人教A版高一数学秋季培优班 第20讲 函数 y=A sin(ωx+φ)及三角函数应用（总部定稿版）（教师版）

第20讲函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数应用目录题型01由图象求三角函数解析式题型02三角函数图象变换题型03图象变换前后的解析式题型04由图象变换研究函数性质题型05三角函数图象与性质综合题型06三角函数模型的物理与实际应用题型07三角函数的圆周与几何模型强化训练（共12题）知识小测（共5题）知识解读函数y＝Asin(ωx＋φ)知识点01用五点法作函数的图象用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．知识点02函数中有关概念表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相．知识点03由得图象通过变换得到的图象1、振幅变换：，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅．2、周期变换：函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期．3、相位变换：函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）．4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径三角函数的应用知识点04函数(,)中,各参数的物理意义振幅它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离周期它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间频率它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数相位时的相位称为初相知识点05三角函数模型的应用1.三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．2.三角函数模型应用的步骤（1）建模问题步骤：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．（1）建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式．3.三角函数应用题的三种模式（1）给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题．（2）给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题．（3）整理一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题．题型精讲题型1由图象求三角函数解析式【典例1】已知函数（其中）的部分图象如图所示，点是函数图象与轴的交点，点是函数图象的最高点，且是边长为2的正三角形，，则的解析式可以是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】过点作轴的垂线，垂足为，则为的中点，是边长为2的正三角形，，，，，，，又，，解得，，将点代入得，，，，，.故选：A.题型点播确定函数（）的解析式的步骤（1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，．（2）求，确定函数的周期，则．（3）求，常用方法有①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．【变式1】函数.的部分图象如图所示，则下列结论正确的个数是（

）①函数的图象关于点对称：②函数的解析式可以为③函数在上的值域为；④若将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，则所得函数的解析式为是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】由已知，．∴，，又，∴，∴．，①错；又，②正确；时，，因此，③错误；若将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，再向右平移个单位，则所得函数的解析式为是，④错，所以正确的只有一个，故选：A．题型2三角函数图象变换【典例1】将函数的图象向右平移个单位长度，再将其横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（

）.A．. B．. C．. D．.【答案】D【详解】原函数向右平移个单位后，得到：，将横坐标伸长到原来的2倍，即替换为，得，根据题意，，因此：(为整数），系数匹配：，常数项匹配：，代入，得：，由于，当时，，满足条件，，故选：.题型点播（1）越大，函数图象的最大值越大，最大值与是正比例关系．（2）越大，函数图象的周期越小，越小，周期越大，周期与为反比例关系．（3）大于0时，函数图象向左平移，小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．【典例2】要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（

）A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度【答案】B【详解】由可得，把曲线的上的点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，则可得到的图象，再将该图象向右平移个单位，则可得的图象，故B正确.故选：B.【变式1】要得到函数的图象，只需要将函数的图象（

）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位【答案】C【详解】将向右平移个单位得到.故选：C.题型3图象变换前后的解析式【典例1】已知函数，将的图象向左平移（）个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得，所以，因为与的图象关于轴对称，所以，即，所以，解得，又由可得的最小值为，故选：A题型点播常规法主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换自变量x，如果x的系数不是1，那么需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向．【变式1】已知直线和是图象的两条相邻的对称轴(1)求的解析式；(2)将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知得函数的最小正周期，所以，

又因为，所以，，即，，因为，所以，所以.（2）将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，所以，因为，所以，因为在区间上恰有两个零点，所以，解得，所以的取值范围为.题型4由图象变换研究函数性质【典例1】将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（

