人教A版高二数学秋季培优班 第21讲 数列通项与求和综合（总部定稿版）（教师版）

第21讲数列通项与求和综合目录题型01累加累乘与递推通项题型02利用an与Sn关系求通项题型03构造法求通项题型04观察法与周期性题型05错位相减与裂项相消题型06分组求和与绝对值求和强化训练（共12题）知识小测（共5题）题型精讲题型1累加累乘与递推通项【典例1】已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数，例如[2.6]＝2，[－1.8]＝－2，则＝（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【答案】C【分析】由题可得数列为等差数列，利用等差数列通项公式可得【详解】因为，所以，又，所以是以4为首项，2为公差的等差数列，所以，所以，所以，又，当n＝1时，；当时，，所以．故选：C．【典例2】已知数列的前n项和为，满足，对于恒成立，则的最小值为（

）A． B．0 C．1 D．4【答案】B【分析】由累乘法求得，再结合错位相减求和，即可求解.【详解】由题，，又符合上式，所以则，①，，②，由①-②，得，所以，若对于恒成立，即对恒成立，所以对恒成立，所以，所以.故选：B【变式1】已知正项数列，满足，，则（

）A．2 B． C．2024 D．【答案】D【分析】用相减法求得的关系，用连乘法求得结论．【详解】因为，所以当时，，两式相减，得，所以，所以，所以，所以，因为数列为正项数列，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以故选：D．题型2利用an与Sn关系求通项【典例1】已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由数列的通项与求和的关系，以及等比数列的通项公式，可得所求.（2）由数列的裂项相消求和，可得，再由参数分离和不等式恒成立思想，结合数列的单调性，可得所求取值范围.【详解】（1）当时，，，解得，当时，由，可得，相减可得，对也成立，由此可得数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，数列的通项公式为.（2），则两式相减可得：,整理可得,若对任意的，恒成立,即为恒成立，设，则，当时，即时，所以当时，，所以当时，，当时，，当时，，当时，，可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增，即当，，时，，当时，，所以，所以的取值范围为.【变式1】数列的前n项和为，已知，数列满足递推关系：．(1)求数列和的通项公式；(2)求的前n项和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用与前n项和的关系可求得；根据等比数列的概念可求得数列的通项公式，从而可得；（2）利用错位相减法以及等比数列的概念计算化简即可求解.【详解】（1）已知，当时，；当时，；验证时，，符合上式，故数列通项公式为.因为，所以，等式两边同时加可得，即，所以，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，数列通项公式为，所以.故数列的通项公式为.（2）由（1）可知，则，所以，记数列的前项和为，，①上式乘以公比2可得；，②由①②可得：，即，，化简可得，即.题型3构造法求通项【典例1】对任意正整数n有，且为严格增数列的的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．无穷多【答案】B【分析】构造数列可得为等比数列，进而可得的通项公式，结合，恒成立，求解的值即可.【详解】因为，所以，所以为等比数列，首项为，公比为，所以，即，因为为严格递增数列，所以，恒成立，即，恒成立，所以当为奇数时，恒成立，且当为偶数时，恒成立，当为奇数时，恒成立，因为随的增大而减小，所以，故，当为偶数时，恒成立，因为随的增大而增大，所以，故，所以，故，所以满足条件的数列的个数为个.故选：B.【变式1】已知数列的前项和为，若，.(1)求；(2)记，数列的前项和，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由关系取可求，当时，用替换，与原式相减化简可得，由此可求结论；（2）由（1）可求，由此可得，利用裂项相消法求，再证明结论.【详解】（1）因为，①所以当时，，且，所以.当时，，②由①②得，，整理得到，所以，故，故当时，，而也符合，综上，当时，.（2）由（1）知，则，即，所以.又因为为递增数列，所以，故.题型4观察法与周期性【典例1】南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球，第四层有10个小球……设第n层有an个小球，则+++…+的值为（）

A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知条件分析得到数列的通项公式,并利用等差数列前n项和公式化简，进而求得数列的通项公式,再利用裂项相消求和法求得结果.【详解】由题意可得，,……所以，.所以，所以，+++…+故选：D【典例2】斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列可以用如下方法定义：，则的个位数字是．【答案】0【分析】观察斐波那契数列的前65项的个位：11235831459437077415617853819099875279651673033695493257291011235...，即可得到斐波那契数列的个位以60为周期，的个位数字与的个位数相同，由此即可得解.【详解】由题意，∴数列为，此数列各项除以10的余数依次构成的数列为：11235831459437077415617853819099875279651673033695493257291011235...它是以60为周期的周期数列，∴的个位数字与的个位数相同，故所求为0.故答案为：0.【变式1】已知数列中，，则（

