq\f(1－2x,1＋2x)＝－f(x)，x∈R，∴f(x)为奇函数，B不正确；∵2x>0，∴2x＋1>1，∴0<eq\f(1,2x＋1)<1，－2<eq\f(－2,2x＋1)<0，∴－1<1＋eq\f(－2,2x＋1)<1，C正确；f(x)＝1－eq\f(2,2x＋1)，∵y＝2x＋1是R上的增函数，y＝eq\f(2,2x＋1)是R上的减函数，∴f(x)＝1－eq\f(2,2x＋1)是R上的增函数，∴f(3x2－1)＋f(x－3)<0⇒f(3x2－1)<－f(x－3)＝f(3－x)，∴3x2－1<3－x，∴3x2＋x－4<0，解得－eq\f(4,3)<x<1，D正确．故选ACD.10．(新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2答案：ACD解析：解法一：由题意可知，Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40，对于A，Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p0)－20×lgeq\f(p2,p0)＝20×lgeq\f(p1,p2)，因为Lp1≥Lp2，则Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p2)≥0，即lgeq\f(p1,p2)≥0，所以eq\f(p1,p2)≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确；对于B，Lp2－Lp3＝20×lgeq\f(p2,p0)－20×lgeq\f(p3,p0)＝20×lgeq\f(p2,p3)，因为Lp2－Lp3＝Lp2－40≥10，则20×lgeq\f(p2,p3)≥10，即lgeq\f(p2,p3)≥eq\f(1,2)，所以eq\f(p2,p3)≥eq\r(10)且p2，p3>0，可得p2≥eq\r(10)p3，当且仅当Lp2＝50时，等号成立，故B错误；对于C，因为Lp3＝20×lgeq\f(p3,p0)＝40，即lgeq\f(p3,p0)＝2，可得eq\f(p3,p0)＝100，即p3＝100p0，故C正确；对于D，由选项A可知，Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p2)，且Lp1－Lp2≤90－50＝40，则20×lgeq\f(p1,p2)≤40，即lgeq\f(p1,p2)≤2，可得eq\f(p1,p2)≤100且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD.解法二：因为Lp＝20×lgeq\f(p,p0)随着p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，得p＝p010eq\s\up6(\f(Lp,20))，因为Lp3＝40，所以p3＝p010eq\s\up6(\f(40,20))＝100p0，故C正确；假设p2＞10p3，则p010eq\s\up6(\f(Lp2,20))＞10p010eq\s\up6(\f(Lp3,20))，所以10eq\s\up6(\f(Lp2,20))eq\s\up6(-\f(Lp3,20))＞10，所以Lp2－Lp3＞20，该式不可能成立，故B错误；因为eq\f(100p2,p1)＝eq\f(100p010eq\s\up6(\f(Lp2,20)),p010eq\s\up6(\f(Lp1,20)))＝10eq\s\up6(\f(Lp2,20))eq\s\up6(-\f(Lp1,20))＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD.11．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋1，x≤0，,lgx，x>0，))若存在不相等的实数a，b，c，d满足a<b<c<d且|f(a)|＝|f(b)|＝|f(c)|＝|f(d)|＝k，则下列说法正确的是()A．k∈(0，1]B．a＋b＝－2C．cd＝1D．a＋b＋c＋d的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(61,10)))答案：ACD解析：作出y＝|f(x)|与y＝k的图象如图所示．要想满足|f(a)|＝|f(b)|＝|f(c)|＝|f(d)|＝k，则0<k≤1，故A正确；由对称性可知a＋b＝2×(－2)＝－4，故B错误；令－lgx＝1，解得x＝eq\f(1,10)，所以eq\f(1,10)≤c<1，由－lgc＝lgd，得lgc＋lgd＝0，所以cd＝1，故C正确；a＋b＋c＋d＝c＋d－4＝c＋eq\f(1,c)－4，其中eq\f(1,10)≤c<1，因为c＋eq\f(1,c)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(101,10)))，所以a＋b＋c＋d＝c＋eq\f(1,c)－4∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(61,10)))，所以a＋b＋c＋d的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(61,10)))，故D正确．故选ACD.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，4)内的实数解时，取中点x1＝3，则下一个有解区间是________．答案：(2，3)解析：设f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＜0，f(3)＞0，f(4)＞0，有f(2)f(3)＜0，则下一个有解区间是(2，3)．13．设0≤x≤2，则函数y＝4xeq\s\up4(-\f(1,2))－3×2x＋5的值域是____________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2)))解析：y＝4eq\s\up6(x－\f(1,2))－3×2x＋5＝eq\f(1,2)×(2x)2－3×2x＋5.令t＝2x，因为0≤x≤2，所以1≤t≤4，于是y＝eq\f(1,2)t2－3t＋5＝eq\f(1,2)(t－3)2＋eq\f(1,2)，1≤t≤4.当t＝3时，ymin＝eq\f(1,2)；当t＝1时，ymax＝eq\f(1,2)×(1－3)2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).故函数y＝4eq\s\up6(x－\f(1,2))－3×2x＋5(0≤x≤2)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2))).14．