中考数学难题突破之分式方程

2027年中考数学复习难题速递之分式方程（2026年7月）一．选择题（共6小题）1．方程3x-3=5A．x＝﹣6 B．x＝﹣4 C．x＝﹣1 D．x＝62．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做10个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设乙每小时做x个零件，下列方程正确的是（）A．120x=150x-10 C．120x-10=150x3．清明节期间，小明和小新约好同时出发到中山公园踏青，小明家、小新家到中山公园的距离分别是4千米和10千米，小明步行前往，小新则骑免费单车，已知小新骑车的速度是小明步行速度的4倍，结果小新提前15分钟到达．若设小明步行速度为x千米/小时，则根据题意可列方程为（）A．4x=104x+C．104x-4x4．某班同学从学校出发去烈士陵园扫墓，全程8km，一部分同学骑自行车先行，10分钟后，其余同学乘汽车出发．已知汽车的速度是自行车的3倍，汽车早10分钟到达．小由由已知信息列出方程8x-83x=A．骑自行车的速度 B．汽车的速度 C．骑自行车到达所需的时间 D．汽车到达所需的时间5．2025年5月木杆秤制作技艺入选嘉兴市非物质文化遗产代表性项目名录．为弘扬优秀传统文化，现需制作一批木杆秤，师傅单独完成比徒弟单独完成少用5天，师徒一起制作6天就能完成．设师傅单独完成需要x天，则下列方程正确的是（）A．1x-1x+5=C．6x-6x+46．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，一年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550mg所需的国槐树叶的片数相同．设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为xmg，则可列方程为（）A．1000x=5502x-4 C．1000x=5502x+4二．填空题（共2小题）7．若关于x的不等式组x+23≤24x＞a-x至少有4个整数解，且关于y的分式方程y+ay-3=1-2y3-y8．已知关于x的方程2x+3x-1=m1-x+1的解是正数，则m的取值范围为三．解答题（共12小题）9．下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成题目．某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．方法分析问题列出方程解法一设…等量关系：甲商品数量＝乙商品数量2000x解法二设…等量关系：甲商品进价﹣乙商品进价＝202000x（1）解法一所列方程中的x表示，解法二所列方程中的x表示．（填序号）①甲种商品每件的进价；②乙种商品每件的进价；③购进甲种商品的数量．（2）根据以上解法可求出甲种商品的进价为元/件，乙种商品的进价为元/件．（3）若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1420元的资金购进甲、乙两种商品共40件，若购进的甲、乙两种商品全部售出，请求出该商店获得最大的利润W．（利润＝售价﹣进价）10．亚洲体操锦标赛于2026年6月18日在贵州遵义举行，“红色旅游+体育赛事”为黔北地区旅游产业发展带来了机遇．某旅游公司计划购进A，B两种以“遵义会议”为主题的纪念品赠送给游客．已知A种物品的单价比B种物品的单价多20元，用1200元采购A种物品的数量与用800元采购B种物品的数量相同．（1）求A，B两种物品的单价各是多少元？（2）该公司计划购进这两种物品共700个，当购买A种物品的费用不超过购买B种物品费用的2倍时，A种物品最多能购进多少个？11．随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如图的宣传，根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量．12．英德市是“中国红茶之乡”，某茶厂包装英红九号茶叶，A种机器每分钟比B种机器多包装10盒；A种机器包装300盒的时间与B种机器包装200盒的时间相同．在计算A、B两种机器每分钟各包装多少盒时，嘉嘉和琪琪分别给出部分解答过程：嘉嘉：列出方程300x琪琪：解：设B种机器每分钟包装y盒，则A种机器每分钟包装盒，列得方程．请完成下列问题：（1）根据嘉嘉所列方程，x的实际意义是；（2）补充琪琪的解题过程，并按琪琪的思路求出两种机器每分钟各包装多少盒．13．下面是同学们在了解家乡长治市太行山大峡谷景区后，结合一次研学旅行编写的数学情境题，请你完成相应任务．【情境引入】太行山大峡谷是长治市著名的5A级景区，峡谷内溪流清澈，乘船游览是深受游客喜爱的体验项目．【问题解决】周末，小潞和同学在太行山大峡谷的溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上前往B景点，行进速度约为4km/h．