人教A版高一数学秋季培优班 第16讲 诱导公式（总部定稿版）（教师版）

第16讲诱导公式目录题型01诱导公式中的给角求值题型02诱导公式中的给值求值题型03诱导公式化简三角函数式题型04诱导公式证明三角恒等式题型05诱导公式综合应用题型06互余互补关系求值强化训练（共11题）知识小测（共5题）知识解读诱导公式知识点01诱导公式诱导公式一：，，，其中诱导公式二：，，，其中诱导公式三：，，，其中诱导公式四：，．，，其中知识点02诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号．用诱导公式进行化简时的注意点：（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．知识点03利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为内的三角函数；③化为锐角的三角函数．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．题型精讲题型1诱导公式中的给角求值【典例1】已知，则.【答案】/【详解】令，则，，所，又，则，故答案为：.题型点播利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正”：利用负角公式将负角的三角函数化为正角的三角函数；（2）“大化小”：利用周期性将角化到0∘到360（3）“小化锐”：利用π±α、（4）“锐求值”：求出锐角三角函数值．【变式1】计算：．【答案】【详解】解：依题意原式，，故答案为：题型2诱导公式中的给值求值【典例1】已知，则（

）A． B． C． D．2【答案】A【详解】因为，所以，所以原式.故选：A.题型点播解决条件求值问题的方法（1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．（2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．【变式1】若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】若，则，.故选：C.题型3诱导公式化简三角函数式【典例1】若，则.【答案】/【详解】若，得到，则，又，则，则.故答案为：.题型点播三角函数式化简的常用方法（1）合理转化：①将角化成，，的形式．②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角的三角函数．（2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．（3）注意“1”的应用：．（4）用诱导公式进行化简时，若遇到的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．【变式1】若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，即，得．所以．故选：B．题型4诱导公式证明三角恒等式【典例1】若角的终边落在直线上，则．【答案】或【详解】因为角的终边落在直线上，所以角为第一或第三象限角，，当角为第一象限角时，，；当角为第三象限角时，，．故答案为：或.题型点播三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以采用左右归一、作差比较等方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．【变式1】证明：，．【答案】证明见解析【详解】证明：当n为偶数时，令，，左边．右边，∴左边=右边．当n为奇数时，令，，左边．右边，∴左边=右边．综上所述，，成立．题型5诱导公式综合应用【典例1】已知函数是定义在上的奇函数，则，的值可能是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【详解】当时，，则，所以，即，又，所以，所以，或（不恒成立，舍去），所以，当时，，则，所以，即，又，所以，所以，或（不恒成立，舍去），所以，综上，，对于A，，，此时，则，解得，不合题意；对于B，，，此时，则，解得，不合题意；对于C，，，此时，则，解得，不合题意；对于D，，，此时，则，解得，符合题意.故选：D题型点播解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．【变式1】已知，若，求的值．【答案】【详解】由题设，由.题型6互余互补关系求值【典例1】已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，由平方关系可得，所以.故选：B题型点播巧用相关角的关系会简化解题过程．观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系．在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常见的互余关系有，；，；，等．常见的互补关系有，；，等．【变式1】已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，，则，所以，则.故选：A强化训练（共11题）1．若为第三象限角，则下列各式的值为负数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为为第三象限角，所以，，A选项错误；，B选项错误；，C选项正确；，D选项错误；故选：C.2．下列命题不正确的有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【详解】当时，，在单位圆中，点，设，则，过点A作直线AT垂直于x轴，交OP所在直线于点T，由，得，设扇形的面积为，由图知，即，即，对于AC，由，得，AC正确；对于B，，得，则，B错误；对于D，由，则，则，D正确.故选：B3．点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】由诱导公式得，，，且，则，，得到，即，则，故，得到点位于第二象限，故B正确.故选：B.4．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为为奇函数，故，故选：B.5．若锐角，满足，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【详解】由题意设，因为，所以，所以，.故选：B.6．函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意得：对于BC，由，知，可判断函数为非奇非偶函数，可知BC错误；对于AD，由，知与异号，可知D错误；故选：A7．（多选）给出下列四个结论，其中正确的结论是（

）A．成立的条件是角是锐角B．与的终边相同C．的解集是D．若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角【答案】BD【详解】对于A，根据诱导公式，时，，故A错误；对于B，，所以与的终边相同，故B正确；对于C，由可得或，故C错误；对于D，若是第二象限角，则，所以，是第一象限或第三象限角，故D正确.故选：BD.8．化简.【答案】【详解】.故答案为：9．已知函数，若方程在的解为，，则.【答案】.【详解】由题意：令，函数对称轴方程为：，又方程在的解为，，，，，又，，，，，又，故答案为：10．已知．(1)若是第二象限角，求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2).【详解】（1）依题意，，由是第二象限角，得，又，解得，所以.（2）．11．（1）计算：；（2）已知，，计算的值；（3）已知，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）；（2）因为，所以，因为，所以，所以；（3）.知识小测（共5题）1．已知非等腰三角形的内角分别为，若，则下列结论一定不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】在非等腰中，，，由，得或或或，即或或或，当时，，则，，即AC可能正确；当时，，B可能正确；对于D，要，而，则必有，即，不成立，D错误.故选：D2．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】已知，且，则，则，则.故选:C.3．如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的单位圆与射线交于点，已知点在圆上，点的坐标是，则下列说法正确的是（

）A．若，且，则B．若，则C．若，则所对圆心角为D．若所对圆心角为，则【答案】D【详解】如图，因为单位圆与射线交于点，即点在角的终边上，设点在角的终边上，则，.对于A，因为点的坐标是，由题意可知，如图，若，则，，即，此时或，故A错误；对于B，由题意可得，则或，则或，故B错误；对于C，由图可知，设对应的