函数f(x)＝1＋loga(x＋2)(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为________；若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＜eq\f(3,2)，则实数a的取值范围为________．答案：(－1，1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))∪(1，＋∞)解析：函数f(x)＝1＋loga(x＋2)(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，令x＋2＝1，得x＝－1，f(－1)＝1，可得图象经过定点(－1，1)．若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＜eq\f(3,2)，则1＋logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＋2))＜eq\f(3,2)，即logaeq\f(1,2)＜eq\f(1,2)，当0＜a＜1时，函数f(x)为减函数，所以eq\r(a)＜eq\f(1,2)，解得0＜a＜eq\f(1,4)；当a＞1时，函数f(x)为增函数，所以eq\r(a)＞eq\f(1,2)，解得a＞eq\f(1,4)，又a＞1，所以a＞1.综上，实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))∪(1，＋∞)．四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分13分)计算下列各式的值：(1)eq\f(1,\r(2)－1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))eq\s\up12(－0.5)＋eq\r(4,（\r(2)－e）4)；(2)lg500＋lgeq\f(8,5)－eq\f(1,2)lg64＋50×(lg2＋lg5)2.解：(1)原式＝eq\r(2)＋1－1＋eq\f(2,3)＋e－eq\r(2)＝eq\f(2,3)＋e.(2)原式＝lg5＋lg102＋lg23－lg5－eq\f(1,2)lg26＋50×(lg10)2＝lg5＋2＋3lg2－lg5－3lg2＋50＝52.16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝(a2－2a－2)ax是指数函数．(1)求f(x)的表达式；(2)判断F(x)＝f(x)＋eq\f(1,f（x）)的奇偶性，并加以证明；(3)解不等式：loga(1＋x)<loga(2－x)．解：(1)由a2－2a－2＝1，可得a＝3或a＝－1(舍去)，∴f(x)＝3x.(2)F(x)是偶函数．证明如下：∵F(x)＝f(x)＋eq\f(1,f（x）)＝3x＋3－x，其定义域为R，又F(－x)＝3－x＋3x＝F(x)，∴F(x)是偶函数．(3)不等式loga(1＋x)<loga(2－x)，即log3(1＋x)<log3(2－x)．可化为0<1＋x<2－x，∴－1<x<eq\f(1,2)，即不等式loga(1＋x)<loga(2－x)的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1＜x＜\f(1,2))))).17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(ax2－4x＋3).(1)若a＝1，求不等式f(x)≥1的解集；(2)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(3)若f(x)有最大值3，求a的值．解：(1)当a＝1时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x2－4x＋3)，由f(x)≥1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x2－4x＋3)≥1，得x2－4x＋3≤0，解得1≤x≤3，所以不等式f(x)≥1的解集为[1，3]．(2)当a＝－1时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－x2－4x＋3)，令g(x)＝－x2－4x＋3，因为g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(3)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(g（x）)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))＝\f(3a－4,a)＝－1，))解得a＝1，即f(x)有最大值3时，a的值为1.18．(本小题满分17分)某学校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分y(单位：分)与当天锻炼时间x(单位：分钟)的函数关系．满足的条件如下：①函数是区间[0，60]上的增函数；②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；③每天运动时间为10分钟时，当天得分为2分；④每天运动时间为30分钟时，当天得分不超过5分．现有以下四个函数模型供选择：①y＝mx＋n(m>0)；②y＝mlog2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,5)＋2))＋n(m>0)；③y＝mx2＋n(m>0)；④y＝2mx＋n(m>0)．(1)请你根据条件从中选择一个合适的函数模型(不必说明理由)，并求出函数的解析式；(2)若每位学生每天得分不少于5分，求该学生每天至少需要锻炼的时间．(注：eq\r(2)≈1.414，结果精确到1)解：(1)选择模型②，由函数图象过点(0，0)，(10，2)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mlog22＋n＝0，,mlog2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,5)＋2))＋n＝2，))解得m＝2，n＝－2，此时函数的解析式为y＝2log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,5)＋2))－2，当x＝30时，y＝2log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(30,5)＋2))－2＝4，符合题意，所以函数的解析式为y＝2log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,5)＋2))－2.(2)由(1)知y＝2log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,5)＋2))－2，由每位学生每天得分不少于5分，得2lo