到达景点后沿原路顺流返回，行进速度比去时增加了50%，回到A码头比去时少花了20min．任务：（1）设A、B两地之间的路程为xkm，根据题意填写下表（单位：km/h，h）：行程速度时间去程（逆流）4①回程（顺流）②③（2）求A、B两地之间的路程（写出完整的解题过程）．14．盐田拥有许多唯美静谧的宝藏图书馆，其中“灯塔图书馆”直接将诗与远方搬到海边，“栖息图书馆”将湖光山色融入浪漫诗意，因此这些宝藏图书馆的文创产品也十分受欢迎．某商店准备采购“灯塔图书馆”钥匙扣与“栖息图书馆”冰箱贴进行销售．已知1个“灯塔图书馆”钥匙扣和1个“栖息图书馆”冰箱贴的进价之和为40元，用1200元购进的“灯塔图书馆”钥匙扣的数量与用2000元购进的“栖息图书馆”冰箱贴的数量相同．（1）分别求出“灯塔图书馆”钥匙扣和“栖息图书馆”冰箱贴的进货单价；（2）该商店打算购进“灯塔图书馆”钥匙扣与“栖息图书馆”冰箱贴共150个，总费用不超过3000元，那么商店至少要购入多少个钥匙扣？15．低空经济是国家“十五五”规划重点布局的战略性新兴产业，某外卖平台启用无人机开展配送测试，市民小李在公园露营时，通过手机在该平台下单．一架无人机接收指令后从商家起飞执行配送任务，原本传统方式配送需行驶5km行程，经无人机配送缩短至3km，配送时间也较传统方式节省10min．已知无人机的配送速度是传统方式的配送速度的3倍．（1）求无人机的配送速度（单位：km/h）．（2）若该平台计划一天配送总里程为60km，采用无人机配送，要求配送总时间不超过32h．若每次配送时无人机的速度不变，且中途降落休整时每次额外耗时5min16．【文化背景】“中国有礼仪之大，故称夏；有服章之美，谓之华．”华夏衣冠承载着千年的文明密码与审美意趣．在2026年央视春晚上，创意节目《贺花神》以其如诗如画的意境，考究复原的汉服形制，惊艳了全国观众．【数学问题】某非遗汉服工坊有甲、乙两个团队加工同一款马面裙，已知甲团队比乙团队每天多加工1件，且甲团队加工30件的工作天数是乙团队加工12件的工作天数的2倍．（1）分别求甲、乙两个团队每天加工马面裙的件数；（2）现有一份加工60件马面裙的订单，该工坊计划完成该订单的总工作时长不超过14天（总工时为两队各自工作天数的最大值，两队可不同时开工，工作天数均为正整数），请求出所有符合条件的工作安排方案．17．某中学为落实教育部办公厅发布的《关于进一步加强中小学生体质管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知一个篮球的价格比一个足球的价格多30元，花1800元购买的篮球个数和花1350元购买的足球个数相同．（1）一个篮球和一个足球的价格分别是多少元？（2）学校计划采购篮球、足球共30个，且总费用不超过3200元，那么篮球最多能采购多少个？18．2026年6月5日是第55个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区升级改造现有照明系统，决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域．甲种路灯单价比乙种单价少100元，用15000元购买甲种路灯的数量与用20000元购买乙种的数量相等．（1）求甲、乙两种路灯的单价；（2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的1319．小慧购买学习用品的清单如表，因污损导致部分数据无法识别，根据表格，解决下列问题：学习用品中性笔自动铅笔记号笔笔记本圆规合计单价4.5513.5数量1110金额64.51557（1）小慧记得记号笔的单价是中性笔的2倍，请问中性笔、记号笔的单价分别是多少？（2）若小慧再次购买笔记本和中性笔两种文具，共花费33元，则有哪几种不同购买方案？20．水晶糕是我市特色美食，游客常选．水晶糕店有A，B两款水晶糕，其中A款每杯售价比B款每杯售价多2元，花费80元购得A款水晶糕的杯数与花费60元购得B款水晶糕的杯数相同．（1）求A，B两款水晶糕的每杯售价．（2）一个旅行团中，有男游客5人，女游客40人．每位游客都从A，B两款水晶糕中选购一杯（每人只买一杯），则全团购买A款水晶糕的费用是购买B款水晶糕的费用的2倍，求这一个旅行团中，购买A款水晶糕的总杯数．分析：为厘清数量关系，可用列表法．设这一旅游团中，男游客购买了A款水晶糕x杯，女游客购买了A款水晶糕y杯，请填写下表：A款B款杯数购买费用杯数购买费用男游客x5﹣x女游客y40﹣y根据上表，列出方程，解答（2）问．（3）下一个旅行团每人也购买一杯水晶糕，其中男游客购买两款水晶糕的总费用是106元，女游客购买两款水晶糕的总费用是136元．已知该旅行团中，女游客购买A，B两款水晶糕的杯数，均多于男游客，问：该团中，女游客购买B款水晶糕的杯数比男游客购买B款水晶糕的杯数多几杯？