）A．图象关于直线对称B．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为C．的一个单调递增区间为D．图象关于点成中心对称【答案】B【详解】因为，所以向右移个单位得函数解析式为，又图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，所以，对于A，因为，所以直线不是图象的对称轴，故A错误；对于B，因为，所以由函数图象性质可知曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为，故B正确；对于C，令，所以当时的单调递增区间为，故C错误；对于D，因为，所以直线不是图像的对称中心，故D错误.故选：B.题型点播求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：①利用公式求周期；②根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；③根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数或的单调区间．【变式1】已知函数（其中，）的图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，求函数的单调递增区间.【答案】(1)(2)【详解】（1）由图象可得，，故，所以，则，所以，或故，或则，或，又，所以，或（舍去）所以，（2）由题意可知，，由，可得，故的单调递增区间.题型5三角函数图象与性质综合【典例1】将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，可得，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，因为，周期，函数在上没有零点，则，所以，因为，所以，又在上没有零点，所以，解得，，又因为，所以当，，，，所以或.故选：B题型点播研究函数性质的基本策略（1）借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数．（2）整体思想：研究当时的函数的值域时，应将看作一个整体，利用求出的范围，再结合的图象求值域．【变式1】已知函数的图像相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右移个单位，所得函数为奇函数.(1)求的解析式；(2)若函数的零点为，求；(3)若对任意，有解，求的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3).【详解】(1)因为相邻对称轴之间的距离是，所以，，，解得，，将的图像向右移个单位，可得函数，因为函数为奇函数，所以，，因为，所以，，(2)因为函数的零点为，所以，，因为，所以，(3)令，有解即有解，因为，所以，，因为，所以当时，，因为有解，所以的取值范围为.题型6三角函数模型的物理与实际应用【典例1】将漏斗挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放纸板，纸板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移（纵坐标）随时间（横坐标）变化的情况．如图①，已知一根长为的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）的函数关系是（图②），其中，则估计线的长度应当是（精确到）（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】由，得．由函数的图象可知函数的周期为0.4s，所以，即．故选：C．题型点播（1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．（2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．【典例2】如图，在某个位置A处测得一旗杆ED的仰角为，对着旗杆在平行地面上前进60米到达点B，测得旗杆ED的仰角为原来的2倍.继续在平行地面上前进a米到达点C，测得旗杆ED的仰角为原来的4倍，其中A，B，C，D四点共线.若旗杆ED的高度为30米，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，在直角三角形EBD中，，，所以，在三角形EBC中，由余弦定理得，，解得.故选：B.题型7三角函数的圆周与几何模型【典例1】如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心O到水面的距离为1m，筒车的半径是3m，盛水筒的初始位置为，与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，t为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：min），则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】设盛水桶在转动过程中到水面的距离为，时间为.则旋转角度为先建立坐标系，令转轮中心为坐标原点，水平向右为轴正方向、竖直向上为轴正方向.由题意可得：是关于的周期函数，盛水桶到水面的距离与时间的函数关系为：.令，解得：，即盛水筒第一次到达入水点所需的时间满足，且则，，故选项A、C错误；又因为，所以，故选项D正确；又因为所以，故选项B错误.故选：D.【典例2】为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】如图所示：．连接，设，作，，垂足分别为，由四边形是平行四边形，可知为矩形，又，则，，，于是，．因此四边形的面积也为四边形的面积，即有，而，则当时，，所以.故选：D【变式1】如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形.记.(1)用分别表示的长度：(2)当为何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.【答案】(1)，；(2)时，.【详解】（1）在直角三角形中，，，在直角三角形中，，所以，所以（2）设矩形的面积为，所以，因为，所以所以当，即时，强化训练（共12题）1．已知函数图象的一个对称中心为，则为了得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移1个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移1个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】C【详解】因为函数图象的一个对称中心为，所以，即，又因为，所以当时，可得，所以.为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移1个单位长度，即，故选：C2．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列判断错误的是（

）A．函数是奇函数 B．在−π12,π4C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为【答案】D【详解】函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，故；对于A，，故，则函数是奇函数，故A正确；对于B，当时，，故在上单调递增，故B正确；对于C，当时，，故的图象关于直线对称，故C正确；对于D，当时，，故，故D错误.故选：D3．将函数的图象沿x轴向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则实数a的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可知，设，则，设将函数的图象向右平移个单位可得函数的图象，则，易知，则，即，可得，解得.故选：B.4．已知函数，则以下正确结论的序号为（

