人教A版高一数学秋季培优班 第2讲 集合的基本运算（总部定稿版）（教师版）

第2讲集合的基本运算目录题型01交集、并集的基础运算与数轴表示题型02补集运算与全集意识题型03交、并、补的混合运算题型04集合运算结果反推参数题型05Venn图与容斥原理应用强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读集合的并、交、补与基本运算结论知识点01集合的运算之并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}Venn图表示：（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).知识点02集合的交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.知识点03集合的补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementaryset)，简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示：（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集．（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）．知识点04集合基本运算结论，，若A∩B=A，则，反之也成立，若A∪B=B，则，反之也成立若x(A∩B)，则xA且xB，若x(A∪B)，则xA，或xB求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.题型精讲题型1交集、并集的基础运算与数轴表示【典例1】已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式可化简集合A，然后由交集定义可得答案.【详解】因为，故．故选：C．题型点播求集合A∩B的步骤与注意点(1)步骤：①弄清两个集合的属性及代表元素;②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式;③把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可(相同元素只写一个).(2)注意:若A，B是无限连续的数集，可以利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示.求集合并集的两个方法(1)若集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集.(2)若集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集，但应注意端点是否能取得.【典例2】已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合M，再根据并集概念计算.【详解】解：由M=x所以故选：D【变式1】已知集合，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据集合的关系及交集、并集的运算进行判断即可.【详解】因为但、但，所以AB都是错误的；因为，故C是错误的；因为，故D是正确的.故选：D.题型2补集运算与全集意识【典例1】设全集，集合，则中元素个数为（

）A．0 B．3 C．5 D．8【答案】C【分析】根据补集的定义即可求出．【详解】因为，所以，中的元素个数为，故选：C．题型点播补集的求解步骤及方法(1)步骤:①确定全集:在进行补集的简单运算时，应首先明确全集;②紧扣定义求解补集.(2)方法:①借助Venn图或数轴求解;②借助补集性质求解.【变式1】已知集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求并集，再求补集即可.【详解】，，则，又，则.故选：B.题型3交、并、补的混合运算【典例1】设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解.【详解】依题意，，而，所以.故选：D题型点播求解与不等式有关的集合问题的方法解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.【变式1】已知全集，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求全集，进而求，最后根据集合的交集运算即可求解.【详解】依题意得，，，所以．故选：C.题型4集合运算结果反推参数【典例1】已知集合，若，则（

）A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1【答案】B【分析】由得集合，之间的包含关系，进而确定元素与集合的关系，即可求解.【详解】由，得，因为，所以，因为集合，所以或，解得或（不合题意舍去），所以或2.故选：B.题型点播首先要明确根据集合间的运算关系确定集合的关系即：通过运算关系确定集合间基本关系，最后根据集合间的基本关系确定参数的取值范围，其本质还是通过集合间的基本关系确定参数的取值范围具体操作：1、求解集合的运算问题的三个步骤：（1）看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数集、点集还是图形集等，如{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的；（2）对集合化简,有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决；（3）应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn)；2、根据集合运算的结果确定参数值或范围的步骤（1）化简所给集合，能用数轴表示的在数轴上表示；（2）根据集合端点间关系列出方程或不等式（组）；（3）求解方程、不等式（组），然后注意验证；注意：①化简集合时运算时，注意解不等式运算出错；②对集合概念理解不准确，错把数集当作点集，如已知集合,求得出的错误结果；③忽略集合中元素的互异性,如根据集合A＝{a－3，2a－1，a2－4},且－3∈A，求实数a的值,忽略检验a＝－1时不满足元素的互异性；④利用求参数取值，忽略判断B是否可以为；如根据集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且A∩B＝B,求实数m的取值范围，忽略m＋1≤2m－1即m≥2时，也满足题意；注意：空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．例如：{x|x2+1＝0，x∈R}＝；虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集；2、由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在遇到“AB”或“AB且B≠”或A∩B＝，时，一定要分A＝和A≠两种情况进行讨论，其中A＝的情况易被忽略，应引起足够的重视．3、【技巧点拨】解答与空集有关的问题，例如集合A∩B＝BBA，实际上包含3种情况：①B＝；②BA且B≠；③B＝A；往往遗漏B是的情形；4、不含任何元素的集合叫做空集，用表示，注意是一个单元素集，不是空集。从而，，都成立；5、常见的空集=1\*GB3①若，则；=2\*GB3②若，则；=3\*GB3③若，则；=4\*GB3④若，则；=5\*GB3⑤若，则；=6\*GB3⑥若，则A=x∣x2形如：已知A∪B，若A∪B＝A，求破解：由，得；而A=x∣x2−3x−10≤0m+①若m<2，即B=⌀②若m=2，即B=3③若m>2，即B⊆A时，要使解得2<m≤3综上①②③知，所求的范围应为(−∞【变式1】已知非空集合，，，则实数a的取值范围为.【答案】【分析】由可得到，运用集合间的关系可得到关于的不等式，解不等式即可得到答案.【详解】因为A为非空集合，则，解得；，若，则，则或，解得或，又，综上所述，实数a的取值范围为.故答案为：.题型5Venn图与容斥原理应用【典例1】某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（