2027年中考数学复习难题速递之分式方程（2026年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）题号123456答案ACAADB一．选择题（共6小题）1．方程3x-3=5A．x＝﹣6 B．x＝﹣4 C．x＝﹣1 D．x＝6【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】A【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：12x+27＝5x﹣15，解得：x＝﹣6，检验：把x＝﹣6代入得：（x﹣3）（4x+9）≠0，∴x＝﹣6是分式方程的解．故选：A．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．2．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做10个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设乙每小时做x个零件，下列方程正确的是（）A．120x=150x-10 C．120x-10=150x【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；应用意识．【答案】C【分析】设乙每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可．【解答】解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做（x﹣10）个零件，则120x-10故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．3．清明节期间，小明和小新约好同时出发到中山公园踏青，小明家、小新家到中山公园的距离分别是4千米和10千米，小明步行前往，小新则骑免费单车，已知小新骑车的速度是小明步行速度的4倍，结果小新提前15分钟到达．若设小明步行速度为x千米/小时，则根据题意可列方程为（）A．4x=104x+C．104x-4x【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】A【分析】设小明步行速度为x千米/小时，则小新骑车的速度为4x千米/小时，根据小新提前15分钟到达、以及时间＝路程÷速度列出方程即可．【解答】解：由题意可列方程为4x故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意是关键．4．某班同学从学校出发去烈士陵园扫墓，全程8km，一部分同学骑自行车先行，10分钟后，其余同学乘汽车出发．已知汽车的速度是自行车的3倍，汽车早10分钟到达．小由由已知信息列出方程8x-83x=A．骑自行车的速度 B．汽车的速度 C．骑自行车到达所需的时间 D．汽车到达所需的时间【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；应用意识．【答案】A【分析】根据时间＝路程÷速度即可得出答案．【解答】解：由方程可知x表示的是骑自行车的速度．故选：A．【点评】本题考查从实际问题中抽象出分式方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．5．2025年5月木杆秤制作技艺入选嘉兴市非物质文化遗产代表性项目名录．为弘扬优秀传统文化，现需制作一批木杆秤，师傅单独完成比徒弟单独完成少用5天，师徒一起制作6天就能完成．设师傅单独完成需要x天，则下列方程正确的是（）A．1x-1x+5=C．6x-6x+4【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】D【分析】将总工作量看作单位1，先根据题意表示出师傅和徒弟的工作效率，再根据合作的效率和关系列方程即可．【解答】解：根据题意可列方程得1x故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意是关键．6．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，一年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550mg所需的国槐树叶的片数相同．设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为xmg，则可列方程为（）A．1000x=5502x-4 C．1000x=5502x+4【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；应用意识．【答案】B【分析】解题思路是先根据题意表示出一片银杏树叶的平均滞尘量，再根据“片数＝总滞尘量÷单片滞尘量”，结合两种树叶的片数相等列出方程．