）①函数最小正周期是；②函数最大值与最小值距离为；③函数在区间上单调递减；④对任意，使得“”成立的充要条件是“”．A．①② B．②④ C．③④ D．②③【答案】D【详解】由，故①错误；由，当时，，所以当时，，当时，，所以函数最大值与最小值距离为，当时，，当时，，当时，，所以函数最大值与最小值距离为，综上函数最大值与最小值距离为，故②正确；由有，所以，所以，由在单调递减，所以函数在区间上单调递减，故③正确；当时，，故④错误.故选：D.5．（多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为B．在上单调递减C．直线为的一条对称轴D．若为偶函数，则【答案】ACD【详解】由图可知：，，则，当时，函数取得最大值，所以，又，所以.所以.对A，的最小正周期为，正确；对B，，令，则，可知在不是单调的，故错误；对C，由，所以，所以取得最小值-3，直线为的一条对称轴，故正确；对D，为偶函数，所以，故正确.故选：ACD.6．已知函数，．给出下列三个结论：①是偶函数；②的值域是；③在区间上单调递减；其中，所有正确结论的序号是．【答案】①③【详解】由题意，，所以是偶函数，故①正确；当时，，当时，，又因为，所以的值域是，故②错误；当时，，此时，所以在上单调递减，则在区间上单调递减，故③正确.故答案为：①③.7．已知函数（，，）的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)若，，，求；(3)设，若对任意的，，都有，求正实数a的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3).【详解】（1）由题设，则，可得，由图知，可得，则，又，可得，，则，所以；（2）由题设，可得，，则，且，可得，，所以；（3）由题意，，，有，由，则，故，由，而，所以，当，则，此时恒成立，满足；当，则，此时，故满足；所以.8．已知函数.(1)求的最小值，并求取得最小值时的取值集合：(2)将的图象向右平移单位长度，得到的图象，若的图象关于轴对称，求的最小值.【答案】(1)最小值为，(2)【详解】（1），当且仅当，即时，的最小值为：所以函数的最小值为，此时的取值集合为；（2）由题知，，要使得的图象关于轴对称，则，即，则的最小值为.9．如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米．为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽．（参考数据：）（）A． B． C． D．【答案】A【详解】以筒车中心为原点，与水面平行的直线为轴，建立平面直角坐标系，设盛水筒经过秒后到水面的距离为米，由题可知筒车半径为6，点的纵坐标为3，则，又由题知，，则，，作弦平行且等于盛水槽，则在中，，则（H为中点），则距离水面的高度为，盛水筒转到盛水槽的正上方（即之间），能把水倒入盛水槽，即当时符合题意，故，即，解得，因为，所以盛水筒转一圈的过程中，有秒能把水倒入盛水槽.故选：A.10．由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（

）A．12h B．14h C．16h D．18h【答案】C【详解】由题知解得所以．令，即．因为，所以，由正弦函数图象与性质可知，，解得，所以该港口一天内水位不小于8m的时长为小时．故选：C11．如图所示，在矩形中，，E为边上的点，现将沿翻折至，使得在平面上的射影在上，且直线与平面所成的角为，则线段的长为.【答案】【详解】过作于H，连接，根据题意，得平面.因为直线与平面所成的角为，所以.又因为，所以，，设，则.在四边形中，可得，所以，故.故答案为：.12．某人承包了一片长方形水域养殖水产，需要在四条边上建立三个饵料投放点，每个饵料投放点之间需要建一段浮桥．已知一个投放点M在的中点处，另外两个投放点N，P分别在，上，且要求与垂直，已知，．(1)求的面积S的最大值；(2)已知建造浮桥的费用为每米100元，预估造桥费用为Q元，求Q的取值范围．【答案】(1)；(2).【详解】（1）设，由题意，，，．当N在D点时，θ最大，此时，，当P在C点时，θ最小，此时，，．，，，当，即或时，．（2）记的周