人教A版高二数学秋季培优班 第11讲 双曲线（总部定稿版）（学生版）

第11讲双曲线目录题型01双曲线的定义与标准方程题型02双曲线焦点三角形问题题型03双曲线中的距离与最值题型04双曲线几何性质与渐近线题型05双曲线离心率问题题型06直线与双曲线的位置关系强化训练（共8题）知识小测（共5题）知识解读知识点01双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距．知识点02求双曲线的标准方程①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程．知识点03双曲线的简单几何性质对称性;对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．顶点:①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长．离心率:①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作．②因为，所以双曲线的离心率．由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．③等轴双曲线，所以离心率．渐近线:经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是．我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．知识点04双曲线两个标准方程几何性质的比较标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点轴实轴长=，虚轴长=离心率渐近线方程知识点05双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为，则其渐近线方程为已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可．（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线:与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线的渐近线:等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为．知识点06双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征双曲线标准方程中，、、三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．双曲线，如图：（1）实轴长，虚轴长，焦距，（2）离心率：；（3）顶点到焦点的距离：，；（4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来．（5）与焦点三角形ΔPF1F2有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式SΔPF1F2=1知识点07直线与双曲线的位置关系判断将双曲线方程与直线方程联立消去,得到关于的一元二次方程，1、当，即时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为，若，直线与双曲线相交，有两个公共点；若，直线与双曲线相切，有一个公共点；若，直线与双曲线相离，没有公共点；注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切．知识点08弦长公式若直线与双曲线（，）交于，两点，则或（）．题型精讲题型1双曲线的定义与标准方程【典例1】过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（

）A．10 B．11 C．12 D．15题型点播1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．1．求双曲线标准方程的步骤;(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a2，b2．双曲线标准方程的两种求法:(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a,b,c，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程x2【典例2】已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为.【变式1】在平面直角坐标系中，为双曲线上两不重合的动点，点，且当四点共线时，.(1)求的标准方程；(2)若直线与的渐近线垂直，且经过点，求直线与两坐标轴交点的坐标；(3)若均在的右支上，且线段是的角平分线，求直线的方程.题型2双曲线焦点三角形问题【典例1】已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（

）A．24 B．22 C．20 D．18题型点播在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别是，.(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积.题型3双曲线中的距离与最值【典例1】已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（

）A． B．C． D．题型点播根据两点距离公式，利用双曲线方程，借助代入消元法，消去其中一个变量，得到双曲线上点到坐标轴上点的距离关于变量的函数表达式，将点点之间距离的最值问题转化成常见函数——二次函数的最值问题进行求解，注意变量的取值范围.双曲线中线段之和差的最值.根据双曲线的第一定义，利用三角形中两边之和大于第三边，三角形中两边之差小于第三边，处理线段之和的最值问题时，画出图形，利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值.【典例2】已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．10 D．14【变式1】是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9题型4双曲线几何性质与渐近线【典例1】过双曲线右支上的点作的切线l，，分别为的左、右焦点，为切线上的一点，且（O为坐标原点）.若，则（

）A． B．2 C．3 D．4题型点播由双曲线方程研究几何性质时，先将方程化为标准形式，判断焦点所在坐标轴，再确定a,b，利用c2若渐近线为y=±nmx，则具有这两条渐近线的双曲线可设为x2m2−y2【典例2】已知双曲线的左、右焦点分别为分别为双曲线的两条渐近线，直线过点，且，直线与交于点，直线与双曲线的右半支交于点，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．题型5双曲线离心率问题【典例1】设，，点，是坐标原点，，是双曲线：的左焦点，若直线：经过点，且能与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（

）A． B． C． D．题型点播求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解，若已知a，b，可利用e＝1+ba2(2)方程法：若无法求出a,b,c的具体值，但根据条件可确定a,b,c之间的关系，可通过b2=c2−a2，将关系式转化为关于a、c的齐次方程，借助于e=c【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且与渐近线平行的直线与相交于点（在第一象限），若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．3题型6直线与双曲线的位置关系【典例1】已知双曲线经过，，三个点中的两个，若为原点，点在上，点在直线上，且.(1)求的渐近线方程：(2)求面积S的最小值：(3)证明：直线与定圆相切，并求出该定圆的方程.题型点播1．判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2．直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d3．双曲线中点弦的斜率公式设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有【变式1】设是坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，离心率.(1)求双曲线的标准方程；(2)直线交双曲线的右支于两点，且关于轴的对称点为的外心为.（i）求外心的坐标（用表示）；（ii）求的取值范围.强化训练（共8题）1．若双曲线与圆交于四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则.2．如图，在半径为2的圆中，是阴影部分内（包括边界）的动点，第一象限内的阴影部分为半圆，为双曲线的右顶点，且过双曲线的焦点并垂直于实轴的弦的长是2，设直线的斜率为，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．（多选）过双曲线的一个焦点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则（

）A．的实轴长为 B．的离心率为C．到的右焦点的距离为 D．的一个顶点坐标为4．已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点作直线与交于，两点，当直线的斜率为时，的面积为．(1)求双曲线的标准方程；(2)若，求直线的方程；(3)若直线，分别与直线交于，两点，试探究在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由．5．设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3．(1)求点M的轨迹方程C；(2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围．6．已知点，为双曲线C：（，）上两点.(1)求双曲线C的方程；(2)若，直线l：（）与C交于M，N两点，且，求实数m的取值范围.7．已知两点的坐标分别是，，直线相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为曲线.两个不同点在上运动，满足直线与直线的斜率之比是.(1)求曲线的方程；(2)直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由；(3)证明：三角形是钝角三角形.8．已知双曲线是双曲线右支上的一个动点，且到双曲线的两条渐近线的距离之积为.(1)求双曲线的标准方程.(2)过点作直线交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点A,B.（i）是否存在直线，使得为PQ的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.（ii）当时，直线与圆相切，求的取值范围.知识小测（共5题）1．（多选）已知双曲线的一条渐近线为．将的实轴，虚轴长度均变为原先的，记得到的双曲线为，则（

）A． B．的离心率为C．的一条渐近线为 D．的焦点到渐近线的距离为的2．已知双曲线与，下列说法正确的是（）A．两个双曲线有公共顶点B．两个双曲线有公共焦点C．两个双曲线有公共渐近线D．两个双曲线的离心率相等3．（多选）已知双曲线，为上四个动点，则四边形的形状可能为（

）A