【解答】解：∵设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为xmg，一片银杏树叶一年的平均滞尘量比国槐的2倍少4mg，∴一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（2x﹣4）mg．∵一年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数为10002x-4，一年滞尘550mg所需的国槐树叶的片数为550∴可列方程：10002x-4故选：B．【点评】本题考查列分式方程解决实际问题，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程．二．填空题（共2小题）7．若关于x的不等式组x+23≤24x＞a-x至少有4个整数解，且关于y的分式方程y+ay-3=1-2y【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】﹣3．【分析】先解一元一次不等式组，根据至少有4个整数解确定a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解筛选出符合条件的整数a，即可求解．【解答】解：若关于x的不等式组x+23≤24x＞a-x至少有4x+23解不等式x+23≤2，得x≤解不等式4x＞a﹣x，得x＞因此不等式组的解集为a5∵不等式组至少有4个整数解，∴a5＜1，解得ay+ay-3方程两边同乘（y﹣3）（y≠3），得y+a＝（y﹣3）+2y，整理得2y＝a+3，解得y=a+3∵分式方程有非负整数解，且y≠3，∴a+32≥0，a+32解得a≥﹣3，a≠3，且a为奇数，结合a＜5，a为整数，可得符合条件的整数a为﹣3，﹣1，1，因此所有满足条件的整数a的值之和为﹣3+（﹣1）+1＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查分式方程的解，正确进行计算是解题关键．8．已知关于x的方程2x+3x-1=m1-x+1的解是正数，则m的取值范围为m＜﹣4且m【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】m＜﹣4且m≠﹣5．【分析】先将分式方程化为整式方程，用含m的式子表示x，再根据方程的解为正数且分式有意义，列出不等式求解m的取值范围．【解答】解：2x+3x-1原方程两边同乘最简公分母（x﹣1）得2x+3＝﹣m+（x﹣1），移项合并同类项，得x＝﹣m﹣4，∵方程的解是正数，且分式方程要有意义，分母不能为0，∴﹣m﹣4＞0且﹣m﹣4﹣1≠0，解得m＜﹣4且m≠﹣5．故答案为：m＜﹣4且m≠﹣5．【点评】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是关键．三．解答题（共12小题）9．下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成题目．某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．方法分析问题列出方程解法一设…等量关系：甲商品数量＝乙商品数量2000x解法二设…等量关系：甲商品进价﹣乙商品进价＝202000x（1）解法一所列方程中的x表示①，解法二所列方程中的x表示③．（填序号）①甲种商品每件的进价；②乙种商品每件的进价；③购进甲种商品的数量．（2）根据以上解法可求出甲种商品的进价为50元/件，乙种商品的进价为30元/件．（3）若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1420元的资金购进甲、乙两种商品共40件，若购进的甲、乙两种商品全部售出，请求出该商店获得最大的利润W．（利润＝售价﹣进价）【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；由实际问题抽象出分式方程．【专题】应用题．【答案】（1）①③；（2）甲种商品进价50元/件，乙种商品进价30元/件；（3）765元．【分析】（1）由题意可知，本题存在两种设未知数的方法．解法一设“单价”为x，利用“数量相等”建等量列方程；解法二设“数量”为x，利用“单价差为20”建等量列方程．核心在于根据未知数的不同设定，找准对应的等量关系；（2）通过解分式方程得到商品进价后，首先利用“资金不超过1420元”这一限制条件列一元一次不等式，解出购买甲商品数量的上限；（3）根据“利润＝单件利润x数量”构建总利润关于甲商品数量的一次函数关系式．依据一次函数y随x增大而增大，在自变量满足不等式取值范围的前提下，取最大值即可求出最大利润．