）A． B． C． D．5【答案】A【分析】依次求出数列前几项得出数列周期即可求解.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，...，所以数列是周期为3的数列，所以.故选：A题型5错位相减与裂项相消【典例1】已知数列的前项和为，且，．(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和；(3)若对恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见详解；(2)；(3).【分析】（1）根据已知配成完全平方即可得证；（2）利用错位相减法求解可得；（3）分离参数，转化为求数列的最大值问题，考察数列单调性即可得解.【详解】（1）因为，所以，即，所以，又，所以是以2为首项和公比的等比数列.（2）又（1）可得，，所以①，则②，由①-②得：，所以（3）由（1）可得，，所以，即，记，因为，所以时，，即，当时，，即，所以，所以，所以实数的取值范围为.【典例2】已知为各项均为正数的数列，其前项和为，.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和记为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用的关系，得出数列是等差数列，进而可求得通项公式；（2）利用裂项相消求和法可求得，进而可证得结论.【详解】（1）当时，，得，∵，∴，当时，，两式作差可得：，即，∴，又∵，∴，且，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，∴.（2）∵，∴，∴，∴.则.∵，∴，∴，又∵为递增数列，所以，∴.【变式1】在数列中，，且(1)证明：为定值.(2)求数列的前n项和.(3)若，，求数列的通项公式.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）由题设及等差数列的定义可得，即可证；（2）由（1）得，应用裂项相消法求和；（3）根据已知得，结合等比数列的定义写出通项公式.【详解】（1）因为，，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，故为定值1；（2）由（1）知，所以，故；（3）由（2）知，因为，所以所以，而，所以，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即.题型6分组求和与绝对值求和【典例1】若数列的满足，，则数列的前15项和为（）A．105 B．119 C．135 D．152【答案】C【分析】由递推公式，结合，即可求出的前15项和.【详解】因为所以故选：C.【典例2】已知数列是首项为1的等比数列，且是和的等差中项．(1)求数列的通项公式；(2)在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．记，求数列的前项和．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）由条件可知，，再代入等比数列通项公式，即可求解；（2）若选①，利用裂项相消法求和；若选②，结合绝对值里面的正负，分情况求和；若选③，利用等差和等比数列求和公式，即可求解.【详解】（1）设数列的公比为，由条件可知，，即，得或（舍），所以；（2）若选①，，，所以，则；若选②，，数列是前项和是，当时，数列的每一项都是非正数，所以，当时，数列的每一项都是正数，所以，所以；如选择③，则，数列的前项和为，数列的前项和为，则.【变式1】设是公差不为零的等差数列，，.(1)求和；(2)求的前项和.【答案】(1)，.(2)【分析】（1）根据可得，结合列方程组可求得，由此可得和.（2）讨论和可得数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，∵，∴，即，由等差数列的性质得，，由得，，即，

由得，，联立方程可得，，

∴，.（2）由得，时，，时，.当时，，

当时，，∴.强化训练（共12题）1．已知数列：，其中第1项为，接下来的2项为，接下来的4项为，依此类推，设为的前项和，则（

）A． B．C．有且仅有一个正整数，使得 D．存在无数个正整数，使得【答案】ABD【分析】根据数列的形成规律即可结合选项逐一求解ABC，根据，利用迭代累加法，即可求解D.【详解】A选项：易知接下来的8项为，所以，故A正确：B选项：，故B正确；C选项：设分母为的为第组，情形一：在不同组，设为第组最后一个数，则，为第组第一个数，则，所以，解得，即．情形二：为第组第和第个，则，取，即符合题意，故C错误；D选项：因为，所以，因此存在无数个正整数，使得，故D正确；故选:ABD.2．已知数列的前n项和为且则（

）A． B．C． D．数列的前n项和为【答案】ABD【分析】利用给定条件求解数列单调性判断A，利用累乘法求出数列通项公式判断B，利用等差数列求和公式结合给定条件判断C，利用裂项相消法求和判断D即可.【详解】由题意得，且，可知，则为正项递增数列，得到，即，故A正确；由，则时，，又符合上式，故，当时，，故B正确；由等差数列求和公式得，则，故C错误；而，故数列的前n项和为，故D正确.故选：ABD3．已知是数列的前项和，数列是首项为3，公比为3的等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用和的关系可求数列的通项公式；（2）利用裂项相消法可求.【详解】（1）由题可得，所以.当时，.