）A．人 B．人 C．人 D．人【答案】A【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求.【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，则，，，．

不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，则，，，．由三个集合的容斥关系公式得，解得，故接受调查的小学生共有人．故选：A.题型点播1、原理容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称容斥原理。2、解释由图可以直接看出各部分之间的关系由Venn图可知：（A∪B=A+B-A∩B)由Venn图可知：（A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）3、应用两类：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。三类：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。4、注意①填图时，应从较小的区域填起②图中各个区域与集合运算之间的关系形如：某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？【破解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示，则不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为即，由容斥原理：解得：【变式1】某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14，.若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合的交集、并集运算求解即可.【详解】设仅第一天开车人数为，仅第二天开车人数为，两天都开车人数为，则由图知，，两式相减得，.故选：C.强化训练（共10题）1．对于集合M，N，定义差集且，设集合，则．【答案】【详解】因为，所以．又当时，，所以．故．2．定义集合的“对称差集”:且.已知集合，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．若，则【答案】A【分析】根据题设新定义的概念以及集合的基本运算法则计算即可得结果.【详解】对于A，由，则，所以，故A正确；对于B，由，所以，故B错误；对于C,由，则，由，，则，所以，，则，所以，故C错误；对于D，当时，结合选项B知，，故D错误.故选：A.3．（多选）对于数集A，B，它们的积，则（

）A． B．若，则C． D．集合表示y轴所在直线【答案】BCD【详解】由题知，表示数集A中的数表示横坐标，数集B中的数表示纵坐标所组成的点的全体，故，A错误；若，则，B正确；，则，C正确；集合表示y轴所在直线，D正确．4．已知集合，，若，且，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】若，且，则，即.5．（多选）已知全集，集合，，，若，则（

）A．的取值有个 B．C． D．所有子集的个数为【答案】BCD【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，，且，则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误；对于B选项，，，所以，故B正确；对于C选项，，，故C正确；对于D选项，，所以，，则，其的子集的个数为，故D正确．故选：BCD.6．已知全集，集合，，则，（．【答案】或或．【详解】或

利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图：则或．又，所以或，或．7．已知集合，．（1）若，则；（2）若，则实数的取值范围是．【答案】或【详解】（1）当时，，则或．（2）因为，又，所以解得．故实数的取值范围是．8．已知集合，(1)若，求，(2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围．【答案】(1)，．(2)．【分析】（1）求出集合，然后结合集合运算可得；（2）根据包含关系，分集合是否为空集讨论即可得解【详解】（1）若，，，所以，．（2）∵B当时，此时，即；当时，此时，即，则，且两个不等式不能同时取等，解得，综上，实数的取值范围为．9．已知集合，.(1)分别求，；(2)已知，若，求实数a的取值范围.【答案】(1)或，且；(2).【分