【解答】解：（1）解法一中的方程是2000x等量关系是数量相等，总价÷单价＝数量，所以x表示的是甲种商品每件的进价，应填①，解法二中的方程是2000x等量关系是进价差为20，而单件进价＝总价÷数量，分母同为x，说明甲和乙购进的数量相同，因此这里x表示的是购进甲种商品的数量，应填③，（2）解法一过程：2000x所以：2000（x﹣20）＝1200x，解得：x＝50，检验：当x＝50时，原方程成立，答：甲种商品的进价为50元/件，乙种商品的进价为50﹣20＝30元/件；解法二：由方程2000x所以800x解得：x＝40，检验：当x＝40时，原方程成立，所以购进甲、乙数量均为40件，甲种商品进价＝2000÷40＝50元/件；乙种商品进价＝1200÷40＝30元/件，答：甲种商品进价50元/件，乙种商品进价30元/件；（3）设该商店购进甲种商品a件，则购进乙种商品（40﹣a）件，根据“用不超过1420元的资金购进”列不等式：50a+30（40﹣a）≤1420，解得：a≤11，甲商品为80﹣50＝30（元），乙商品为45﹣30＝15（元），总利润W＝30a+15（40﹣a）＝15a+600，由于15＞0，所以总利润W随着甲商品数量a的增大而增大，要使利润最大，甲商品数量必须取最大值，即a＝11，此时购进乙商品40﹣11＝29件，代入利润表达式：最大利润W＝15×11+600＝765（元）．【点评】本意主要考查了分式方程在解决实际问题中的应用、一元一次不等式以及一次函数最值的求解，准确找出题目中的等量关系列方程，以及利用一次函数的增减性求最值是解题的关键．本题设计非常巧妙，第（1）问通过两种不同的设未知数方法，给学生提供了广阔的思维空间，打破了传统思维定势．第（3）问将方案决策与实际利润挂钩，引导学生将实际问题转化为数学模型并求解，切身体会到数学建模在商业决策中的重要应用价值，有效落实了数学核心素养中的“模型观念”与“应用意识”．10．亚洲体操锦标赛于2026年6月18日在贵州遵义举行，“红色旅游+体育赛事”为黔北地区旅游产业发展带来了机遇．某旅游公司计划购进A，B两种以“遵义会议”为主题的纪念品赠送给游客．已知A种物品的单价比B种物品的单价多20元，用1200元采购A种物品的数量与用800元采购B种物品的数量相同．（1）求A，B两种物品的单价各是多少元？（2）该公司计划购进这两种物品共700个，当购买A种物品的费用不超过购买B种物品费用的2倍时，A种物品最多能购进多少个？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．【答案】（1）A种物品单价为60元，B种物品单价为40元；（2）A种物品最多能购进400个．【分析】（1）设A种物品单价为x元，B种物品单价为（x﹣20）元，列分式方程求解即可；（2）设购买A种物品y个，则购买B种物品（700﹣y）个，根据购买A种物品的费用不超过购买B种物品费用的2倍，列不等式求解．【解答】解：（1）设A种物品单价为x元，则B种物品单价为（x﹣20）元，依题意得：1200x解得：x＝60（经检验，是分式方程的解，且符合题意），∴60﹣20＝40（元），答：A种物品单价为60元，B种物品单价为40元；（2）设购买A种物品y个，则购买B种物品（700﹣y）个，依题意得：60y≤2×40（700﹣y），解得：y≤400，答：A种物品最多能购进400个．【点评】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是找准数量之间的关系，列出分式方程或一元一次不等式．11．随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如图的宣传，根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量．【考点】分式方程的应用．【专题】分式方程及应用；运算能力；应用意识．【答案】新型机器人每天搬运的货物量为90吨．【分析】设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为（x﹣30）吨，根据每台新型机器人搬运900吨货物的时间和每台旧型机器人搬运600吨货物的时间相同，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为（x﹣30）吨，由题意得：900x解得：x＝90，经检验，x＝90是原方程的解，且符合题意，答：新型机器人每天搬运的货物量为90吨．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．12．英德市是“中国红茶之乡”，某茶厂包装英红九号茶叶，A种机器每分钟比B种机器多包装10盒；A种机器包装300盒的时间与B种机器包装200盒的时间相同．在计算A、B两种机器每分钟各包装多少盒时，嘉嘉和琪琪分别给出部分解答过程：嘉嘉：列出方程300x琪琪：解：设B种机器每分钟包装y盒，则A种机器每分钟包装（y+10）盒，列得方程300y+10=200请完成下列问题：（1）根据嘉嘉所列方程，x的实际意义是A种机器包装300盒用时x分钟或B种机器包装200盒用时x分钟；；（2）补充琪琪的解题过程，并按琪琪的思路求出两种机器每分钟各包装多少盒．