当时，.因为不满足上式，.（2）由（1）知，.当时，.当时，，

所以.

又满足上式，.4．如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．

（1）每次只移动个金属片；（2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面；试推测：把个金属片从号针移动到号针，最少需要移动次.【答案】【分析】依次判断时的移动次数，根据规律可推理得到移动次数.【详解】设是把个盘子从号针移到号针的最少移动次数，当时，；当时，小盘号，大盘号，小盘从号号，；当时，用次把中小两盘移动到号，再将大盘移动到号，接着再用次把中小两盘从号转移到号，；以此类推，当且时，，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，，经检验：满足，则.故答案为：.5．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数，，，，，构成数列，其前项和为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据数列的前项，归纳出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出前项和，即可求解.【详解】根据题意可知，，，，，以此类推，，所以其前项和，所以.故选：A.6．在数列中，已知，，，则（

）A．3 B． C．6 D．【答案】B【分析】根据给定条件，求出数列的周期，再求出的值.【详解】数列中，由，，，得，，所以，所以，因此数列是周期数列，周期为6，所以.故选：B7．已知数列满足点在直线上，且.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等比数列的定义进行求解即可；（2）利用错位相减法进行求解即可.【详解】（1）由题意得，因为，所以，所以是首项为3，公比为3的等比数列，所以的通项公式是.（2）由（1）知，，则，，两式相减，得，所以.8．已知数列满足，．(1)证明是等比数列，并求数列的通项公式；(2)令，求数列前n项的和．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）根据条件得到，利用等比数列的定义即可求解，再由等比数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）得，再由错位相减法，即可求解.【详解】（1）由，可得，所以，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以；（2）由（1）可得，所以，所以，所以，所以.9．已知数列是各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前2025项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差中项公式与等比数列的通项公式即可求解；（2）利用裂项相消法结合对数运算公式求数列的前项和即可.【详解】（1）数列是各项均为正数的等比数列，设公比为，则，因为是和的等差中项，则，即，因为，所以，又，解得，所以.（2）由（1）知，则，所以，所以.10．已知正项数列的前n项之积为，且.(1)求证：数列是等差数列；(2)设，求的前2n项和.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据题意得到，由，化简得到，求得，结合等差数列的定义推理得证.（2）由（1）可得，得到，结合裂项法，即可求解.【详解】（1）依题意，，当时，得，则，由，得，则，即，当时，，于是，解得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.（2）由（1）得，则，所以.11．记是数列的前项和，，，且数列是等差数列．(1)求的通项公式；(2)设若，求数列的前项和【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据等差数列的通项公式求出，再利用与的关系求解即可；（2）利用分组求和，其中奇数部分利用等差数列的前项和公式，偶数部分利用裂项相消求解即可.【详解】（1）因为，，设等差数列的公差为，则，解得，所以，即，当时，，当时，成立，故．（2）由题意可得.12．设是公差不为零的等差数列，是的前项和，，．(1)求的通项公式；(2)求中的最大值和最小值；(3)求的前项和．【答案】(1)(2)最大值为1，最小值为，(3)【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差，即可根据等差通项的公式求解，（2）根据单调性即可求解，（3）根据的正负，即可分类求解.【详解】（1）由可得，故，设公差为d，，由可得，，故，由于，所以，因此，因此，故，（2），当且时，，且此时单调递减，故为最大值，为最小值，当且时，，且此时单调递减，故为最大值1，此时无最小值，综上可得的最大值为1，最小值为，（3）由可得当且时，，当且时，，所以当且时，，当且时，，故知识小测（共5题）1．设数列满足，且，则数列的前10项和为．【答案】【分析】利用“累加求和”可得的通项公式，再利用“裂项求和”即可得出.【详解】因为数列满足，且，所以当时，，当时，上式也成立，所以，所以，则的前项和，所以数列的前10项和为．故答案为：.2．已知等差数列的首项为1，，数列的前项和为，，.(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）设出等差数列的公差，由等差数列的通项整理等式，可得的通项，利用前项和与末项的关系，结合累乘法，再验首项，可得的通项；（2）利用错位相减法可得答案.【详解