人教A版高二数学秋季培优班 第10讲 椭圆（总部定稿版）（学生版）

第10讲椭圆目录题型01椭圆的定义与标准方程题型02椭圆方程的充要条件题型03焦点三角形问题题型04椭圆中的距离与最值题型05椭圆离心率与几何性质题型06椭圆中的轨迹与直线位置关系强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读知识点01椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数（），这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距．知识点02求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”．②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：（且）．（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题．知识点03椭圆的简单几何性质我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质椭圆的范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，．椭圆的对称性：对于椭圆标准方程，把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心．椭圆的顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点．②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，．③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，．和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．椭圆的离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作．②因为，所以的取值范围是．越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为．知识点04椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．可借助下图帮助记忆：a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边．和a、b、c有关的椭圆问题常与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角（其中B为椭圆短轴端点，）结合起来，建立、之间的关系．知识点05椭圆两个标准方程几何性质的比较标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点，，轴长轴长=，短轴长=离心率知识点06直线与椭圆的位置关系平面内点与椭圆的位置关系:椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点，若点在椭圆上，则有；若点在椭圆内，则有；若点在椭圆外，则有．直线与椭圆的位置关系；将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为．①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）；②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）；③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．直线与椭圆的相交弦：设直线交椭圆于点，两点，则同理可得这里，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：题型精讲题型1椭圆的定义与标准方程【典例1】已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（

）A． B． C． D．题型点播（1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程.注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为.②与椭圆共焦点的椭圆可设为.③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）.【变式1】一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．题型2椭圆方程的充要条件【典例1】“实数”是“方程表示椭圆”的（

）条件.A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要题型点播表示椭圆的充要条件为：；表示圆方程的充要条件为：.【变式1】“”是“方程表示椭圆”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件题型3焦点三角形问题【典例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为．题型点播焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上一点到椭圆两焦点的距离问题常用定义，即.【变式1】已知点是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为，且．(1)求椭圆的标准方程；(2)若，求的面积．题型4椭圆中的距离与最值【典例1】已知，是椭圆的左、右焦点，过与y轴的平行线与椭圆E交于C，D，，，则椭圆E的方程为．题型点播利用几何意义进行转化.在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．【典例2】已知椭圆的左焦点为，点为上一点，若，则的最大值为．【变式1】已知椭圆的右焦点为，为上任意一点，点，则的最大值为（

）A．4 B．5 C．6 D．题型5椭圆离心率与几何性质【典例1】已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为.过点的直线与椭圆的交点为，与轴的交点为.若，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．题型点播求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法.标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，，轴长轴长，短轴长离心率（注：离心率越小越圆，越大越扁）【典例2】（多选）某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（

）A．轨道的焦距为 B．轨道的离心率为C．轨道的短轴长为 D．当越大时，轨道越圆【变式1】已知椭圆与圆，圆都相切，则椭圆的焦距为（

）A． B．2 C． D．4题型6椭圆中的轨迹与直线位置关系【典例1】已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（

）A． B． C． D．题型点播常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围.设直线交椭圆于点，两点，则【典例2】如图，矩形ABCD中，，E、F、G、H分别是矩形四条边的中点，R、S、T是线段OF的四等分点，是线段CF的四等分点．

(1)证明直线ER与、ES与、ET与的交点L、M、N都在椭圆上．(2)若椭圆与直线交于不同的两点，如果存在过点的直线l，使得点关于l对称，求实数m的取值范围【变式1】已知椭圆C:的离心率为，且过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线与椭圆C交于M，N两点，点，，若的面积为4，求直线的方程.强化训练（共10题）1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（

）A． B．或 C． D．2．已知椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在与该椭圆同中心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率为，则该椭圆的蒙日圆方程为.3．（多选）动点P在椭圆C上，，为C的左、右焦点，直线和直线分别交C于点A，B，若的周长为20，且C的左顶点和上顶点距离为，则（

）A．椭圆焦距为3B．离心率C．面积最大值为12D．和斜率乘积为定值4．已知椭圆：的长轴长为4，离心率，过E的右焦点F且不与y轴垂直的直线与椭圆E相交于A，B两点．(1)求E的标准方程；(2)若点，设直线的斜率分别为，求证：；(3)若点C，D分别为E的左、右顶点，直线与的交点为Q，求点Q的轨迹方程．5．已知椭圆的左焦点为，，分别为左右顶点.点是直线上异于点的动点，直线交椭圆的另一点为点.(1)求的值；(2)直线与交于点，求证：.6．已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点作直线与交于，两点（点在轴上方）.当的方程为时，.(1)求的方程；(2)若点为线段的中点，求面积的最大值.7．设椭圆的左、右焦点分别为．已知在椭圆上，且的面积为．(1)求椭圆的标准方程；(2)如图，过点的直线与椭圆交于另一点与轴交于点，若，求的面积．8．已知椭圆：，过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于，两点（点在点的上方）且与轴交于点.(1)若直线的斜率为，求点的坐标.(2)设，.求证：为定值，并求出该值.(3)若椭圆的右焦点为，内切圆的半径为，求直线的方程.9．已知椭圆的左、右顶点分别为，且上顶点与都在直线上.(1)求的方程；(2)若点为上的一个动点，点，求的最小值.10．已知椭圆的左､右焦点分别为､，离心率，过的直线与椭圆交于，两点，且的周长为.(1)求椭圆的方程；(2)在中，求的最小值.知识小测（共5题）1．椭圆的两个焦点为，，为椭圆上与两焦点不共线的一点，则的周长为.2．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为．3．已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点，已知点.(1)求椭圆的方程；