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】（1）A种机器包装300盒用时x分钟或B种机器包装200盒用时x分钟；（2）（y+10），300y+10=200y，A种机器每分钟包装30盒，【分析】（1）根据嘉嘉所列方程，x的实际意义是A种机器包装300盒用时x分钟或B种机器包装200盒用时x分钟；（2）设B种机器每分钟包装y盒，则A机器每分钟包装（y+10）盒，由题意得ÁеÃ⋅½【解答】解：（1）x的实际意义是A种机器包装300盒用时x分钟或B种机器包装200盒用时x分钟，故答案为：A种机器包装300盒用时x分钟或B种机器包装200盒用时x分钟；（2）设B种机器每分钟包装y盒，则A机器每分钟包装（y+10）盒，根据题意可得：300y+10解得：y＝20，经检验：y＝20是原分式方程的解，且符合实际，y+10＝20+10＝30，故答案为：（y+10），300y+10【点评】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键．13．下面是同学们在了解家乡长治市太行山大峡谷景区后，结合一次研学旅行编写的数学情境题，请你完成相应任务．【情境引入】太行山大峡谷是长治市著名的5A级景区，峡谷内溪流清澈，乘船游览是深受游客喜爱的体验项目．【问题解决】周末，小潞和同学在太行山大峡谷的溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上前往B景点，行进速度约为4km/h．到达景点后沿原路顺流返回，行进速度比去时增加了50%，回到A码头比去时少花了20min．任务：（1）设A、B两地之间的路程为xkm，根据题意填写下表（单位：km/h，h）：行程速度时间去程（逆流）4①x4回程（顺流）②6③x6（2）求A、B两地之间的路程（写出完整的解题过程）．【考点】分式方程的应用；列代数式．【专题】分式方程及应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）x4，6，x（2）A、B两地之间的路程为4km．【分析】（1）根据题意分别列出代数式即可；（2）设A、B两地之间的路程为xkm，根据回到A码头比去时少花了20min，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：（1）根据题意得：逆流所用的时间为x4顺流返回的速度为4×（1+50%）＝6（km/h），所用的时间为x6故答案为：x4，6，x（2）设A、B两地之间的路程为xkm，根据题意得：x4解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意，答：A、B两地之间的路程为4km．【点评】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．14．盐田拥有许多唯美静谧的宝藏图书馆，其中“灯塔图书馆”直接将诗与远方搬到海边，“栖息图书馆”将湖光山色融入浪漫诗意，因此这些宝藏图书馆的文创产品也十分受欢迎．某商店准备采购“灯塔图书馆”钥匙扣与“栖息图书馆”冰箱贴进行销售．已知1个“灯塔图书馆”钥匙扣和1个“栖息图书馆”冰箱贴的进价之和为40元，用1200元购进的“灯塔图书馆”钥匙扣的数量与用2000元购进的“栖息图书馆”冰箱贴的数量相同．（1）分别求出“灯塔图书馆”钥匙扣和“栖息图书馆”冰箱贴的进货单价；（2）该商店打算购进“灯塔图书馆”钥匙扣与“栖息图书馆”冰箱贴共150个，总费用不超过3000元，那么商店至少要购入多少个钥匙扣？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）“灯塔图书馆”钥匙扣的进货单价是15元，“栖息图书馆”冰箱贴的进货单价是25元；（2）商店至少要购入75个钥匙扣．【分析】（1）“灯塔图书馆”钥匙扣的进货单价是x元，则“栖息图书馆”冰箱贴的进货单价是（40﹣x）元，根据用1200元购进的“灯塔图书馆”钥匙扣的数量与用2000元购进的“栖息图书馆”冰箱贴的数量相同，列出分式方程，解方程即可；（2）设商店要购入m个钥匙扣，则购入（150﹣m）个“栖息图书馆”冰箱贴，根据总费用不超过3000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）“灯塔图书馆”钥匙扣的进货单价是x元，则“栖息图书馆”冰箱贴的进货单价是（40﹣x）元，由题意得：1200x解得：x＝15，经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，∴40﹣x＝25，答：“灯塔图书馆”钥匙扣的进货单价是15元，“栖息图书馆”冰箱贴的进货单价是25元；（2）设商店要购入m个钥匙扣，则购入（150﹣m）个“栖息图书馆”冰箱贴，由题意得：15m+25（150﹣m）≤3000，解得：m≥75，答：商店至少要购入75个钥匙扣．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式．15．低空经济是国家“十五五”规划重点布局的战略性新兴产业，某外卖平台启用无人机开展配送测试，市民小李在公园露营时，通过手机在该平台下单．一架无人机接收指令后从商家起飞执行配送任务，原本传统方式配送需行驶5km行程，经无人机配送缩短至3km，配送时间也较传统方式节省10min．已知无人机的配送速度是传统方式的配送速度的3倍．（1）求无人机的配送速度（单位：km/h）．（2）若该平台计划一天配送总里程为60km，采用无人机配送，要求配送总时间不超过32h．若每次配送时无人机的速度不变，且中途降落休整时每次额外耗时5min【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．【答案】（1）无人机的配送速度为72km/h；（2）最多可以降落休整8次．【分析】（1）设传统方式的配送速度为xkm/h，则无人机的配送速度为3xkm/h，利用时间＝路程÷速度，结合无人机配送时间比传统方式节省10min，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值，再将其代入3x中，即可求出结论；（2）设可以降落休整y次，利用配送总时间＝配送总里程÷无人机的配送速度+每次降落休整耗时×降落休整次数，结合配送总时间不超过32h，可列出关于y【解答】解：（1）设传统方式的配送速度为xkm/h，则无人机的配送速度为3xkm/h，根据题意得：5x解得：x＝24，经检验，x＝24是所列方程的解，且符合题意，∴3x＝3×24＝72（km/h）．答：无人机的配送速度为72km/h；（2）设可以降落休整y次，根据题意得：6072解得：y≤8，∴y的最大值为8．答：最多可以降落休整8次．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．16．【文化背景】“中国有礼仪之大，故称夏；有服章之美，谓之华．”华夏衣冠承载着千年的文明密码与审美意趣．在2026年央视春晚上，创意节目《贺花神》以其如诗如画的意境，考究复原的汉服形制，惊艳了全国观众．【数学问题】某非遗汉服工坊有甲、乙两个团队加工同一款马面裙，已知甲团队比乙团队每天多加工1件，且甲团队加工30件的工作天数是乙团队加工12件的工作天数的2倍．（1）分别求甲、乙两个团队每天加工马面裙的件数；（2）现有一份加工60件马面裙的订单，该工坊计划完成该订单的总工作时长不超过14天（总工时为两队各自工作天数的最大值，两队可不同时开工，工作天数均为正整数），请求出所有符合条件的工作安排方案．【考点】分式方程的应用．【专题】分式方程及应用；应用意识．【答案】（1）甲团队每天加工5件马面裙，乙团队每天加工4件马面裙；（2）共有2种工作安排方案，方案1：甲团队工作4天，乙团队工作10天；方案2：甲团队工作8天，乙团队工作5天．【分析】（1）设甲团队每天加工x件马面裙，则乙团队每天加工（x﹣1）件马面裙，根据甲团队加工30件的工作天数是乙团队加工12件的工作天数的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即甲团队每天加工马面裙的件数），再将其代入（x﹣1）中，即可求出乙团队每天加工马面裙的件数；（2）设甲团队工作y天，则乙团队工作（15-54y）天，根据两数均为正整数且两数均不超过14，可得出【解答】解：（1）设甲团队每天加工x件马面裙，则乙团队每天加工（x﹣1）件马面裙，根据题意得：30x=解得：x＝5，经检验，x＝5是所列方程的解，且符合题意，∴x﹣1＝5﹣1＝4（件）．答：甲团队每天加工5件马面裙，乙团队每天加工4件马面裙；（2）设甲团队工作y天，则乙团队工作60-5y4=（15-∵y，（15-54y）均为正整数，且y≤14，15-54∴y可以为4，8，∴共有2种工作安排方案，方案1：甲团队工作4天，乙团队工作10天；方案2：甲团队工作8天，乙团队工作5天．【点评】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．17．某中学为落实教育部办公厅发布的《关于进一步加强中小学生体质管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知一个篮球的价格比一个足球的价格多30元，花1800元购买的篮球个数和花1350元购买的足球个数相同．（1）一个篮球和一个足球的价格分别是多少元？（2）学校计划采购篮球、足球共30个，且总费用不超过3200元，那么篮球最多能采购多少个？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．【答案】（1）一个篮球的价格是120元，一个足球的价格是90元；（2）篮球最多能采购16个．【分析】（1）设一个篮球的价格是x元，则一个足球的价格是（x﹣30）元，利用数量＝总价÷单价，结合花1800元购买的篮球个数和花1350元购买的足球个数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即一个篮球的价格），再将其代入（x﹣30）中，即可求出一个足球的价格；（2）设采购m个篮球，则采购（30﹣m）个足球，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3200元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．【解答】解：（1）设一个篮球的价格是x元，则一个足球的价格是（x﹣30）元，根据题意得：1800x解得：x＝120，经检验，x＝120是所列方程的解，且符合题意，∴x﹣30＝120﹣30＝90（元）．答：一个篮球的价格是120元，一个足球的价格是90元；（2）设采购m个篮球，则采购（30﹣m）个足球，根据题意得：120m+90（30﹣m）≤3200，解得：m≤50又∵m为整数，∴m的最大值为16．答：篮球最多能采购16个．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．18．2026年6月5日是第55个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区升级改造现有照明系统，决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域．甲种路灯单价比乙种单价少100元，用15000元购买甲种路灯的数量与用20000元购买乙种的数量相等．（1）求甲、乙两种路灯的单价；（2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的13【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．【答案】（1）甲种路灯的单价为300元，乙种路灯的单价为400元；（2）当购买甲种路灯10盏，乙种路灯30盏时，所需费用最少，最少费用是15000元．【分析】（1）设甲种路灯的单价为x元，则乙种路灯的单价为（x+100）元，利用数量＝总价÷单价，结合用15000元购买甲种路灯的数量与用20000元购买乙种的数量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即甲种路灯的单价），再将其代入（x+100）中，即可求出乙种路灯的单价；（2）设购买甲种路灯m盏，则购买乙种路灯（40﹣m）盏，所需费用为w元，利用总价＝单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，由甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的13，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m【解答】解：（1）设甲种路灯的单价为x元，则乙种路灯的单价为（x+100）元，根据题意得：15000x解得：x＝300，经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意，∴x+100＝300+100＝400（元）．答：甲种路灯的单价为300元，乙种路灯的单价为400元；（2）设购买甲种路灯m盏，则购买乙种路灯（40﹣m）盏，所需费用为w元，根据题意得：w＝300m+400（40﹣m）＝﹣100m+16000，∵m≤13（40﹣解得：m≤10，∵﹣100＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝10时，w取得最小值，最小值为﹣100×10+16000＝15000，此时40﹣m＝40﹣10＝30．答：当购买甲种路灯10盏，乙种路灯30盏时，所需费用最少，最少费用是15000元．【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．19．小慧购买学习用品的清单如表，因污损导致部分数据无法识别，根据表格，解决下列问题：学习用品中性笔自动铅笔记号笔笔记本圆规合计单价4.5513.5数量1110金额64.51557（1）小慧记得记号笔的单价是中性笔的2倍，请问中性笔、记号笔的单价分别是多少？（2）若小慧再次购买笔记本和中性笔两种文具，共花费33元，则有哪几种不同购买方案？【考点】分式方程的应用；二元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；应用意识．【答案】（1）中性笔的单价是3元/支，记号笔的单价是6元/支；（2）共有2种不同购买方案，方案1：购买3本笔记本，6支中性笔；方案2：购买6本笔记本，1支中性笔．【分析】（1）设中性笔的单价是x元/支，则记号笔的单价是2x元/支，利用数量＝总价÷单价，结合合计数量是10，可列出关于x的分式方程，解之经检